Elementul neutru al unei legi de compoziție

Numărul $0$ are, față de adunare, un privilegiu pe care niciun alt număr nu îl are: adunat la orice, nu schimbă nimic. Exact același privilegiu îl are $1$ față de înmulțire. Elementul neutru al unei legi de compoziție este generalizarea acestei idei, iar la clasa a 12-a el devine a treia proprietate studiată în unitatea „Legi de compoziție", după cele din Asociativitatea unei legi de compoziție și Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei. Elementul neutru al unei legi $\ast$ pe mulțimea $M$ este acel element $e$ din $M$ pentru care $x\ast e=e\ast x=x$, oricare ar fi $x$ din $M$; dacă o lege are element neutru, atunci acesta este unic.

Spre deosebire de primele două proprietăți, aici nu doar verifici ceva: cauți un element și, dacă îl găsești, dovedești că e singurul cu proprietatea cerută. De aceea lecția are și o teoremă cu demonstrație — unicitatea elementului neutru —, și o rețetă de determinare din ecuație, și un criteriu de citire pe tabla operației cerut explicit de programa de matematică-informatică. Sunt exact cele trei lucruri care se cer în problemele de algebră de la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția elementului neutru și să o deosebești de noțiunile de element neutru la stânga și la dreapta.
• Vei ști să demonstrezi unicitatea elementului neutru și să explici de ce elementele neutre „pe o singură parte" pot fi, dimpotrivă, foarte multe.
• Vei ști să determini elementul neutru al unei legi date prin formulă, rezolvând ecuația $x\ast e=x$ și verificând apoi ambele condiții.
• Vei ști să citești elementul neutru din tabla operației: linia și coloana lui reproduc prima linie și prima coloană.
• Vei ști să recunoști cele trei situații în care legea nu are element neutru și să le justifici corect.
• Vei ști elementele neutre ale operațiilor uzuale: adunarea, înmulțirea, compunerea funcțiilor, operațiile cu matrice și cele cu mulțimi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este elementul neutru al unei legi de compoziție?

Fie $\ast$ o lege de compoziție pe mulțimea nevidă $M$. Ne întrebăm dacă există în $M$ un element privilegiat, care compus cu oricare altul să îl lase neatins.

Elementul neutru al unei legi $\ast$ este acel element $e$ al mulțimii $M$ care lasă neschimbat orice element cu care se compune: $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x\in M$. Este, pentru legea $\ast$, ceea ce sunt numărul $0$ pentru adunarea numerelor reale și numărul $1$ pentru înmulțirea lor.

Atenție la cele două cerințe din definiție: egalitatea trebuie să fie adevărată și când $e$ stă la dreapta, și când stă la stânga. Când legea e comutativă, una dintre ele o atrage automat pe cealaltă și se scrie o singură propoziție care spune asta; când legea nu e comutativă, ambele se verifică separat, altfel demonstrația e incompletă.

⚠️ O precizare de notație, o dată pentru toată unitatea. Litera $e$ înseamnă aici elementul neutru, nu numărul lui Euler de la analiză matematică. Numărul acela nu apare deloc în unitatea „Legi de compoziție", tocmai ca să nu existe confuzie; când, mai târziu, cele două se vor întâlni în aceeași problemă, textul va spune explicit despre care este vorba.

2. Ce este neutrul la stânga și neutrul la dreapta?

Definiția are două jumătăți, iar fiecare dintre ele poartă un nume propriu.

Elementul $e_s\in M$ se numește element neutru la stânga dacă $e_s\ast x=x$ pentru orice $x\in M$. Elementul $e_d\in M$ se numește element neutru la dreapta dacă $x\ast e_d=x$ pentru orice $x\in M$. Elementul neutru, cel adevărat, este cel care e și una, și alta.

Deosebirea nu e o subtilitate inutilă. Iată o lege în care jumătățile se despart spectaculos: pe mulțimea $M=\{a,b,c\}$ definim $x\ast y=x$, adică „păstrează primul element". Atunci $x\ast y=x$ pentru orice $y$, deci fiecare element al lui $M$ este neutru la dreapta — sunt trei elemente neutre la dreapta. În schimb, $e_s\ast x=e_s$, iar egalitatea $e_s=x$ nu poate fi adevărată pentru orice $x$, deci niciun element nu e neutru la stânga. Concluzia: legea aceasta nu are element neutru, deși are trei elemente neutre la dreapta.

Exemplul arată de ce enunțul teoremei care urmează trebuie citit cu grijă: unicitatea privește elementul neutru de ambele părți, nu jumătățile lui.

3. Este elementul neutru unic?

Da, iar acesta este primul rezultat cu demonstrație din unitate.

Teoremă (unicitatea elementului neutru). O lege de compoziție $\ast$ pe mulțimea $M$ are cel mult un element neutru.

Demonstrație. Presupunem că $e_1$ și $e_2$ sunt amândouă elemente neutre și calculăm compusul lor în două feluri. Pentru că $e_2$ este element neutru, avem $e_1\ast e_2=e_1$. Pentru că $e_1$ este element neutru, avem $e_1\ast e_2=e_2$. Cele două valori ale aceluiași compus trebuie să coincidă, deci $e_1=e_2$. $■$

Demonstrația e scurtă, dar trucul din ea merită reținut: același compus se calculează în două feluri, folosind pe rând proprietatea fiecăruia dintre cele două elemente. Îl vei mai întâlni de câteva ori în unitățile următoare.

Forma mai tare a rezultatului explică și exemplul din subsecțiunea precedentă.

Propoziție. Dacă legea $\ast$ are un element neutru la stânga $e_s$ și un element neutru la dreapta $e_d$, atunci $e_s=e_d$, iar acest element este element neutru.

Demonstrație. Calculăm compusul $e_s\ast e_d$ în două feluri. Pentru că $e_s$ e neutru la stânga, $e_s\ast e_d=e_d$. Pentru că $e_d$ e neutru la dreapta, $e_s\ast e_d=e_s$. Prin urmare $e_s=e_d$; fiind neutru și la stânga, și la dreapta, acest element este element neutru. $■$

Consecința practică, cea care se folosește la exerciții: dacă o lege are două elemente neutre la dreapta distincte, atunci nu are niciun element neutru la stânga — pentru că un neutru la stânga ar fi egal cu amândouă, ceea ce e imposibil. Legea „păstrează primul element" are trei elemente neutre la dreapta, deci nu poate avea niciun element neutru la stânga, așa cum am și verificat direct.

4. Cum determini elementul neutru al unei legi date prin formulă?

Rețeta are trei pași, iar sărirea vreunuia costă puncte la corectare.

1. Scrii ecuația $x\ast e=x$, în care necunoscuta este $e$, iar $x$ e privit ca parametru; o rezolvi.
2. Verifici că soluția nu depinde de $x$ și că aparține mulțimii $M$. Dacă $e$ iese în funcție de $x$, legea nu are element neutru; dacă iese un număr care nu e în $M$, la fel.
3. Verifici și a doua egalitate, $e\ast x=x$. Când legea e comutativă, spui o dată că verificarea e automată; când nu e, o faci efectiv.

Să aplicăm rețeta pe legea $x\ast y=xy-6x-6y+42$, definită pe $\mathbb{R}$. Întâi o aducem la forma factorizată: $x\ast y=(x-6)(y-6)+6$.

Pasul 1. Ecuația $x\ast e=x$ devine $(x-6)(e-6)+6=x$, adică $(x-6)(e-6)=x-6$. Pentru $x\ne 6$ împărțim prin $x-6$ și obținem $e-6=1$, deci $e=7$.

Pasul 2. Soluția $e=7$ nu depinde de $x$ și este un număr real, deci aparține mulțimii pe care lucrăm. Mai verificăm și cazul $x=6$, pe care l-am exclus la împărțire: $6\ast 7=(6-6)(7-6)+6=6$, corect.

Pasul 3. Legea e comutativă, pentru că forma factorizată e simetrică; prin urmare $7\ast x=x\ast 7=x$ și a doua egalitate e automat adevărată. Concluzie: elementul neutru al legii este $e=7$.

Scurtătura de reținut. Pentru orice lege de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, elementul neutru este $e=a+1$. Verificarea e imediată: $x\ast (a+1)=(x-a)\cdot 1+a=x$. Cu ea, la o problemă de tip Subiectul al II-lea, răspunsul se scrie într-un rând — dar rândul cu verificarea trebuie totuși scris.

5. Cum se citește elementul neutru în tabla operației?

Reamintim convenția din Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită: elementele se scriu în aceeași ordine pe prima linie și pe prima coloană, iar în celula de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ stă $x\ast y$.

Criteriul. Elementul $e$ este element neutru dacă și numai dacă linia lui $e$ reproduce prima linie a tablei, iar coloana lui $e$ reproduce prima coloană.

De ce funcționează. Pe linia lui $e$, în dreptul coloanei lui $y$, stă compusul $e\ast y$. Linia lui $e$ reproduce prima linie (adică antetul, unde stau chiar elementele $y$) exact atunci când $e\ast y=y$ pentru orice $y$, adică exact atunci când $e$ e element neutru la stânga. Simetric, coloana lui $e$ reproduce prima coloană exact atunci când $x\ast e=x$ pentru orice $x$, adică atunci când $e$ e element neutru la dreapta. Cele două condiții împreună dau definiția elementului neutru.

Criteriul e util și pe jumătăți: dacă doar linia se reproduce, ai un element neutru la stânga; dacă doar coloana, ai unul la dreapta.

Iată tabla legii „restul împărțirii lui $x+y$ la $4$", pe mulțimea $M=\{0,1,2,3\}$:

Linia lui $0$ este $0$, $1$, $2$, $3$ — adică exact antetul; coloana lui $0$ este tot $0$, $1$, $2$, $3$. Prin urmare $0$ este elementul neutru. Nicio altă linie nu reproduce antetul, ceea ce confirmă unicitatea pe care am demonstrat-o.

Un al doilea exemplu, pe o lege necomutativă. Pe $M=\{u,a,b\}$ se dă tabla:

Linia lui $u$ este $u$, $a$, $b$, adică antetul; coloana lui $u$ este tot $u$, $a$, $b$. Deci $u$ este element neutru, deși legea nu e comutativă ($a\ast b=a$, dar $b\ast a=b$). Reține exemplul: existența elementului neutru nu cere comutativitate.

6. Galeria operațiilor: care au element neutru și care nu?

Au element neutru. Adunarea numerelor (pe $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$) are $e=0$; înmulțirea lor are $e=1$. Adunarea matricelor pătratice de ordinul al doilea are ca element neutru matricea nulă $O_2$, iar înmulțirea lor are matricea unitate $I_2$. Compunerea funcțiilor de la o mulțime $M$ la ea însăși are ca element neutru funcția identică $1_M$, definită prin $1_M(x)=x$: într-adevăr, $f\circ 1_M=1_M\circ f=f$ pentru orice funcție $f$, cum se verifică direct din definiția compunerii, cea din Operații cu funcții; compunerea funcțiilor. Pe mulțimea părților unei mulțimi $M$, reuniunea are ca element neutru mulțimea vidă, intersecția are chiar mulțimea $M$, iar diferența simetrică are tot mulțimea vidă — legile studiate în Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică.

Nu au element neutru. Scăderea pe $\mathbb{Z}$: din $x-e=x$ rezultă $e=0$, deci $0$ e neutru la dreapta; dar $0-x=-x$, care e egal cu $x$ doar pentru $x=0$, deci $0$ nu e neutru la stânga, iar altul nu are cum să fie. Împărțirea pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ se comportă la fel, cu $1$ în loc de $0$: $x:1=x$, dar $1:x=x$ doar pentru $x=\pm 1$. Media aritmetică $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ nu are element neutru pentru un motiv diferit: ecuația $\frac{x+e}{2}=x$ dă $e=x$, adică un „candidat" care se schimbă odată cu $x$. Iar legea $x\ast y=\max (x,y)$ nu are element neutru pe $\mathbb{R}$, pentru că ar trebui ca $e$ să fie mai mic sau egal decât orice număr real.

⚠️ Mulțimea contează. Aceeași formulă poate avea element neutru pe o mulțime și niciunul pe alta. Legea $x\ast y=2xy$ are pe $\mathbb{Q}$ elementul neutru $e=\frac{1}{2}$, pentru că $2x\cdot \frac{1}{2}=x$; pe $\mathbb{Z}$, aceeași lege nu are element neutru, pentru că singurul candidat, $\frac{1}{2}$, nu e număr întreg. La fel, $x\ast y=\max (x,y)$ nu are element neutru pe $\mathbb{R}$, dar are elementul neutru $e=0$ pe intervalul $[0,+\infty )$. Verificarea apartenenței la mulțime nu e o formalitate.

7. Trei capcane și un anunț

Capcana 1: candidatul depinde de $x$. Dacă din ecuația $x\ast e=x$ îți iese ceva de forma $e=x$ sau $e=x^2$, nu ai găsit un element neutru, ci ai dovedit că nu există: elementul neutru trebuie să fie unul singur, bun pentru toate elementele.

Capcana 2: candidatul nu e în mulțime. Ecuația poate avea o soluție frumoasă, care să nu aparțină însă mulțimii pe care e definită legea. Pasul de verificare a apartenenței se scrie explicit, mai ales la legile definite pe $\mathbb{Z}$, pe $\mathbb{N}$ sau pe intervale.

Capcana 3: verificarea pe o singură parte. La legile necomutative, egalitatea $x\ast e=x$ nu o atrage pe $e\ast x=x$. Scrie amândouă sau spune, într-o propoziție, că legea e comutativă și de aceea a doua verificare e automată.

Și anunțul. Odată ce ai un element neutru, se pune firesc întrebarea următoare: dat un element $x$, există oare un partener al lui care, compus cu $x$, să dea chiar elementul neutru? Numărul $-3$ joacă acest rol pentru $3$ la adunare, iar $\frac{1}{3}$ îl joacă la înmulțire. Elementele care au un asemenea partener primesc un nume și o teorie proprie în lecția următoare, Elemente simetrizabile și simetricul unui element; fără element neutru, întrebarea nici nu s-ar putea pune.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O lege aditivă

Se consideră legea $x\ast y=x+y-7$ pe $\mathbb{R}$. Determină elementul neutru.

Rezolvare. Rezolvăm ecuația $x\ast e=x$, adică $x+e-7=x$. Obținem $e=7$, soluție care nu depinde de $x$ și este număr real. Verificăm și cealaltă egalitate: $e\ast x=7+x-7=x$. ✓ Prin urmare elementul neutru este $e=7$.

Observație: legea e comutativă (formula e simetrică), deci a doua verificare putea fi înlocuită cu o propoziție. Am făcut-o totuși, pentru că într-o lucrare de o oră scrierea ei costă zece secunde.

Exemplul 2 — O lege de tip produs, pe două mulțimi

Se consideră legea $x\ast y=xy-3x-3y+12$.

a) Determină elementul neutru pe $\mathbb{R}$.

b) Arată că intervalul $(3,+\infty )$ este parte stabilă și determină elementul neutru al legii induse pe el.

Rezolvare. a) Scriem legea factorizat: $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$. Ecuația $x\ast e=x$ devine $(x-3)(e-3)=x-3$, de unde, pentru $x\ne 3$, $e=4$; cazul $x=3$ se verifică separat: $3\ast 4=0+3=3$. ✓ Legea fiind comutativă, elementul neutru este $e=4$.

b) Pentru $x,y>3$ avem $x-3>0$ și $y-3>0$, deci $(x-3)(y-3)>0$ și $x\ast y>3$: intervalul este parte stabilă. Elementul neutru al legii induse este tot $4$, pentru că $4\in (3,+\infty )$ și egalitățile rămân adevărate. Dacă elementul neutru nu ar fi aparținut intervalului, legea indusă nu ar fi avut element neutru — de aceea verificarea apartenenței e obligatorie.

Exemplul 3 — Aceeași formulă, două mulțimi, două răspunsuri

Se consideră legea $x\ast y=2xy$. Are ea element neutru pe $\mathbb{Q}$? Dar pe $\mathbb{Z}$?

Rezolvare. Ecuația $x\ast e=x$ se scrie $2xe=x$, adică $x(2e-1)=0$ pentru orice $x$. Luând un $x$ nenul obținem $2e-1=0$, deci $e=\frac{1}{2}$; pentru $x=0$ egalitatea e adevărată oricum.

Pe $\mathbb{Q}$: numărul $\frac{1}{2}$ este rațional, deci aparține mulțimii. Verificăm ambele egalități: $x\ast \frac{1}{2}=2x\cdot \frac{1}{2}=x$ și $\frac{1}{2}\ast x=2\cdot \frac{1}{2}\cdot x=x$. ✓ Elementul neutru este $e=\frac{1}{2}$.

Pe $\mathbb{Z}$: singurul candidat este tot $\frac{1}{2}$, care nu este număr întreg. Cum elementul neutru trebuie să aparțină mulțimii pe care e definită legea, legea $\ast$ nu are element neutru pe $\mathbb{Z}$. Este exemplul-tip pentru compararea proprietăților aceleiași legi pe mulțimi diferite.

Exemplul 4 — Elementul neutru citit din tablă

a) Pe $M=\{u,a,b\}$ se dă tabla de mai jos. Determină elementul neutru.

b) Arată că legea „câștigătorul", dată pe $M=\{P,F,H\}$ de tabla piatră–foarfece–hârtie, nu are element neutru.

Rezolvare. a) Căutăm linia care reproduce antetul $u$, $a$, $b$. Linia lui $u$ este chiar $u$, $a$, $b$ ✓; linia lui $a$ este $a$, $a$, $a$ ✗; linia lui $b$ este $b$, $b$, $b$ ✗. Verificăm apoi coloana lui $u$: ea este $u$, $a$, $b$, adică prima coloană ✓. Prin urmare $u$ este element neutru (și, prin teorema de unicitate, singurul).

b) Verificăm fiecare linie, comparând-o cu antetul $P$, $F$, $H$. Linia lui $P$ este $P$, $P$, $H$ și diferă la poziția a doua, pentru că $P\ast F=P\ne F$. Linia lui $F$ este $P$, $F$, $F$ și diferă la poziția a treia, pentru că $F\ast H=F\ne H$. Linia lui $H$ este $H$, $F$, $H$ și diferă la prima poziție, pentru că $H\ast P=H\ne P$. Nicio linie nu reproduce antetul, deci legea nu are element neutru la stânga și, cu atât mai puțin, element neutru.

Exemplul 5 — Scăderea și împărțirea: neutru pe o singură parte

a) Arată că $0$ este element neutru la dreapta pentru scăderea pe $\mathbb{Z}$, dar scăderea nu are element neutru.

b) Arată același lucru pentru împărțirea pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, cu $1$ în loc de $0$.

Rezolvare. a) Pentru orice $x\in \mathbb{Z}$ avem $x-0=x$, deci $0$ este element neutru la dreapta. Dacă ar exista un element neutru, el ar fi și neutru la dreapta, deci ar fi egal cu $0$ (căci $x-e=x$ dă $e=0$). Dar $0-x=-x$, iar egalitatea $-x=x$ e adevărată numai pentru $x=0$, nu pentru orice $x$; de exemplu, $0-5=-5\ne 5$. Prin urmare $0$ nu e neutru la stânga, iar scăderea nu are element neutru.

b) Pentru orice $x\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$ avem $x:1=x$, deci $1$ este element neutru la dreapta, iar el este singurul candidat. Însă $1:x=\frac{1}{x}$, iar egalitatea $\frac{1}{x}=x$ are loc doar pentru $x=1$ și $x=-1$; de exemplu, $1:2=\frac{1}{2}\ne 2$. Împărțirea nu are deci element neutru.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=xy-6x-6y+42$. (Este tipul de problemă din Subiectul al II-lea, cu trei subpuncte legate.)

a) Arată că $x\ast y=(x-6)(y-6)+6$ și că intervalul $(6,+\infty )$ este parte stabilă.

b) Determină elementul neutru al legii $\ast$ și arată că aparține intervalului $(6,+\infty )$.

c) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $x\ast x=7$.

Rezolvare.

a) $(x-6)(y-6)+6=xy-6x-6y+36+6=xy-6x-6y+42$ ✓. Dacă $x,y>6$, atunci $x-6>0$ și $y-6>0$, deci $(x-6)(y-6)>0$ și $x\ast y>6$, adică $x\ast y\in (6,+\infty )$.

b) Din $x\ast e=x$ obținem $(x-6)(e-6)+6=x$, adică $(x-6)(e-6)=x-6$. Pentru $x\ne 6$ rezultă $e=7$, iar pentru $x=6$ egalitatea se verifică: $6\ast 7=0+6=6$. Legea e comutativă, deci și $7\ast x=x$. Elementul neutru este $e=7$, iar $7>6$, deci $e\in (6,+\infty )$: legea indusă pe interval are același element neutru.

c) Scriem ecuația cu forma factorizată: $x\ast x=(x-6{)}^2+6$, deci ecuația devine $(x-6{)}^2+6=7$, adică $(x-6{)}^2=1$. Rezultă $x-6=1$ sau $x-6=-1$, deci $x=7$ sau $x=5$. Verificare: $7\ast 7=49-42-42+42=7$ ✓ și $5\ast 5=25-30-30+42=7$ ✓.

Să exersăm

La fiecare lege, urmează cei trei pași: ecuația $x\ast e=x$, verificarea că soluția nu depinde de $x$ și că aparține mulțimii, apoi cealaltă egalitate. La table, caută linia care reproduce antetul și verifică și coloana.

1. Determină elementul neutru al legii $x\ast y=x+y+5$, definită pe $\mathbb{R}$.

2. Determină elementul neutru al legii $x\ast y=x+y-3$, definită pe $\mathbb{R}$.

3. Determină elementul neutru al legii $x\ast y=xy-4x-4y+20$, definită pe $\mathbb{R}$, folosind forma factorizată.

4. Determină elementul neutru al legii $x\ast y=\frac{xy}{2}$, definită pe $\mathbb{R}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O lege de compoziție poate avea două elemente neutre diferite."

6. Arată că $0$ este element neutru la dreapta pentru scăderea pe $\mathbb{Z}$, dar nu este element neutru la stânga.

7. Arată că $1$ este element neutru la dreapta pentru împărțirea pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, dar nu este element neutru la stânga.

8. Arată că legea $x\ast y=\frac{x+y}{2}$, definită pe $\mathbb{Q}$, nu are element neutru.

9. Pentru tabla legii „restul împărțirii lui $x+y$ la $4$" pe $M=\{0,1,2,3\}$, identifică elementul neutru și justifică-l scriind linia și coloana lui.

10. Pe $M=\{a,b,c\}$ se definește legea $x\ast y=y$ („păstrează al doilea element"). Scrie tabla, arată că fiecare element al lui $M$ este element neutru la stânga și deduce că legea nu are element neutru.

11. Determină elementul neutru al legii $x\ast y=3xy$ pe $\mathbb{Q}$ și arată că aceeași lege nu are element neutru pe $\mathbb{Z}$.

12. (Problemă aplicată.) Fie $M$ o mulțime nevidă. Determină elementul neutru pentru reuniune și pentru intersecție, ca legi pe mulțimea părților lui $M$, și explică într-o frază de ce răspunsurile sunt diferite.

13. Arată că funcția identică $1_M$, definită prin $1_M(x)=x$, este element neutru pentru compunerea funcțiilor de la $M$ la $M$.

14. Scrie elementul neutru pentru adunarea matricelor pătratice de ordinul al doilea și pe cel pentru înmulțirea lor, apoi verifică a doua afirmație pe matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-2x-2y+6$. a) Arată că $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$. b) Determină elementul neutru. c) Rezolvă ecuația $x\ast x=6$.

16. Arată că legea $x\ast y=\max (x,y)$ nu are element neutru pe $\mathbb{R}$, dar are elementul neutru $0$ pe intervalul $[0,+\infty )$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o lege are un element neutru la dreapta, atunci acela este elementul neutru al legii."

18. (Provocare.) Arată că, dacă o lege de compoziție are două elemente neutre la dreapta distincte, atunci ea nu are niciun element neutru la stânga; deduce de aici că nu are element neutru.

Răspunsuri și explicații

1. Din $x+e+5=x$ rezultă $e=-5$, care nu depinde de $x$ și e număr real. Verificare: $(-5)\ast x=-5+x+5=x$ ✓. Elementul neutru este $e=-5$.

2. Din $x+e-3=x$ rezultă $e=3$. Verificare: $3\ast x=3+x-3=x$ ✓. Elementul neutru este $e=3$.

3. Legea se scrie $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$, pentru că $(x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16$. Din $(x-4)(e-4)=x-4$ rezultă $e-4=1$, deci $e=5$ (cazul $x=4$ se verifică: $4\ast 5=0+4=4$). Legea fiind comutativă, elementul neutru este $e=5$ — în acord cu regula $e=a+1$ pentru $a=4$.

4. Din $\frac{xe}{2}=x$ rezultă $x(e-2)=0$ pentru orice $x$, deci $e=2$. Verificare: $x\ast 2=\frac{2x}{2}=x$ și $2\ast x=x$ ✓. Elementul neutru este $e=2$.

5. Fals. Elementul neutru este unic: dacă $e_1$ și $e_2$ ar fi amândouă neutre, atunci $e_1\ast e_2=e_1$ (pentru că $e_2$ e neutru) și $e_1\ast e_2=e_2$ (pentru că $e_1$ e neutru), deci $e_1=e_2$.

6. Pentru orice $x\in \mathbb{Z}$, $x-0=x$, deci $0$ e element neutru la dreapta. Nu e neutru la stânga: $0-5=-5\ne 5$. Cum orice element neutru ar fi și neutru la dreapta, deci ar fi $0$, scăderea nu are element neutru.

7. Pentru orice $x\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$, $x:1=x$, deci $1$ e element neutru la dreapta. Nu e neutru la stânga: $1:2=\frac{1}{2}\ne 2$. Prin același argument ca la exercițiul precedent, împărțirea nu are element neutru.

8. Ecuația $x\ast e=x$ se scrie $\frac{x+e}{2}=x$, de unde $x+e=2x$, adică $e=x$. Candidatul se schimbă odată cu $x$, deci nu există un element unic care să meargă pentru toate valorile: legea nu are element neutru.

9. Elementul neutru este $0$. Linia lui $0$ este $0$, $1$, $2$, $3$, adică exact antetul (prima linie), iar coloana lui $0$ este tot $0$, $1$, $2$, $3$, adică prima coloană. Prin urmare $0\ast y=y$ și $x\ast 0=x$ pentru orice elemente ale mulțimii.

10. Tabla are toate liniile egale cu antetul:

Fiecare linie reproduce prima linie, deci $e_s\ast x=x$ pentru orice $e_s$ și orice $x$: toate cele trei elemente sunt neutre la stânga. Nicio coloană nu reproduce prima coloană, pentru că fiecare coloană este constantă; într-adevăr, $x\ast e_d=e_d$, iar egalitatea $e_d=x$ nu poate fi adevărată pentru orice $x$. Neexistând element neutru la dreapta, legea nu are element neutru.

11. Pe $\mathbb{Q}$: din $3xe=x$ rezultă $x(3e-1)=0$ pentru orice $x$, deci $e=\frac{1}{3}$, număr rațional; verificare: $x\ast \frac{1}{3}=3x\cdot \frac{1}{3}=x$ ✓. Pe $\mathbb{Z}$: singurul candidat rămâne $\frac{1}{3}$, care nu e număr întreg, deci legea nu are element neutru pe $\mathbb{Z}$.

12. Pentru reuniune elementul neutru este mulțimea vidă, pentru că reuniunea unei submulțimi cu mulțimea vidă o lasă neschimbată. Pentru intersecție elementul neutru este chiar mulțimea $M$, pentru că intersecția unei submulțimi cu $M$ este submulțimea însăși. Răspunsurile diferă pentru că reuniunea „adaugă", deci trebuie să nu adaugi nimic, iar intersecția „taie", deci trebuie să nu tai nimic.

13. Pentru orice funcție $f:M\to M$ și orice $x\in M$ avem $(f\circ 1_M)(x)=f(1_M(x))=f(x)$ și $(1_M\circ f)(x)=1_M(f(x))=f(x)$. Cele două funcții iau aceleași valori în fiecare punct, deci $f\circ 1_M=1_M\circ f=f$, adică $1_M$ este element neutru pentru compunere.

14. Pentru adunare elementul neutru este matricea nulă $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar pentru înmulțire este matricea unitate $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Verificare pe $A$: $A{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=A$ și $I_{2}A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=A$ ✓.

15. a) $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$ ✓. b) Din $(x-2)(e-2)=x-2$ rezultă $e=3$ (cazul $x=2$ se verifică: $2\ast 3=0+2=2$); legea e comutativă, deci $e=3$ este element neutru. c) $x\ast x=(x-2{)}^2+2=6$ dă $(x-2{)}^2=4$, deci $x=4$ sau $x=0$. Verificare: $4\ast 4=16-8-8+6=6$ ✓ și $0\ast 0=6$ ✓.

16. Pe $\mathbb{R}$: un element neutru ar trebui să verifice $\max (x,e)=x$ pentru orice $x$, adică $e\le x$ pentru orice număr real $x$ — imposibil, pentru că nu există un cel mai mic număr real. Pe $[0,+\infty )$: pentru orice $x\ge 0$ avem $\max (x,0)=x=\max (0,x)$, deci $0$ este element neutru; el aparține mulțimii, deci totul e în regulă.

17. Fals. Legea $x\ast y=x$ pe o mulțime cu cel puțin două elemente are ca elemente neutre la dreapta toate elementele mulțimii, dar niciun element neutru la stânga, deci nu are element neutru. Un element neutru la dreapta devine element neutru doar dacă verifică și egalitatea de la stânga.

18. Fie $e_1\ne e_2$ două elemente neutre la dreapta și presupunem, prin absurd, că există un element neutru la stânga $e_s$. Aplicând propoziția demonstrată în lecție perechii $(e_s,e_1)$ obținem $e_s=e_1$, iar perechii $(e_s,e_2)$ obținem $e_s=e_2$. Rezultă $e_1=e_2$, în contradicție cu ipoteza. Deci nu există element neutru la stânga; cum orice element neutru ar fi și neutru la stânga, legea nu are element neutru.

De reținut

• Elementul neutru al legii $\ast$ pe mulțimea $M$ este elementul $e\in M$ pentru care $x\ast e=e\ast x=x$ oricare ar fi $x\in M$; el joacă rolul lui $0$ la adunare și al lui $1$ la înmulțire.
• Elementul neutru este unic, iar demonstrația calculează compusul $e_1\ast e_2$ în două feluri și obține $e_1=e_2$.
• Elementele neutre pe o singură parte pot fi mai multe, dar un element neutru la stânga și unul la dreapta sunt obligatoriu egale, iar elementul obținut este chiar elementul neutru.
• Elementul neutru se determină rezolvând ecuația $x\ast e=x$, apoi verificând că soluția nu depinde de $x$, că aparține mulțimii $M$ și că satisface și egalitatea $e\ast x=x$.
• În tabla operației, elementul neutru este acela a cărui linie reproduce prima linie a tablei și a cărui coloană reproduce prima coloană.

Greșeli frecvente

• Oprirea după o singură egalitate. La o lege necomutativă, din $x\ast e=x$ nu rezultă $e\ast x=x$. Scăderea are $0$ ca element neutru la dreapta și niciunul la stânga, deci nu are element neutru — exact greșeala pe care o face cine verifică o singură parte.
• Uitarea condiției $e\in M$. Legea $x\ast y=2xy$ are elementul neutru $\frac{1}{2}$ pe $\mathbb{Q}$, dar nu are element neutru pe $\mathbb{Z}$. Candidatul găsit prin calcul trebuie confruntat cu mulțimea pe care e definită legea.
• Acceptarea unui candidat care depinde de $x$. Dacă din ecuație iese $e=x$, concluzia corectă este „legea nu are element neutru", nu „elementul neutru este $x$". Elementul neutru e unul singur, comun tuturor elementelor.
• Confundarea elementului neutru cu un element care se compune bine cu unul singur. Egalitatea $3\ast 4=3$ nu face din $4$ un element neutru; e nevoie ca egalitatea să fie adevărată pentru orice element al mulțimii.
• Căutarea elementului neutru numai pe diagonala tablei. Diagonala principală conține compușii $x\ast x$ și nu spune nimic despre neutralitate. Criteriul corect privește linia și coloana elementului, comparate cu antetul tablei.

Aplică acasă

1. Rețeta pe cinci legi. Alege cinci legi de compoziție pe $\mathbb{R}$, definite prin formule, și aplică pentru fiecare cei trei pași: ecuația, verificarea independenței de $x$ și a apartenenței, apoi cealaltă egalitate. Notează separat legile care nu au element neutru și motivul exact.

2. Vânătoarea de antete. Scrie două table de operație pe mulțimea $\{a,b,c\}$: una cu element neutru și una fără. Colorează, în prima, linia și coloana elementului neutru și compară-le cu antetul; în a doua, arată pentru fiecare linie unde anume se rupe potrivirea.

3. Aceeași lege, alte mulțimi. Ia legea $x\ast y=4xy$ și stabilește dacă are element neutru pe $\mathbb{Q}$, pe $\mathbb{Z}$ și pe intervalul $(0,+\infty )$. Scrie, în trei fraze, ce anume schimbă răspunsul de la o mulțime la alta.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima teoremă cu demonstrație din unitate — unicitatea elementului neutru — și primul raționament „calculez același lucru în două feluri", care revine mereu în algebra clasei a XII-a. Programa de matematică-informatică cere explicit „stabilirea legăturii dintre tabla operației definite pe o mulțime finită și existența elementului neutru", deci criteriul liniei și al coloanei este conținut evaluabil, nu un truc de memorat.

De verificat în caiet: (1) ambele egalități, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, sunt scrise sau este scris motivul pentru care a doua e automată; (2) apartenența lui $e$ la mulțime este verificată explicit; (3) demonstrația unicității este reprodusă corect, cu ambele justificări; (4) la table se scriu linia și coloana comparate cu antetul, nu doar concluzia. Întrebări de control: „Ce este elementul neutru?"; „De ce este unic?"; „Cum îl vezi în tablă?"; „De ce scăderea nu are element neutru, deși $x-0=x$?".

La BAC M1, elementul neutru apare aproape la fiecare sesiune, ca subpunct al problemei de algebră, și e adesea pasul pregătitor pentru cerința următoare. Semn că elevul a înțeles: aduce automat legea la forma factorizată, scrie elementul neutru dintr-un rând, dar nu sare peste verificarea apartenenței la mulțimea din enunț.

Întrebări frecvente

Ce este elementul neutru al unei legi de compoziție? Este acel element $e$ al mulțimii $M$ pentru care $x\ast e=e\ast x=x$, oricare ar fi elementul $x$ din $M$. Cu alte cuvinte, compus cu orice element, îl lasă neschimbat. Exemplele cunoscute sunt $0$ pentru adunarea numerelor și $1$ pentru înmulțirea lor.

Cum se determină elementul neutru al unei legi date prin formulă? Se rezolvă ecuația $x\ast e=x$, în care necunoscuta este $e$, iar $x$ e privit ca parametru. Apoi se verifică trei lucruri: soluția să nu depindă de $x$, să aparțină mulțimii pe care e definită legea și să satisfacă și egalitatea $e\ast x=x$. Dacă vreuna cade, legea nu are element neutru.

De ce este elementul neutru unic? Pentru că, dacă ar exista două elemente neutre $e_1$ și $e_2$, compusul lor s-ar putea calcula în două feluri: $e_1\ast e_2=e_1$, pentru că $e_2$ e neutru, și $e_1\ast e_2=e_2$, pentru că $e_1$ e neutru. Cele două rezultate sunt același element, deci $e_1=e_2$.

Cum se vede elementul neutru în tabla operației? Se vede ca linia care reproduce exact prima linie a tablei și coloana care reproduce exact prima coloană. Motivul: pe linia lui $e$ stau compușii $e\ast y$, iar ei coincid cu antetul tocmai când $e\ast y=y$ pentru orice $y$. Coloana dă cealaltă jumătate a definiției.

Care este diferența dintre element neutru la stânga și element neutru la dreapta? Un element neutru la stânga verifică doar $e_s\ast x=x$, iar unul la dreapta doar $x\ast e_d=x$. Elementul neutru le verifică pe amândouă. Legile pot avea mai multe elemente neutre pe o singură parte, dar dacă există și unul la stânga, și unul la dreapta, ele sunt egale.

De ce scăderea nu are element neutru, deși $x-0=x$? Pentru că egalitatea funcționează doar când $0$ stă la dreapta. La stânga, $0-x=-x$, care e egal cu $x$ numai pentru $x=0$: de pildă, $0-5=-5$, nu $5$. Așadar $0$ e element neutru la dreapta, dar scăderea nu are element neutru.

Poate o lege să aibă element neutru pe o mulțime și să nu aibă pe alta? Da, și e o capcană frecventă. Legea $x\ast y=2xy$ are elementul neutru $\frac{1}{2}$ pe $\mathbb{Q}$, dar pe $\mathbb{Z}$ nu are element neutru, pentru că $\frac{1}{2}$ nu e număr întreg. De aceea, verificarea apartenenței candidatului la mulțime este un pas obligatoriu.

La ce îmi folosește elementul neutru la Bacalaureat M1? Îți folosește la problema de algebră din Subiectul al II-lea, unde determinarea lui este de obicei subpunctul al doilea și pregătește cerința finală. Pentru legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, elementul neutru este $e=a+1$, ceea ce îți dă răspunsul într-un rând, cu verificarea scrisă alături.