Natura soluțiilor unui sistem compatibil

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$n$ este numărul necunoscutelor, iar $r$ rangul comun. Când $r=n$, soluția este unică. Când $r<n$, sistemul are o infinitate de soluții, iar $n-r$ se numește grad de nedeterminare: pentru $n-r=1$ sistemul este simplu nedeterminat, pentru $n-r=2$ dublu nedeterminat. Se alege un minor principal — un minor nenul de ordin $r$ din $A$; necunoscutele ale căror coeficienți intră în el sunt principale, celelalte secundare, iar ecuațiile ale căror linii intră în el sunt principale. Necunoscutele secundare se notează cu parametri $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ și se trec în membrul drept; sistemul principal rămas se rezolvă cu Cramer. Soluția se prezintă ca mulțime.

Exemplu: Sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ 2x+2y+2z=6\end{array}$ are $r=1$ și $n=3$, deci este dublu nedeterminat: cu $y=\alpha$ și $z=\beta$ se obține $S=\{(3-\alpha -\beta ,\alpha ,\beta )\mid \alpha ,\beta \in \mathbb{R}\}$.