Teorema lui Rouché și determinanții caracteristici

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

${\Delta }_{car}^{(k)}$ este determinantul caracteristic al ecuației secundare $k$: se obține bordând minorul principal cu coeficienții acelei ecuații și cu coloana termenilor liberi corespunzători. Are ordinul $r+1$, unde $r=\mathrm{rang}A$. Teorema este varianta practică a lui Kronecker-Capelli: în loc să se calculeze rangul lui $\overline{A}$, se verifică direct câțiva determinanți. Dacă măcar unul este nenul, sistemul este incompatibil. Numărul lor este egal cu numărul ecuațiilor secundare, adică $m-r$; când nu există ecuații secundare ($m=r$), sistemul este automat compatibil.

Exemplu: Pentru $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x+y=3\\ 3x+2y=5\end{array}$: minorul principal $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, deci $r=2$, iar a treia ecuație este secundară. Atunci ${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 3\\ 3& 2& 5\end{array}\right|=0$, deci sistemul este compatibil, cu soluția $x=1$, $y=1$.