Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare

Un determinant de ordin $4$ se poate calcula cu dezvoltarea după o linie. Dacă linia nu are zerouri, prețul este de patru determinanți de ordin $3$, adică douăzeci și patru de produse. Se poate, dar durează, iar la fiecare pas se pierde câte un semn.

Lecția de față arată calea pe care o folosesc toți cei care lucrează des cu determinanți: întâi transformi, apoi dezvolți. Cu operațiile pe linii și pe coloane din lecția despre proprietăți fabrici zerouri exact unde ai nevoie, până când o coloană rămâne cu un singur element nenul. Atunci dezvoltarea are un singur termen, iar determinantul de ordin $4$ se reduce la unul singur de ordin $3$ — tehnica pe care o cer subiectele de Bacalaureat M1 ori de câte ori apare un determinant de ordin $4$.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce regula lui Sarrus nu se poate extinde la ordinul $4$.
• Vei ști cum acționează cele trei transformări elementare asupra valorii unui determinant.
• Vei ști să alegi un pivot și să faci zerouri pe coloana lui, coborând ordinul cu o unitate.
• Vei ști să creezi un pivot egal cu $1$ atunci când matricea nu are niciunul.
• Vei ști să aduci un determinant la formă triunghiulară și să-l citești ca produs al diagonalei.
• Vei ști să calculezi determinanți de ordin $4$ cu parametru și să afli când se anulează.

Hai să descoperim împreună

1. De ce regula lui Sarrus nu merge la ordinul 4

Regula lui Sarrus și regula triunghiului sunt rețete pentru ordinul $3$, și numai pentru el. Motivul e de numărătoare: la ordinul $3$ determinantul are $3!=6$ termeni, exact câți produce schema de diagonale, pe când la ordinul $4$ ar trebui $4!=24$, iar orice schemă de diagonale prelungite dă cel mult $8$.

Verifică singur, pe

$$S=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right|.$$

„Sarrus prelungit" (rețeta greșită): scriem primele trei coloane la dreapta, adunăm cele patru produse „descendente" și scădem cele patru „ascendente". Descendentele dau $2^4=16$ și trei produse nule, ascendentele dau $1$ și trei produse nule, deci rezultatul fals ar fi $15$.

Valoarea corectă, prin dezvoltare după prima linie:

$$S=2\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=2\cdot 4-1\cdot 3=5.$$

$15\ne 5$. Regula lui Sarrus NU se extinde la ordinul $4$ — nici cu diagonale prelungite, nici în vreo altă variantă. La ordinul $4$ ai voie doar cu dezvoltarea după o linie sau o coloană și cu transformările elementare.

2. Cele trei transformări și efectul lor

Din lecția despre proprietăți știi exact cât costă fiecare operație — sunt Proprietățile 5 și 8 de acolo, plus factorul comun (Proprietatea 3 din lecția anterioară). Le strângem într-un tabel, pentru că de acum le vei folosi în fiecare exercițiu:

Aceleași reguli sunt valabile pentru coloane, cu notațiile $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$ și $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$, pentru că $\det ({}^{t}A)=\det A$.

A treia transformare este vedeta: nu costă nimic și poate produce oricâte zerouri. Primele două cer atenție, pentru că modifică valoarea — notează pe margine factorul acumulat chiar când le aplici.

3. Strategia pivotului

Rețeta, în patru pași:

1. caută în matrice un element egal cu $1$ sau cu $-1$; el se numește pivot;
2. cu transformări de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, fă zerouri pe toată coloana pivotului, folosind linia pivotului;
3. dezvoltă după acea coloană: rămâne un singur termen, $\pm$ pivotul înmulțit cu un minor de ordin $3$;
4. calculează minorul cu regula lui Sarrus.

Pivotul egal cu $1$ contează: cu un pivot egal cu $3$ ar trebui să înmulțești liniile cu fracții, iar calculele s-ar umple de numitori.

4. Exemplul complet, pas cu pas

$$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& 5& 1& 4\\ 3& 7& 2& 5\\ -1& 0& 4& 2\end{array}\right|.$$

Pivotul este $a_{11}=1$. Facem zerouri pe prima coloană cu trei transformări care nu schimbă valoarea: $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, $L_4\leftarrow L_4+L_1$. Linia a doua devine $(0,1,3,-2)$, a treia $(0,1,5,-4)$, a patra $(0,2,3,5)$, deci

$$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& 1& 3& -2\\ 0& 1& 5& -4\\ 0& 2& 3& 5\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 1& 5& -4\\ 2& 3& 5\end{array}\right|,$$

prin dezvoltare după prima coloană (semnul poziției $(1,1)$ este $+$). Minorul, cu regula lui Sarrus:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -2\\ 1& 5& -4\\ 2& 3& 5\end{array}\right|=25-24-6-(-20-12+15)=-5+17=12.$$

Așadar $D=12$. Am folosit o singură aplicare a regulii lui Sarrus, în loc de patru.

5. Când nu există niciun 1: cum îl fabrici

$$E=\left|\begin{array}{cccc}3& 5& 2& 4\\ 2& 3& 1& 3\\ 5& 2& 4& 1\\ 4& 1& 3& 2\end{array}\right|.$$

Pe prima coloană nu există niciun $1$. Îl fabricăm, scăzând două linii vecine: $L_1\leftarrow L_1-L_2$ transformă prima linie în $(1,2,1,1)$, fără să schimbe valoarea determinantului. Acum avem pivot și continuăm ca înainte, cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-5L_1$, $L_4\leftarrow L_4-4L_1$:

$$E=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 2& 3& 1& 3\\ 5& 2& 4& 1\\ 4& 1& 3& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& -1& -1& 1\\ 0& -8& -1& -4\\ 0& -7& -1& -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -8& -1& -4\\ -7& -1& -2\end{array}\right|=-9.$$

Minorul l-am calculat cu regula lui Sarrus, cu atenție la semne: produsele descendente însumează $-2-28+8=-22$, cele ascendente $7-4-16=-13$, iar diferența dă $-22-(-13)=-9$.

Reține procedeul: dacă nicio linie și nicio coloană nu conține $1$, scade două linii (sau două coloane) apropiate ca valori — foarte des apare un $1$ imediat.

6. Aducerea la formă triunghiulară

A doua strategie: faci zerouri sub diagonala principală până când matricea devine triunghiulară și citești determinantul ca produs al diagonalei.

$$F=\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 3& 1\\ 1& 0& 2& -1\\ 3& 2& 1& 4\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|.$$

Pivotul comod este $1$-ul din linia a doua, deci începem cu $L_1\leftrightarrow L_2$ — și schimbăm semnul: notăm imediat $F=-F_1$. Apoi $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$ și, în a doua rundă, $L_3\leftarrow L_3-2L_2$, $L_4\leftarrow L_4-L_2$:

$$F_1=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 2& 1& 3& 1\\ 3& 2& 1& 4\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 2& -5& 7\\ 0& 1& -1& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -1& 3\\ 0& 0& -3& 1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right|.$$

Ultimul determinant este triunghiular, deci egal cu produsul diagonalei: $1\cdot 1\cdot (-3)\cdot (-1)=3$. Cum $F=-F_1$, obținem $F=-3$.

Capcana schimbării de linii este exact aici: dacă uiți să notezi semnul la momentul schimbului, rezultatul iese corect în valoare absolută și greșit ca semn — la Bacalaureat M1, zero puncte pe punctul respectiv.

7. Factorul comun și trucul coloanei constante

Două economii care se văd din prima privire.

Factor comun pe o linie. Dacă toate elementele unei linii se împart la același număr, îl scoți în fața determinantului:

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 1& 3& 2& 5\\ 0& 1& -1& 2\\ 3& 0& 1& 1\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 3& 2& 5\\ 0& 1& -1& 2\\ 3& 0& 1& 1\end{array}\right|=2\cdot 14=28.$$

Ai câștigat de două ori: numerele s-au micșorat și ai obținut un pivot egal cu $1$.

Trucul coloanei constante. Dacă toate liniile au aceeași sumă, adună toate coloanele la prima: $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$. Prima coloană devine constantă, iar constanta iese factor comun — trucul pe care îl vei folosi imediat, la determinanții cu parametru.

8. Determinanți de ordin 4 cu parametru

$$G(m)=\left|\begin{array}{cccc}m& 1& 1& 1\\ 1& m& 1& 1\\ 1& 1& m& 1\\ 1& 1& 1& m\end{array}\right|,m\in \mathbb{R}.$$

Fiecare linie are suma $m+3$, deci $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ face prima coloană constantă, egală cu $m+3$, iar factorul iese în față:

$$G(m)=(m+3)\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& m& 1& 1\\ 1& 1& m& 1\\ 1& 1& 1& m\end{array}\right|.$$

Acum avem pivot $1$; cu $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$ liniile devin $(0,m-1,0,0)$, $(0,0,m-1,0)$ și $(0,0,0,m-1)$, deci

$$G(m)=(m+3)\left|\begin{array}{ccc}m-1& 0& 0\\ 0& m-1& 0\\ 0& 0& m-1\end{array}\right|=(m+3)(m-1{)}^3.$$

Determinantul se anulează exact pentru $m=-3$ și $m=1$. Control: $G(2)=5\cdot 1=5$ și $G(0)=3\cdot (-1{)}^3=-3$, exact cât dă calculul direct. De ce contează valorile care anulează determinantul vei afla la lecția despre matrice inversabile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pivot gata făcut

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 2& 3& 1& 4\\ 3& 1& 2& 2\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right|$.

Rezolvare. Pivot $a_{11}=1$; aplicăm $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$:

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 0& -1& -5& 2\\ 0& -5& -7& -1\\ 0& -1& -2& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1& -5& 2\\ -5& -7& -1\\ -1& -2& 0\end{array}\right|.$$

Cu regula lui Sarrus, descendentele dau $0-5+20=15$ și ascendentele $14-2+0=12$, deci minorul este $3$. Determinantul cerut este $3$.

Exemplul 2 — Factor comun scos din minor

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 2& 1& 3& 1\\ 3& 0& 1& 2\\ 1& 2& 0& 3\end{array}\right|$.

Rezolvare. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$ obținem

$$\left|\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 0& 3& -1& 1\\ 0& 3& -5& 2\\ 0& 3& -2& 3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 3& -5& 2\\ 3& -2& 3\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& -5& 2\\ 1& -2& 3\end{array}\right|=3\cdot (-7)=-21,$$

unde am scos factorul comun $3$ din prima coloană a minorului, iar ultimul determinant, cu regula lui Sarrus, este $(-15-2-2)-(-5-4-3)=-7$.

Exemplul 3 — Un determinant care se vede că e nul

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 1& 0& 1& 0\\ 3& 1& 2& 5\end{array}\right|$.

Rezolvare. Nu calculăm nimic: linia a doua este dublul liniei întâi, deci cele două sunt proporționale și determinantul este $0$. (Formal: $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ transformă linia a doua într-o linie nulă.) Recunoașterea proporționalității înainte de a începe calculul te scutește de multă muncă inutilă.

Exemplul 4 — Trucul coloanei constante

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\\ 3& 4& 1& 2\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right|$.

Rezolvare. Fiecare linie are suma $10$, deci $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ face prima coloană constantă și scoatem $10$ factor comun. Apoi $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$ dau

$$D=10\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& -1& -1& -1\\ 0& 2& -2& -2\\ 0& 1& 1& -3\end{array}\right|=10\left|\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 2& -2& -2\\ 1& 1& -3\end{array}\right|=-20\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& -1\\ 1& 1& -3\end{array}\right|,$$

unde am scos $-1$ din prima linie a minorului și $2$ din a doua. Ultimul determinant este $(3-1+1)-(-1-1-3)=8$, deci $D=-20\cdot 8=-160$.

Exemplul 5 — Formă triunghiulară cu schimbare de linii

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 1& 0& 1& 2\\ 2& 1& 0& 1\\ 3& 2& 1& 0\end{array}\right|$.

Rezolvare. Primul element este $0$, deci începem cu $L_1\leftrightarrow L_2$, schimbând semnul: determinantul devine $-D_1$, unde $D_1$ are liniile $(1,0,1,2)$, $(0,1,2,3)$, $(2,1,0,1)$, $(3,2,1,0)$.

Cu $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_1$ obținem liniile $(0,1,-2,-3)$ și $(0,2,-2,-6)$; apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-2L_2$ dau $(0,0,-4,-6)$ și $(0,0,-6,-12)$; în fine, $L_4\leftarrow L_4-\frac{3}{2}{L}_3$ dă $(0,0,0,-3)$. Matricea este triunghiulară, cu diagonala $1,1,-4,-3$, deci $D_1=12$ și determinantul cerut este $-12$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& m& 1& 1\\ 1& 1& m& 1\\ 1& 1& 1& m\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A(3)$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $\det A(m)=0$.

Rezolvare. Lucrăm direct cu $m$ oarecare. Pivotul $a_{11}=1$ este gata făcut, iar $L_2\leftarrow L_2-L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$, $L_4\leftarrow L_4-L_1$ dau liniile $(0,m-1,0,0)$, $(0,0,m-1,0)$, $(0,0,0,m-1)$. Dezvoltând după prima coloană,

$$\det A(m)=1\cdot \left|\begin{array}{ccc}m-1& 0& 0\\ 0& m-1& 0\\ 0& 0& m-1\end{array}\right|=(m-1{)}^3.$$

a) $\det A(3)=2^3=8$. b) $(m-1{)}^3=0$ dacă și numai dacă $m=1$.

Să exersăm

1. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& 0& 1& 3\\ 1& 1& 0& 2\\ 0& 2& 1& 1\\ 3& 1& 2& 0\end{array}\right|$, luând ca pivot elementul $a_{21}=1$.

2. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 1& 1& 2\end{array}\right|$ folosind trucul coloanei constante.

3. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -2& 4\\ 0& 2& 5& -1\\ 0& 0& 3& 7\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right|$.

4. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 2& 3& 1& 1\\ 0& 1& 2& 2\\ 1& 0& 1& 4\end{array}\right|$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un determinant de ordin $4$ se poate calcula cu regula lui Sarrus, scriind primele trei coloane la dreapta tabloului."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Transformarea $L_2\leftarrow 3L_2$ nu schimbă valoarea determinantului."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Transformarea $L_2\leftarrow L_2+5L_1$ nu schimbă valoarea determinantului."

8. Fără să faci niciun calcul, spune cât este $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 4& 1& 0& 1\\ 2& 5& 1& 5\\ 3& 0& 2& 0\end{array}\right|$ și justifică.

9. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 2& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 2\\ 0& 1& 2& 1\end{array}\right|$.

10. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 8\\ 1& 3& 9& 27\\ 1& 4& 16& 64\end{array}\right|$, făcând întâi zerouri pe prima coloană.

11. Un determinant de ordin $4$ are valoarea $7$. Ce valoare are determinantul obținut schimbând între ele liniile $1$ și $3$? Dar cel obținut înmulțind linia a doua cu $5$?

12. (Problemă aplicată.) Într-o foaie de calcul ai o matrice de ordin $4$, iar funcția care calculează determinanți afișează $-24$. Fără să recalculezi nimic, spune ce va afișa dacă: a) schimbi între ele liniile $2$ și $4$; b) înmulțești toată linia $1$ cu $3$; c) aduni la linia $3$ linia $1$ înmulțită cu $10$; d) transpui matricea.

13. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}4& 8& 12& 4\\ 1& 3& 2& 1\\ 2& 1& 0& 3\\ 0& 2& 1& 1\end{array}\right|$, scoțând întâi factorul comun.

14. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}3& 6& 9& 12\\ 1& 2& 0& 1\\ 2& 1& 3& 0\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $B(m)=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 1& 1\\ 1& m& 1& 1\\ 1& 1& m& 1\\ 1& 1& 1& m\end{array}\right)$. a) Calculați $\det B(0)$. b) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $\det B(m)=0$.

16. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right|$.

17. Explică, în trei-patru fraze, de ce transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu schimbă valoarea determinantului.

18. (Provocare.) Demonstrează că, pentru orice numere reale $a$ și $b$, $\left|\begin{array}{cccc}a& b& b& b\\ b& a& b& b\\ b& b& a& b\\ b& b& b& a\end{array}\right|=(a+3b)(a-b{)}^3$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu pivotul $a_{21}=1$: $L_1\leftarrow L_1-2L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_2$ anulează restul primei coloane. Dezvoltarea după prima coloană are un singur termen, cu semnul poziției $(2,1)$: $D=1\cdot (-1{)}^{2+1}{\Delta }_{21}=-{\Delta }_{21}=-20$.

2. Fiecare linie are suma $5$, deci $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ dă prima coloană constantă; scoatem $5$ factor comun și, cu $L_i\leftarrow L_i-L_1$, rămâne un determinant triunghiular cu diagonala $1,1,1,1$. Valoarea este $5$.

3. Matricea este superior triunghiulară: $1\cdot 2\cdot 3\cdot (-2)=-12$.

4. Cu pivotul $a_{11}=1$: $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-L_1$ dau liniile $(0,-1,1,-5)$ și $(0,-2,1,1)$. Rămâne $\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& -5\\ 1& 2& 2\\ -2& 1& 1\end{array}\right|=(-2-4-5)-(20-2+1)=-30$.

5. Fals. Regula lui Sarrus produce $8$ termeni, în timp ce un determinant de ordin $4$ are $24$. Pe exemplul din lecție, „Sarrus prelungit" dă $15$, iar valoarea corectă este $5$.

6. Fals. Înmulțirea unei linii cu $3$ înmulțește determinantul cu $3$.

7. Adevărat. Este exact transformarea care nu schimbă determinantul și pe care se sprijină toată metoda din lecție.

8. Determinantul este $0$: coloana a patra este identică cu coloana a doua.

9. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ se obțin liniile $(0,-3,-2,1)$ și $(0,-2,0,2)$, iar dezvoltarea după prima coloană dă $\left|\begin{array}{ccc}-3& -2& 1\\ -2& 0& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(0-4-4)-(0-12+4)=0$.

10. Cu $L_i\leftarrow L_i-L_1$ rămâne $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 2& 8& 26\\ 3& 15& 63\end{array}\right|=2\cdot 3\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 3& 7\\ 1& 4& 13\\ 1& 5& 21\end{array}\right|=6\cdot 2=12$.

11. Schimbarea a două linii schimbă semnul, deci se obține $-7$; înmulțirea unei linii cu $5$ dă $35$.

12. a) $24$ (schimbul de linii schimbă semnul); b) $-72$; c) $-24$ (transformarea nu schimbă nimic); d) $-24$, pentru că $\det ({}^{t}A)=\det A$.

13. Prima linie se împarte la $4$: determinantul este $4\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 3& 2& 1\\ 2& 1& 0& 3\\ 0& 2& 1& 1\end{array}\right|=4\cdot (-12)=-48$.

14. Prima linie are factorul comun $3$: determinantul este $3\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 0& 1\\ 2& 1& 3& 0\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right|=3\cdot 6=18$.

15. a) Pentru $m=0$ fiecare linie are suma $3$; cu trucul coloanei constante se obține $3\cdot (-1{)}^3=-3$. b) Ca în lecție, $\det B(m)=(m+3)(m-1{)}^3$, deci determinantul se anulează pentru $m=-3$ și $m=1$.

16. Este cazul $m=3$ din formula $(m+3)(m-1{)}^3$, deci valoarea este $6\cdot 2^3=48$.

17. Determinantul este liniar în raport cu fiecare linie, deci determinantul matricei cu linia $L_i+\alpha L_j$ este suma dintre determinantul inițial și cel al matricei în care linia $i$ a fost înlocuită cu $\alpha L_j$. Al doilea are liniile $i$ și $j$ proporționale, deci este nul.

18. Fiecare linie are suma $a+3b$, deci $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ face prima coloană constantă și scoatem $a+3b$ factor comun. Rămâne o primă coloană formată din $1$; cu $L_i\leftarrow L_i-L_1$ obținem liniile $(0,a-b,0,0)$, $(0,0,a-b,0)$, $(0,0,0,a-b)$, iar dezvoltarea după prima coloană lasă un determinant diagonal egal cu $(a-b{)}^3$. Deci valoarea este $(a+3b)(a-b{)}^3$. Control: pentru $a=5$, $b=2$ formula dă $11\cdot 27=297$, cât dă și calculul direct.

De reținut

• Regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $3$. La ordinul $4$: dezvoltare după o linie sau transformări elementare.
• $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu schimbă determinantul. Schimbarea a două linii îi schimbă semnul, iar înmulțirea unei linii cu $\alpha$ îl înmulțește cu $\alpha$.
• Strategia pivotului: alegi un $1$, faci zerouri pe coloana lui, dezvolți după acea coloană și rămâi cu un singur determinant de ordin $3$.
• Dacă nu există niciun $1$, îl fabrici scăzând două linii sau două coloane apropiate ca valori.
• Când toate liniile au aceeași sumă, aduni coloanele la prima: constanta iese factor comun și apare pivotul.

Greșeli frecvente

• Sarrus la ordinul $4$. Cea mai costisitoare greșeală din capitol; rezultatul nu are nicio legătură cu valoarea corectă.
• Uitarea semnului la schimbarea a două linii. Notează factorul $-1$ pe margine chiar în momentul schimbului, nu la final.
• Confuzia dintre „scot factor comun" și „împart". Când scoți $2$ dintr-o linie, determinantul se scrie $2$ înmulțit cu noul determinant; nu se împarte rezultatul final la $2$.
• Folosirea unei linii deja modificate. Dacă faci $L_1\leftarrow L_1-L_2$ și imediat $L_2\leftarrow L_2-L_1$, a doua transformare lucrează cu linia $L_1$ nouă, nu cu cea din enunț. Scrie transformările una câte una și recopiază tabloul după fiecare rundă.
• Folosirea unui pivot fracționar. Un pivot diferit de $\pm 1$ umple calculul de numitori; caută sau fabrică un $1$ înainte de a începe.

Aplică acasă

1. Contraexemplul propriu. Ia o matrice de ordin $4$ cu numere mici, calculează-i determinantul corect, apoi și „valoarea Sarrus prelungit". Scrie cele două numere unul lângă altul: e cel mai bun antidot împotriva greșelii.

2. Cronometrul. Calculează un determinant de ordin $4$ fără zerouri de două ori: o dată dezvoltând direct după prima linie (patru minori de ordin $3$) și o dată cu strategia pivotului. Compară timpul și numărul de greșeli.

3. Foaia de calcul. Introdu o matrice de ordin $4$ într-o foaie de calcul, folosește funcția de determinant, apoi aplică pe rând cele trei transformări elementare și verifică pe ecran regulile din tabel.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o formulă în metodă de lucru. Elevul știe deja să dezvolte după o linie; aici învață să pregătească determinantul înainte de a dezvolta. Competența se vede în ordinea acțiunilor, nu în viteza de calcul.

De verificat în caiet: (1) fiecare transformare este scrisă, nu doar făcută în minte; (2) la schimbarea a două linii, factorul $-1$ apare imediat; (3) factorul comun scos este mutat în fața determinantului; (4) minorul final este verificat pe a doua cale.

Întrebări de control: „Ce pivot alegi și de ce?"; „Ce se întâmplă dacă schimb două linii?"; „De ce nu merge Sarrus aici?"; „Cum obții un $1$ dacă matricea nu are niciunul?".

La BAC M1, determinanții de ordin $4$ apar de regulă în subiectul al doilea, adesea cu parametru și cu cerința de a afla valorile care îl anulează. Semn că elevul a înțeles: caută întâi linii proporționale și sume egale pe linii, și abia apoi începe să calculeze.

Întrebări frecvente

Cum se calculează un determinant de ordin 4? Se fac zerouri pe o coloană cu transformări de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, până când coloana rămâne cu un singur element nenul, și se dezvoltă după ea. Rămâne un singur determinant de ordin $3$, calculat cu regula lui Sarrus.

Se poate aplica regula lui Sarrus la ordinul 4? Nu, în nicio variantă. Un determinant de ordin $4$ are $24$ de termeni, iar orice schemă de diagonale prelungite produce cel mult $8$. Pe exemplul din lecție, rețeta greșită dă $15$, în timp ce valoarea corectă este $5$.

Ce transformări nu schimbă valoarea unui determinant? Numai adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr, $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (și analogul pe coloane).

Ce fac dacă matricea nu conține niciun 1? Scazi două linii sau două coloane cu valori apropiate: foarte des apare un $1$. Alternativ, scoți un factor comun dintr-o linie, ceea ce micșorează numerele și adesea produce chiar pivotul căutat.

Cum recunosc repede un determinant nul? Dacă două linii (sau două coloane) sunt egale ori proporționale, sau dacă o linie este nulă, determinantul este $0$ fără niciun calcul.

La ce folosește trucul cu suma coloanelor? Când toate liniile au aceeași sumă $s$, transformarea $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ face prima coloană constantă, egală cu $s$; scoți $s$ factor comun și rămâi cu o coloană de $1$, adică exact cu pivotul de care ai nevoie.

Cum calculez un determinant de ordin 4 cu parametru? Îl aduci, prin transformări valabile pentru orice valoare a parametrului, la o formă factorizată — de obicei triunghiulară — și rezolvi ecuația obținută. Transformările nu trebuie să presupună nimic despre parametru: dacă împarți la o expresie cu $m$, trebuie discutat separat cazul în care ea se anulează.