Panta unei drepte: definiție, semn și unghiul cu axa Ox

Ai văzut, la reperul cartezian, cum se transformă în numere două lucruri: poziția unui punct și lungimea unui segment. Mai lipsește unul, și e cel mai important dintre toate: direcția. Un punct nu are direcție, un segment are una singură — dar o dreaptă întreagă este definită tocmai de direcția ei. Câte drepte trec printr-un punct dat? O infinitate, câte una pentru fiecare direcție posibilă. Dacă vrem ca dreptele să devină ecuații, avem nevoie de un număr care să codifice direcția.

Numărul acela există și se numește pantă. Programa de matematică-informatică îl cere definit exact așa cum îl construim aici: nu ca un raport oarecare, ci ca tangenta unghiului pe care dreapta îl face cu axa $Ox$. Definiția aceasta e mai mult decât o eleganță: ea leagă geometria analitică de toată trigonometria pe care ai învățat-o și, peste încă cincizeci de lecții, va deveni cheia interpretării geometrice a derivatei — panta tangentei la graficul unei funcții.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești unghiul de înclinare $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ al unei drepte față de axa $Ox$ și să înțelegi de ce intervalul este exact acesta.
• Vei ști să definești panta ca $m=\mathrm{tg}\alpha$ și să citești semnul ei din poziția lui $\alpha$.
• Vei ști să demonstrezi formula $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, atât pentru unghiuri ascuțite, cât și pentru unghiuri obtuze.
• Vei ști de ce panta este o caracteristică a dreptei, nu a punctelor alese pe ea, și de ce dreapta verticală nu are pantă.
• Vei ști să recuperezi unghiul din pantă, folosind funcția arctangentă, și să reții pantele remarcabile.
• Vei ști să determini un parametru dintr-o condiție impusă asupra pantei.

Hai să descoperim împreună

1. Unghiul de înclinare al unei drepte

Fie $d$ o dreaptă din reperul $xOy$. Dacă $d$ nu este paralelă cu $Ox$, ea taie axa într-un punct, iar acolo se formează patru unghiuri. Ca să obținem un număr bine definit, alegem unul singur, printr-o convenție care se respectă peste tot de aici înainte.

Definiție. Se numește unghi de înclinare al dreptei $d$ unghiul $\alpha$ măsurat în sens trigonometric, de la semiaxa pozitivă $Ox$ până la dreapta $d$. Pentru dreptele paralele cu $Ox$ se convine $\alpha =0^{\circ }$.

Convenția fixează două lucruri deodată: de la ce pornim (semiaxa pozitivă, nu toată axa) și în ce sens măsurăm (trigonometric, adică invers acelor de ceasornic). Cu ele, unghiul de înclinare este unic și ia valori în intervalul

$$\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ }).$$

De ce tocmai acest interval? Pentru că o dreaptă nu are „sens de parcurgere": rotind semiaxa pozitivă cu $180^{\circ }$ ajungem pe aceeași dreaptă, deci unghiurile $\alpha$ și $\alpha +180^{\circ }$ ar descrie aceeași înclinare. Alegem, dintre ele, pe cel din prima jumătate de rotație. Capătul $180^{\circ }$ se exclude tocmai pentru că ar da din nou orizontala, deja acoperită de $\alpha =0^{\circ }$.

2. Definiția pantei

Definiție. Se numește pantă a dreptei $d$, de unghi de înclinare $\alpha \ne 90^{\circ }$, numărul real

$$m=\mathrm{tg}\alpha .$$

Dreptele cu $\alpha =90^{\circ }$, adică cele verticale, nu au pantă — vom reveni asupra acestui caz în paragraful 5.

Definiția aceasta spune, într-un singur simbol, tot ce înseamnă „direcția unei drepte". Ea are trei consecințe imediate, care se citesc direct din semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane, studiat în clasa a IX-a:

• dacă $\alpha =0^{\circ }$, atunci $m=\mathrm{tg}{0}^{\circ }=0$: dreapta este orizontală;
• dacă $\alpha \in (0^{\circ },90^{\circ })$, unghiul e ascuțit, tangenta e pozitivă și $m>0$: dreapta urcă de la stânga la dreapta;
• dacă $\alpha \in (90^{\circ },180^{\circ })$, unghiul e obtuz, tangenta e negativă și $m<0$: dreapta coboară.

Mai mult, pe fiecare dintre cele două intervale funcția tangentă este strict crescătoare, deci cu cât $\alpha$ e mai aproape de $90^{\circ }$, cu atât $|m|$ e mai mare: dreapta se apropie de verticală. Modulul pantei măsoară, așadar, cât de abruptă e dreapta, iar semnul spune încotro merge.

3. Panta calculată din două puncte

Definiția cu unghiul e conceptual clară, dar în exerciții primim de obicei coordonate, nu unghiuri. Legătura dintre ele este teorema următoare.

Teoremă. Fie $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ două puncte distincte cu $x_A\ne x_B$, situate pe dreapta $d$ de unghi de înclinare $\alpha$. Atunci

$$m=\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$

Demonstrație. Presupunem, fără a restrânge generalitatea, că $x_A<x_B$ (altfel schimbăm între ele numele punctelor; asta nu modifică raportul, pentru că ambele diferențe își schimbă semnul). Notăm $C(x_B,y_A)$ punctul de intersecție a orizontalei prin $A$ cu verticala prin $B$. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, cu catetele $AC=x_B-x_A>0$ și $BC=|y_B-y_A|$.

Cazul $\alpha \in (0^{\circ },90^{\circ })$. Dreapta urcă, deci $y_B>y_A$, iar $B$ se află deasupra lui $C$. Unghiul $\widehat{BAC}$ este congruent cu $\alpha$ (au aceleași laturi: semidreapta $AC$ este paralelă și de același sens cu semiaxa pozitivă $Ox$, iar semidreapta $AB$ este pe $d$). În triunghiul dreptunghic $ABC$,

$$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}\widehat{BAC}=\frac{BC}{AC}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$

Cazul $\alpha \in (90^{\circ },180^{\circ })$. Dreapta coboară, deci $y_B<y_A$ și $B$ se află sub $C$. De data aceasta unghiul $\widehat{BAC}$ este suplementul lui $\alpha$, adică $\widehat{BAC}=180^{\circ }-\alpha$, și este ascuțit. Din triunghiul dreptunghic,

$$\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=\frac{BC}{AC}=\frac{y_A-y_B}{x_B-x_A}.$$

Folosim acum formula de reducere pentru tangentă, $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$, pe care ai învățat-o odată cu formulele pentru tangentă. Rezultă

$$-\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_A-y_B}{x_B-x_A}⟹\mathrm{tg}\alpha =\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.$$

Cazul $\alpha =0^{\circ }$ este imediat: $y_A=y_B$, raportul e nul și $\mathrm{tg}{0}^{\circ }=0$. $■$

Reține că demonstrația a avut nevoie de două cazuri, iar al doilea s-a rezolvat printr-o formulă de reducere. Aceasta este diferența dintre a defini panta ca simplu raport și a o defini ca tangentă: definiția cu unghiul acoperă dintr-o dată toate direcțiile, dar cere trigonometrie ca s-o legi de coordonate.

Consecință importantă. Unghiul $\alpha$ este determinat de dreaptă, nu de punctele alese pe ea. Prin urmare, raportul $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ dă același rezultat pentru orice pereche de puncte distincte de pe $d$ — este chiar $\mathrm{tg}\alpha$. Nu mai avem nevoie de niciun argument suplimentar: independența de puncte e inclusă în definiție.

4. Panta ca ritm de variație

Rescriind formula sub forma $y_B-y_A=m(x_B-x_A)$, obținem citirea practică a pantei: când abscisa crește cu o unitate, ordonata se schimbă cu $m$ unități. Panta e, cu alte cuvinte, ritmul cu care crește sau scade ordonata pe măsură ce înaintăm spre dreapta.

În aplicații, această citire dă pantei o unitate de măsură compusă — „unități de $y$ pentru fiecare unitate de $x$" — iar semnul spune dacă mărimea urcă sau coboară. Peste cincizeci de lecții, la studiul funcțiilor derivabile, exact acest ritm va deveni derivata: panta tangentei la grafic într-un punct măsoară viteza de variație a funcției acolo. Legătura se face explicit atunci; deocamdată reține doar că panta este primul instrument din tot cursul care măsoară o schimbare, nu o poziție.

5. De ce dreapta verticală nu are pantă

Dacă $\alpha =90^{\circ }$, definiția $m=\mathrm{tg}\alpha$ nu se poate aplica: $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există, pentru că $\cos 90^{\circ }=0$ și $90^{\circ }$ este exclus din domeniul funcției tangente.

Aceeași concluzie se vede și pe formula cu coordonate: două puncte distincte de pe o verticală au aceeași abscisă, deci $x_B-x_A=0$, iar raportul ar cere împărțirea la zero.

Formularea corectă, cea care se cere la Bacalaureat M1, este: „dreapta este verticală, deci nu are pantă". Nu se spune „panta este infinită" — infinitul nu este număr real și nu poate fi valoare a unei pante. Și nu se confundă cu panta nulă: dreapta orizontală are pantă, egală cu $0$; dreapta verticală nu are pantă deloc. Sunt afirmații complet diferite, iar distincția aceasta se punctează în barem.

Regula practică pentru tot restul unității: orice raționament care folosește pante trebuie să spună ce se întâmplă dacă una dintre drepte e verticală. Vei vedea la condițiile de paralelism și de perpendicularitate că acesta este chiar motivul pentru care criteriile se dau în două variante.

6. Drumul invers: unghiul din pantă

Dacă știm panta și vrem unghiul, avem nevoie de funcția inversă a tangentei. Ai studiat-o în clasa a IX-a, la funcțiile arctangentă și arccotangentă: $\mathrm{arctg}:\mathbb{R}\to (-90^{\circ },90^{\circ })$.

Cum unghiul de înclinare trăiește în $[0^{\circ },180^{\circ })$, iar arctangenta întoarce valori în $(-90^{\circ },90^{\circ })$, trebuie făcută o corecție pe cazul negativ:

• dacă $m\ge 0$, atunci $\alpha =\mathrm{arctg}m\in [0^{\circ },90^{\circ })$;
• dacă $m<0$, atunci $\mathrm{arctg}m$ este negativ, deci $\alpha =180^{\circ }+\mathrm{arctg}m\in (90^{\circ },180^{\circ })$.

În practică, pentru pantele „frumoase" nu e nevoie de calculator: se recunosc din tabelul de mai jos, care merită memorat integral.

Observă simetria: unghiurile suplementare au pante opuse, exact cum cere formula $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$. Din pantele lui $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ le obții imediat pe cele ale lui $150^{\circ }$, $135^{\circ }$ și $120^{\circ }$.

7. Unde duce panta mai departe

Cu panta în mână, drumul se deschide brusc. Ea intră direct în ecuația dreptei care trece printr-un punct și are panta dată, lecția următoare, unde un punct plus o pantă produc o ecuație. Apoi devine criteriu de comparație între drepte: două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă și perpendiculare exact când produsul pantelor este $-1$. Iar mai târziu, la funcții, panta tangentei într-un punct al graficului va fi valoarea derivatei acolo.

Trei propoziții de fixat înainte de exemple: panta este tangenta unghiului de înclinare; se calculează din coordonate ca raport de diferențe, în aceeași ordine sus și jos; și nu există pentru drepte verticale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pantă pozitivă, unghi ascuțit

Calculați panta dreptei determinate de $A(-5,-2)$ și $B(3,4)$ și precizați natura unghiului de înclinare.

Rezolvare. Punctele au abscise diferite, deci panta există:

$$m=\frac{4-(-2)}{3-(-5)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$$

Panta este pozitivă, deci $\mathrm{tg}\alpha >0$ și $\alpha \in (0^{\circ },90^{\circ })$: unghiul de înclinare este ascuțit, iar dreapta urcă. Concret, $\alpha =\mathrm{arctg}\frac{3}{4}$. Cum $\frac{3}{4}<1=\mathrm{tg}45^{\circ }$, avem $\alpha <45^{\circ }$: dreapta e mai domoală decât prima bisectoare. $■$

Exemplul 2 — Pantă negativă, unghi obtuz

Calculați panta dreptei $PQ$, unde $P(-1,6)$ și $Q(4,-4)$, și exprimați unghiul de înclinare cu ajutorul arctangentei.

Rezolvare.

$$m=\frac{-4-6}{4-(-1)}=\frac{-10}{5}=-2.$$

Panta fiind negativă, unghiul de înclinare este obtuz. Aplicăm corecția din paragraful 6:

$$\alpha =180^{\circ }+\mathrm{arctg}(-2)=180^{\circ }-\mathrm{arctg}2.$$

Cum $\mathrm{arctg}2$ este cuprins între $60^{\circ }$ și $65^{\circ }$ (pentru că $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}\approx 1,73<2$), rezultă $\alpha$ puțin peste $115^{\circ }$. Interpretare: la fiecare unitate parcursă spre dreapta, dreapta coboară două unități. $■$

Exemplul 3 — Din unghi în pantă

O dreaptă trece prin $A(-2,4)$ și are unghiul de înclinare $\alpha =135^{\circ }$. Determinați panta ei și încă un punct al ei, cu ambele coordonate întregi.

Rezolvare. Din tabelul pantelor remarcabile, $m=\mathrm{tg}135^{\circ }=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$.

Panta $-1$ înseamnă: la o unitate spre dreapta, coborâm o unitate. Pornind din $A(-2,4)$ cu $x_B-x_A=5$, obținem $y_B-y_A=-1\cdot 5=-5$, deci $B(3,-1)$.

Verificare: $\frac{-1-4}{3-(-2)}=\frac{-5}{5}=-1$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Determinarea unui parametru

Determinați numărul real $k$ pentru care dreapta determinată de $A(3,-2)$ și $B(k,4)$ are panta $\frac{3}{2}$.

Rezolvare. Impunem condiția din definiție, cu grija ca panta să existe, adică $k\ne 3$:

$$\frac{4-(-2)}{k-3}=\frac{3}{2}⟹\frac{6}{k-3}=\frac{3}{2}⟹3(k-3)=12⟹k=7.$$

Valoarea $k=7$ respectă condiția $k\ne 3$. Verificare: pentru $B(7,4)$, panta este $\frac{4+2}{7-3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ ✓. $■$

Exemplul 5 — O aplicație tehnică

Capul de trasare al unei mașini de gravat se deplasează în linie dreaptă, pe o direcție care face unghiul de $150^{\circ }$ cu axa orizontală a mașinii. Determinați panta traiectoriei și coborârea corespunzătoare unei deplasări de $3$ mm spre dreapta.

Rezolvare. Din tabel, $m=\mathrm{tg}150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Panta e negativă, deci capul coboară pe măsură ce înaintează spre dreapta — coerent cu un unghi obtuz.

Coborârea pentru $\Delta x=3$ mm:

$$\Delta y=m\cdot \Delta x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3=-\sqrt{3}\text{mm}\approx -1,73\text{mm}.$$

Așadar, la fiecare $3$ mm de înaintare, capul coboară aproximativ $1,73$ mm. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,-1)$. a) Determinați unghiul de înclinare al dreptei $AB$, unde $B\left(5,-1+3\sqrt{3}\right)$. b) Determinați coordonatele punctului $C$, situat pe axa $Oy$, pentru care dreapta $AC$ are panta $-1$. c) Arătați că dreapta $AD$, unde $D(2,7)$, nu are pantă și precizați unghiul ei de înclinare.

Rezolvare. a) Calculăm panta:

$$m_{AB}=\frac{\left(-1+3\sqrt{3}\right)-(-1)}{5-2}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

Din $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$ cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ rezultă $\alpha =60^{\circ }$ (singura soluție în interval, pentru că tangenta este injectivă pe fiecare dintre cele două ramuri, iar valoarea e pozitivă).

b) Punctul are forma $C(0,c)$. Condiția asupra pantei:

$$\frac{c-(-1)}{0-2}=-1⟹\frac{c+1}{-2}=-1⟹c+1=2⟹c=1.$$

Deci $C(0,1)$. Verificare: $\frac{1-(-1)}{0-2}=\frac{2}{-2}=-1$ ✓.

c) Punctele $A(2,-1)$ și $D(2,7)$ au aceeași abscisă, deci dreapta $AD$ este verticală. Formula pantei ar cere numitorul $2-2=0$, imposibil; echivalent, unghiul de înclinare este $\alpha =90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Concluzie: dreapta $AD$ nu are pantă, iar unghiul ei de înclinare este de $90^{\circ }$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Scrie fiecare pantă ca fracție ireductibilă, ca număr întreg sau cu radical exact, și precizează de fiecare dată dacă unghiul de înclinare este nul, ascuțit, drept sau obtuz.

1. Calculează panta dreptei determinate de $A(-4,1)$ și $B(2,10)$.

2. Calculează panta dreptei determinate de $C(6,-3)$ și $D(-2,5)$ și precizează unghiul ei de înclinare.

3. Ce pantă are dreapta determinată de $E(-7,4)$ și $F(5,4)$? Care este unghiul ei de înclinare?

4. Explică de ce dreapta determinată de $G(3,-6)$ și $H(3,11)$ nu are pantă.

5. Determină panta dreptei cu unghiul de înclinare $\alpha =60^{\circ }$.

6. Determină panta dreptei cu unghiul de înclinare $\alpha =150^{\circ }$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă cu panta $-3$ are unghiul de înclinare mai mare decât una cu panta $-\frac{1}{2}$."

8. Determină numărul real $k$ pentru care dreapta prin $A(-1,3)$ și $B(k,-5)$ are panta $-4$.

9. Determină numărul real $t$ pentru care dreapta prin $A(2,t)$ și $B(-4,1)$ are panta $-\frac{1}{2}$.

10. Ordonează descrescător, după cât de abrupte sunt, dreptele cu pantele $m_1=\frac{7}{4}$, $m_2=-\frac{5}{2}$ și $m_3=-\frac{3}{5}$.

11. Arată, folosind pantele, că punctele $A(-3,-4)$, $B(1,2)$ și $C(5,8)$ sunt coliniare.

12. În triunghiul cu vârfurile $A(-2,-1)$, $B(6,3)$, $C(0,7)$, calculează panta medianei din $A$.

13. (Problemă aplicată.) O bandă transportoare urcă sub un unghi de $45^{\circ }$ față de orizontală. Ce pantă are și cu cât urcă pe o deplasare orizontală de $4$ m?

14. O dreaptă are panta $\frac{2}{5}$ și trece prin $A(-3,1)$. Găsește încă două puncte ale ei, cu ambele coordonate întregi.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-3,1)$ și $B\left(3,1+2\sqrt{3}\right)$. a) Calculați panta dreptei $AB$. b) Determinați unghiul de înclinare al dreptei $AB$. c) Determinați ordonata punctului $C$, de abscisă $9$, situat pe dreapta $AB$.

16. Explică diferența dintre afirmațiile „panta dreptei este $0$" și „dreapta nu are pantă". Dă câte un exemplu de dreaptă pentru fiecare.

17. Arată că laturile $[AB]$ și $[CD]$ ale patrulaterului cu vârfurile $A(-5,0)$, $B(1,4)$, $C(6,1)$, $D(0,-3)$ au aceeași pantă.

18. (Provocare.) Determină toate valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta determinată de $A(1,-2)$ și $B(m,m^2)$ are panta $3$.

Răspunsuri și explicații

1. $m=\frac{10-1}{2-(-4)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Panta e pozitivă, deci unghiul de înclinare este ascuțit.

2. $m=\frac{5-(-3)}{-2-6}=\frac{8}{-8}=-1$. Din $\mathrm{tg}\alpha =-1$ cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ rezultă $\alpha =135^{\circ }$ — unghi obtuz.

3. $m=\frac{4-4}{5-(-7)}=\frac{0}{12}=0$. Dreapta este orizontală, cu unghiul de înclinare $\alpha =0^{\circ }$.

4. Cele două puncte au aceeași abscisă, deci dreapta este verticală: $\alpha =90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Echivalent, formula pantei ar cere numitorul $3-3=0$. Formularea corectă este „nu are pantă", nu „panta e infinită".

5. $m=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$.

6. $m=\mathrm{tg}150^{\circ }=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

7. Fals. Ambele unghiuri sunt obtuze, iar pe intervalul $(90^{\circ },180^{\circ })$ funcția tangentă este strict crescătoare. Panta $-3$ este mai mică decât $-\frac{1}{2}$, deci îi corespunde un unghi mai mic, adică mai apropiat de $90^{\circ }$. Dreapta cu panta $-3$ este mai abruptă, dar unghiul ei de înclinare este cel mai mic dintre cele două.

8. $\frac{-5-3}{k-(-1)}=-4$, adică $\frac{-8}{k+1}=-4$, deci $k+1=2$ și $k=1$. Condiția $k\ne -1$ este respectată. Verificare: $\frac{-5-3}{1+1}=-4$ ✓.

9. $\frac{1-t}{-4-2}=-\frac{1}{2}$, adică $\frac{1-t}{-6}=-\frac{1}{2}$, deci $1-t=3$ și $t=-2$. Verificare: $\frac{1-(-2)}{-6}=-\frac{1}{2}$ ✓.

10. Comparăm modulele: $\left|-\frac{5}{2}\right|=2,5$, $\left|\frac{7}{4}\right|=1,75$, $\left|-\frac{3}{5}\right|=0,6$. Ordinea descrescătoare a abrupteței este $m_2$, $m_1$, $m_3$. Semnul nu contează pentru cât de abruptă e dreapta, ci doar pentru sens.

11. $m_{AB}=\frac{2-(-4)}{1-(-3)}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ și $m_{AC}=\frac{8-(-4)}{5-(-3)}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$. Dreptele $AB$ și $AC$ au aceeași pantă și un punct comun ($A$), deci coincid — punctele sunt coliniare. Confirmare cu determinantul: $\Delta =0$.

12. Mijlocul lui $[BC]$ este $M\left(\frac{6+0}{2},\frac{3+7}{2}\right)=M(3,5)$. Panta medianei: $m_{AM}=\frac{5-(-1)}{3-(-2)}=\frac{6}{5}$. (Necoliniaritatea vârfurilor se verifică: $\Delta \ne 0$.)

13. $m=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, deci banda urcă exact cât înaintează: $\Delta y=1\cdot 4=4$ m.

14. Panta $\frac{2}{5}$ înseamnă $\Delta y=2$ la $\Delta x=5$. Pornind din $A(-3,1)$: $B(2,3)$ și $C(7,5)$. Verificare: $\frac{3-1}{2-(-3)}=\frac{2}{5}$ și $\frac{5-1}{7-(-3)}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ ✓.

15. a) $m_{AB}=\frac{\left(1+2\sqrt{3}\right)-1}{3-(-3)}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. b) Din $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ rezultă $\alpha =30^{\circ }$. c) Panta se păstrează pe toată dreapta, deci $\frac{y_C-1}{9-(-3)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, de unde $y_C-1=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$ și $y_C=1+4\sqrt{3}$.

16. „Panta este $0$" înseamnă $\mathrm{tg}\alpha =0$, adică $\alpha =0^{\circ }$: dreapta este orizontală, de exemplu cea determinată de $(-7,4)$ și $(5,4)$. „Nu are pantă" înseamnă $\alpha =90^{\circ }$, unghi pentru care tangenta nu este definită: dreapta este verticală, de exemplu cea determinată de $(3,-6)$ și $(3,11)$. Prima are pantă și aceasta este nulă; a doua nu are pantă deloc.

17. $m_{AB}=\frac{4-0}{1-(-5)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ și $m_{DC}=\frac{1-(-3)}{6-0}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Pantele sunt egale. Cum punctul $A(-5,0)$ nu se află pe dreapta $DC$ (pentru abscisa $-5$, dreapta $DC$ dă ordonata $-3+\frac{2}{3}\cdot (-5)=-\frac{19}{3}\ne 0$), cele două drepte sunt distincte, deci laturile $[AB]$ și $[DC]$ sunt paralele.

18. Condiția $\frac{m^2-(-2)}{m-1}=3$ cere $m\ne 1$ și se scrie $m^2+2=3(m-1)$, adică $m^2-3m+5=0$. Discriminantul acestei ecuații de gradul al doilea este $9-20=-11<0$, deci ea nu are soluții reale: nu există nicio valoare reală a lui $m$ pentru care panta să fie $3$. Este un exemplu util de problemă a cărei soluție corectă este mulțimea vidă.

De reținut

• Unghiul de înclinare $\alpha$ se măsoară în sens trigonometric, de la semiaxa pozitivă $Ox$ până la dreaptă, și ia valori în $[0^{\circ },180^{\circ })$.
• Panta este $m=\mathrm{tg}\alpha$. Semnul ei dă sensul ($m>0$ urcă, $m=0$ orizontală, $m<0$ coboară), iar modulul dă cât de abruptă e dreapta.
• Din coordonate, $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ pentru $x_A\ne x_B$; ordinea scăderii trebuie să fie aceeași sus și jos. Rezultatul nu depinde de perechea de puncte aleasă, pentru că $\alpha$ ține de dreaptă.
• Dreapta verticală nu are pantă ($\alpha =90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există). Nu se spune „pantă infinită" și nu se confundă cu panta nulă a orizontalei.
• Drumul invers: $\alpha =\mathrm{arctg}m$ pentru $m\ge 0$ și $\alpha =180^{\circ }+\mathrm{arctg}m$ pentru $m<0$. Pantele remarcabile ($0$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$, $\sqrt{3}$ și opusele lor) se rețin pe de rost.

Greșeli frecvente

• „Panta este infinită" la drepte verticale. Nu există așa ceva: $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu e definită, iar panta ar trebui să fie un număr real. Formularea corectă este „dreapta este verticală, deci nu are pantă".
• Confuzia dintre pantă nulă și lipsa pantei. Orizontala are pantă, egală cu $0$; verticala nu are pantă. Ambele se cer frecvent în aceeași problemă, tocmai ca să se verifice distincția.
• Se uită corecția la unghiuri obtuze. Din $m=-1$ se scrie $\alpha =\mathrm{arctg}(-1)=-45^{\circ }$, valoare care nu aparține intervalului $[0^{\circ },180^{\circ })$. Corect: $\alpha =180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.
• Ordinea amestecată în raport. Se scrie $\frac{y_B-y_A}{x_A-x_B}$, deci semnul iese greșit și dreapta „urcă" în loc să coboare. Fixează ordinea: dacă sus e „al doilea minus primul", la fel și jos.
• Se compară pante fără să se compare module. Din $-3<-\frac{1}{2}$ se trage concluzia că prima dreaptă e „mai puțin înclinată". Fals: abruptețea se citește pe $|m|$, iar $3>\frac{1}{2}$.

Aplică acasă

1. Unghiurile din jurul tău. Fotografiază trei obiecte cu muchii oblice bine vizibile (o scară rulantă, o balustradă, o umbrelă de terasă). Pe fiecare fotografie, măsoară cu rigla o deplasare orizontală și urcarea corespunzătoare, calculează panta ca raport și apoi estimează unghiul, comparând cu pantele remarcabile din tabel. Care obiect e cel mai aproape de $45^{\circ }$?

2. Tabelul pantelor, făcut de tine. Desenează pe hârtie milimetrică opt drepte prin origine, cu unghiurile din tabelul lecției, folosind un raportor. Pentru fiecare, citește coordonatele unui punct de pe ea și calculează panta din raport. Compară rezultatele cu valorile din tabel: diferențele îți arată eroarea de desen, nu eroarea formulei.

3. Panta unei evoluții. Alege o mărime care se schimbă aproape uniform în viața ta (numărul de pagini citite dintr-o carte, distanța parcursă la alergare, soldul unui abonament). Notează două perechi (moment, valoare), calculează panta și spune ce înseamnă ea, cu unitate de măsură cu tot. Apoi estimează, din pantă, valoarea peste o săptămână.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce panta unei drepte exact în forma cerută de programa de matematică-informatică pentru clasa a XI-a: ca tangentă a unghiului format de dreaptă cu axa $Ox$, măsurat în sens trigonometric. Competențele vizate sunt XI.CS.1.3 (identificarea elementelor caracteristice dreptelor în planul cartezian), XI.CS.2.3 (calcularea pantei cunoscând coordonatele a două puncte) și XI.CS.4.3 (exprimarea în limbaj matematic a relațiilor dintre coeficienți, puncte și pante). Definiția trigonometrică nu este un ornament: ea acoperă dintr-o dată toate direcțiile posibile, explică natural de ce pantele negative corespund unghiurilor obtuze și pregătește interpretarea geometrică a derivatei, din a doua jumătate a anului.

Punctul cel mai delicat al lecției este demonstrația formulei $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, care are două cazuri și folosește formula de reducere $\mathrm{tg}(180^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$. Merită insistat aici, pentru că este primul loc din unitate în care trigonometria clasei a IX-a se întâlnește cu geometria analitică. Întrebări bune de control: „De ce unghiul de înclinare se ia în $[0^{\circ },180^{\circ })$ și nu în $[0^{\circ },360^{\circ })$?"; „Ce pantă are o dreaptă cu $\alpha =120^{\circ }$?"; „Care e diferența dintre pantă nulă și lipsa pantei?"; „Dacă $m=-2$, cât este $\alpha$?"; „De ce panta nu depinde de punctele alese pe dreaptă?".

La BAC M1, panta apare fie ca cerință directă („calculați panta dreptei $AB$"), fie ca pas intermediar în aproape orice problemă de geometrie analitică: scrierea unei ecuații de dreaptă, verificarea paralelismului sau a perpendicularității, determinarea unui parametru dintr-o condiție impusă pantei, calculul unghiului dintre două drepte. Semne că elevul a înțeles: scrie panta în formă exactă (fracție ireductibilă sau radical), nu confundă cele două situații speciale și adaugă din reflex condiția de existență a numitorului atunci când apare un parametru.

Întrebări frecvente

Ce este panta unei drepte la clasa a 11-a? Este tangenta unghiului de înclinare: $m=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul măsurat în sens trigonometric de la semiaxa pozitivă $Ox$ până la dreaptă, cu $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$.

Care e diferența față de definiția pantei ca raport? Este aceeași mărime, obținută pe două căi. Definiția cu tangenta e primară și acoperă direct toate direcțiile; formula $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ se demonstrează din ea, separat pentru unghiuri ascuțite și pentru unghiuri obtuze.

De ce unghiul de înclinare se ia doar până la $180^{\circ }$? Pentru că o dreaptă nu are sens de parcurgere: unghiurile $\alpha$ și $\alpha +180^{\circ }$ ar descrie aceeași dreaptă. Se alege reprezentantul din $[0^{\circ },180^{\circ })$, iar valoarea $180^{\circ }$ se exclude fiindcă ar repeta orizontala.

Ce pantă are o dreaptă verticală? Niciuna. Unghiul ei de înclinare este $90^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu este definită; pe formula cu coordonate, numitorul ar fi zero. Se spune „dreaptă verticală, fără pantă", nu „pantă infinită".

Cum aflu unghiul de înclinare dacă știu panta? Dacă $m\ge 0$, atunci $\alpha =\mathrm{arctg}m$. Dacă $m<0$, arctangenta dă un unghi negativ, deci se adaugă $180^{\circ }$: $\alpha =180^{\circ }+\mathrm{arctg}m$. Pentru pantele remarcabile, unghiul se recunoaște direct din tabel.

Ce înseamnă că o pantă e mai mare în modul? Că dreapta e mai abruptă, adică mai apropiată de verticală. Semnul spune doar dacă urcă sau coboară. De exemplu, dreptele cu pantele $3$ și $-3$ sunt la fel de abrupte, dar merg în sensuri opuse.

Contează ordinea punctelor când calculez panta din coordonate? Nu, atât timp cât păstrezi aceeași ordine la numărător și la numitor: schimbând ambele diferențe, semnele se simplifică. Greșeala apare când inversezi doar una dintre ele.

Unde se folosește panta mai departe în clasa a 11-a? În ecuațiile dreptei (punct-pantă, explicită, generală), în criteriile de paralelism și de perpendicularitate, în formula unghiului a două drepte și, la analiză matematică, în interpretarea geometrică a derivatei ca pantă a tangentei la grafic.