Sisteme liniare omogene

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Un sistem este omogen dacă toți termenii liberi sunt $0$. Orice sistem omogen este compatibil, pentru că are întotdeauna soluția banală $x_1=x_2=\cdots =x_n=0$; întrebarea reală este dacă are și soluții nebanale. Cum coloana termenilor liberi este nulă, $\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A$ automat, deci Kronecker-Capelli nu spune nimic nou. Criteriul: soluția este unică (deci doar cea banală) exact când rangul este egal cu numărul necunoscutelor. Consecință folosită des: un sistem omogen cu mai multe necunoscute decât ecuații are întotdeauna soluții nebanale, fiindcă $\mathrm{rang}A\le m<n$.

Exemplu: Sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x-y+3z=0\\ 3x+y+2z=0\end{array}$ are $\det A=0$, deci și soluții nebanale: cu $z=\alpha$ se obține $S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$; pentru $\alpha =1$, tripletul $(-1,1,1)$ verifică toate cele trei ecuații ✓.