Determinantul de ordin n: definiția cu permutări

Ai deja două rețete de calcul: una pentru determinantul de ordinul al doilea, $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$, și una pentru ordinul al treilea, regula lui Sarrus. Sunt rețete bune, dar sunt doar atât: rețete. Nu spun ce este un determinant, nu spun de unde vin semnele și, mai ales, nu spun nimic despre o matrice de ordinul al patrulea — pe care programa ți-o cere la sisteme, la matrice inversabile și în subiectele de Bacalaureat M1.

Un inginer cu o rețea de patru curenți, un economist cu patru produse și patru resurse, un program care verifică dacă o transformare a spațiului poate fi „desfăcută" — toți ajung la matrice de ordin cel puțin patru, unde Sarrus nu mai are ce căuta. Lecția aceasta dă o singură definiție, valabilă pentru orice ordin $n$, din care cele două rețete pe care le știi ies ca simple cazuri particulare. Instrumentul de care avem nevoie l-ai construit deja: permutările și semnul lor.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii definiția determinantului de ordin $n$ cu ajutorul permutărilor și al signaturii lor.
• Vei ști să recunoști dacă un produs de elemente este sau nu un termen al determinantului și să-i afli semnul.
• Vei ști să regăsești formula de ordinul al doilea și regula lui Sarrus din definiția generală.
• Vei ști câți termeni are un determinant de ordin $n$ și de ce definiția nu se folosește ca metodă de calcul.
• Vei ști să calculezi rapid determinantul unei matrice triunghiulare sau diagonale, de orice ordin.
• Vei ști să calculezi determinanți de ordinul al patrulea cu multe zerouri, direct din definiție.

Hai să descoperim împreună

1. Două rețete nu fac o definiție

Privește cele două formule pe care le știi, scrise una sub alta:

$$\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}(n=2),\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}(n=3).$$

Ce au în comun? La prima vedere, nimic: una are doi termeni, cealaltă șase. Dar uită-te la indici. În fiecare termen, primii indici sunt $1,2$ (respectiv $1,2,3$) — în ordine, mereu aceeași. Ceilalți se schimbă de la un termen la altul, dar nu oricum: în fiecare termen apar toate valorile $1,2$ (respectiv $1,2,3$), fiecare exact o dată. Al doilea rând de indici, citit de la stânga la dreapta, este de fiecare dată o permutare. Aceasta e observația-cheie a întregii lecții.

2. Fiecare termen ascunde o permutare

Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ o matrice pătratică. Să construim un produs după regula: iau câte un element din fiecare linie, astfel încât să nu iau de două ori din aceeași coloană.

Din linia $1$ iau elementul de pe coloana $\sigma (1)$, din linia $2$ pe cel de pe coloana $\sigma (2)$, și tot așa. Condiția „nu iau de două ori din aceeași coloană" spune exact că funcția $\sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}$ este injectivă, deci — fiind între mulțimi finite cu același număr de elemente — bijectivă: $\sigma \in S_n$. Produsul obținut este

$$a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$$

Permutări diferite dau produse diferite, iar $\mathrm{card}{S}_n=n!$: avem exact $n!$ produse de acest fel. Pentru $n=2$ sunt $2$, pentru $n=3$ sunt $6$ — exact câți termeni au formulele de mai sus.

Mai rămâne un singur lucru de decis: semnul fiecărui produs. Iar aici intervine signatura.

3. Definiția determinantului de ordin $n$

Definiție. Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Se numește determinantul matricei $A$ numărul

$$\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$$

Suma are $n!$ termeni, câte unul pentru fiecare permutare de grad $n$. Fiecare termen este un produs de $n$ elemente ale matricei, luate câte unul din fiecare linie și câte unul din fiecare coloană, iar semnul lui este signatura permutării care îl produce: $+$ dacă $\sigma$ este pară, $-$ dacă $\sigma$ este impară.

Două precizări care se cer scrise de fiecare dată: determinantul este definit numai pentru matrice pătratice (o matrice cu $3$ linii și $4$ coloane nu are determinant, pentru că nu poți lua câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană) și determinantul este un număr, nu o matrice: $\det A\in \mathbb{C}$.

4. Verificarea la ordinul al doilea

Pentru $n=2$, mulțimea $S_2$ are $2!=2$ elemente:

$$e=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right),\tau =\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right).$$

Permutarea identică nu are nicio inversiune, deci $m(e)=0$ și $\epsilon (e)=+1$; permutarea $\tau$ are o singură inversiune (perechea $(1,2)$, cu $\tau (1)=2>1=\tau (2)$), deci $m(\tau )=1$ și $\epsilon (\tau )=-1$. Definiția dă atunci

$$\det A=\epsilon (e)a_{11}{a}_{22}+\epsilon (\tau )a_{12}{a}_{21}=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21},$$

adică exact formula pe care o știai. Nimic nou — dar acum știi de unde vine minusul: din faptul că permutarea care schimbă coloanele între ele este impară.

5. De unde vine, de fapt, regula lui Sarrus

Pentru $n=3$, mulțimea $S_3$ are $3!=6$ elemente. Le scriem pe toate șase, în notația cu două linii:

$${\sigma }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),{\sigma }_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),{\sigma }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right),$$

$${\sigma }_4=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),{\sigma }_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),{\sigma }_6=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right).$$

Numărăm inversiunile fiecăreia și îi aflăm signatura, apoi scriem termenul corespunzător:

Adunând termenii cu semnele lor obținem

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31},$$

adică exact cei șase termeni ai regulii lui Sarrus, cu aceleași semne: cele trei „diagonale descendente" sunt permutările pare ${\sigma }_1,{\sigma }_4,{\sigma }_5$, iar cele trei „ascendente" sunt permutările impare ${\sigma }_2,{\sigma }_3,{\sigma }_6$. Regula lui Sarrus nu e o convenție arbitrară, ci definiția generală, desenată pentru $n=3$.

Atenție — se greșește des: regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul 3. Nu există „Sarrus la ordinul 4": schema cu diagonale ar produce $8$ termeni, în timp ce determinantul de ordinul al patrulea are $24$.

6. Câți termeni are, de fapt, un determinant

Numărul de termeni este $n!$, iar factorialul crește necruțător:

Pentru orice $n\ge 2$, jumătate dintre permutări sunt pare și jumătate impare, deci determinantul are $\frac{n!}{2}$ termeni cu semnul $+$ și tot atâția cu semnul $-$.

Concluzia practică: definiția este sursa adevărului, nu metoda de calcul. Nimeni nu calculează un determinant de ordinul al patrulea scriind $24$ de produse. Metodele eficiente se sprijină pe proprietățile determinantului, pe care le vei studia în prima lecție de proprietăți și în a doua, și pe dezvoltarea după o linie sau o coloană. Definiția rămâne însă indispensabilă: toate acele proprietăți se demonstrează pornind de la ea.

7. Un câștig imediat: matricele triunghiulare

Există totuși o familie de matrice pentru care definiția este cea mai rapidă metodă. Fie $A$ o matrice triunghiulară superioară de ordin $n$, adică $a_{ij}=0$ pentru $i>j$ (toate elementele de sub diagonala principală sunt nule).

Teoremă. Determinantul unei matrice triunghiulare (superioare sau inferioare) este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală:

$$\det A=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}.$$

Demonstrație. Luăm un termen oarecare, $a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$, și presupunem că este nenul. Atunci fiecare factor este nenul, deci $\sigma (i)\ge i$ pentru orice $i$. Aplicăm această inegalitate de jos în sus: pentru $i=n$ obținem $\sigma (n)\ge n$, deci $\sigma (n)=n$. Pentru $i=n-1$, $\sigma (n-1)\ge n-1$, iar valoarea $n$ este deja luată, deci $\sigma (n-1)=n-1$. Continuând, $\sigma (i)=i$ pentru orice $i$, adică $\sigma =e$. Prin urmare singurul termen posibil nenul este cel al permutării identice, cu $\epsilon (e)=+1$, adică $a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$. $■$

Pentru o matrice triunghiulară inferioară raționamentul este același, cu inegalitatea $\sigma (i)\le i$ citită de sus în jos. O matrice diagonală este și superioară, și inferioară, deci regula i se aplică; în particular

$$\det I_n=1\cdot 1\cdots 1=1,\det O_n=0.$$

Tipurile acestea de matrice au fost definite la lecția despre matricele pătratice, nule, unitate, diagonale și triunghiulare; aici capătă prima lor proprietate importantă.

8. Este acest produs un termen al determinantului?

Definiția răspunde la o întrebare care apare des în subiecte: dat un produs de $n$ elemente, apare el în dezvoltarea determinantului și cu ce semn? Procedura are trei pași:

1. verifici primii indici: trebuie să fie $1,2,\dots ,n$, fiecare exact o dată (dacă produsul nu e scris în ordinea liniilor, îl rearanjezi — înmulțirea numerelor e comutativă);
2. verifici al doilea rând de indici: dacă o coloană apare de două ori sau lipsește vreuna, produsul nu este termen al determinantului;
3. dacă a trecut testul, ai o permutare $\sigma$; numeri inversiunile ei, iar semnul termenului este $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{m(\sigma )}$.

Exemplu. Este $a_{13}{a}_{21}{a}_{34}{a}_{42}$ un termen al unui determinant de ordinul al patrulea? Liniile sunt $1,2,3,4$, iar coloanele $3,1,4,2$ — toate distincte, deci da. Inversiunile permutării $(3,1,4,2)$ sunt perechile $(3,1)$, $(3,2)$ și $(4,2)$, deci $m(\sigma )=3$ și $\epsilon (\sigma )=-1$: termenul apare cu semnul minus.

Contraexemplu. Produsul $a_{12}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{44}$ nu este termen. Liniile sunt în regulă ($1,2,3,4$), dar coloanele sunt $2,2,3,4$: coloana a doua apare de două ori, iar coloana întâi nu apare deloc. Regula „câte unul din fiecare linie și câte unul din fiecare coloană" este încălcată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Definiția aplicată la ordinul al doilea

Calculați, direct din definiție, $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 4\end{array}\right)$.

Rezolvare. Mulțimea $S_2$ are două elemente. Permutarea identică, pară, dă termenul $+a_{11}{a}_{22}=3\cdot 4=12$; permutarea $(2,1)$, impară, dă termenul $-a_{12}{a}_{21}=-(-2)\cdot 5=10$. Deci

$$\det A=12+10=22.$$

Exemplul 2 — Matricea de referință, termen cu termen

Calculați $\det A$ din definiție pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right)$ și comparați cu rezultatul dat de regula lui Sarrus.

Rezolvare. Folosim tabelul celor șase permutări din secțiunea 5, în aceeași ordine:

Adunând: $\det A=-12-40-2+0+0+0=-54$.

Prin regula lui Sarrus:

$$\det A=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right|=2\cdot 3\cdot (-2)+(-1)\cdot 4\cdot 0+0\cdot 1\cdot 5-(0\cdot 3\cdot 0+2\cdot 4\cdot 5+(-1)\cdot 1\cdot (-2))=-12-42=-54.$$

Aceeași valoare, cum era de așteptat: Sarrus este definiția, rescrisă. $✓$

Exemplul 3 — O matrice triunghiulară de ordinul al patrulea

Calculați $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 5& -1& 3\\ 0& -3& 4& 1\\ 0& 0& 1& 7\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Matricea este triunghiulară superioară, deci din cele $4!=24$ de permutări una singură produce un termen nenul: identitatea. Prin urmare $\det A=2\cdot (-3)\cdot 1\cdot (-2)=12$. Fără teoremă ar fi trebuit să verifici $24$ de produse, dintre care $23$ ies nule.

Exemplul 4 — Ordinul al patrulea, cu multe zerouri

Calculați $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 3& 4& 0\\ 0& 5& 6& 0\\ 7& 0& 0& 8\end{array}\right)$.

Rezolvare. Matricea nu e triunghiulară, dar zerourile fac aproape toată munca: din liniile $1$ și $4$ putem lua numai de pe coloanele $1$ sau $4$, iar din liniile $2$ și $3$ numai de pe coloanele $2$ sau $3$. Rămân patru permutări posibile:

Deci $\det A=144-160-252+280=12$.

Exemplul 5 — Semnul unui termen dat

a) Ce semn are termenul $a_{14}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{41}$ în dezvoltarea unui determinant de ordinul al patrulea? b) Dar termenul $a_{12}{a}_{24}{a}_{33}{a}_{41}$? c) Este $a_{11}{a}_{23}{a}_{33}{a}_{42}$ un termen al acestui determinant?

Rezolvare. a) Coloanele sunt $4,3,2,1$, toate distincte. Șirul fiind strict descrescător, toate cele $6$ perechi sunt inversiuni: $m(\sigma )=6$ și $\epsilon (\sigma )=+1$, deci termenul apare cu plus.

b) Coloanele sunt $2,4,3,1$, cu inversiunile $(2,1)$, $(4,3)$, $(4,1)$, $(3,1)$: $m(\sigma )=4$ și $\epsilon (\sigma )=+1$. Tot cu plus.

c) Coloanele sunt $1,3,3,2$: coloana a treia apare de două ori, iar a patra deloc. Nu e permutare, deci produsul nu este termen al determinantului.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A(x)$. b) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $\det A(x)=0$.

Rezolvare. a) Aplicăm regula lui Sarrus, care — știm acum — este definiția scrisă pentru $n=3$:

$$\det A(x)=x\cdot x\cdot x+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1-(1\cdot x\cdot 1+x\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot x)=x^3+2-3x.$$

Deci $\det A(x)=x^3-3x+2$.

b) Rezolvăm $x^3-3x+2=0$. Valoarea $x=1$ anulează expresia ($1-3+2=0$), deci $x-1$ este factor:

$$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1{)}^2(x+2).$$

Soluțiile sunt $x=1$ (soluție dublă) și $x=-2$. Verificare: $\det A(-2)=-8+6+2=0$ $✓$; pentru $x=0$ formula dă $2$, iar Sarrus aplicat direct dă tot $0+1+1-0-0-0=2$ $✓$.

Să exersăm

La exercițiile cu semne, scrie de fiecare dată șirul imaginilor permutării și numără inversiunile una câte una — este singura cale sigură.

1. Scrie cele două permutări din $S_2$ cu signaturile lor și deduce din definiție formula determinantului de ordinul al doilea. Aplic-o apoi matricei $\left(\begin{array}{cc}6& -4\\ 3& 2\end{array}\right)$.

2. Câți termeni are dezvoltarea unui determinant de ordinul al cincilea? Dar de ordinul al șaselea? Câți dintre ei au semnul minus, în fiecare caz?

3. Ce semn are termenul $a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$ în dezvoltarea unui determinant de ordinul al treilea? Dar termenul $a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$?

4. Ce semn are termenul $a_{11}{a}_{23}{a}_{34}{a}_{42}$ în dezvoltarea unui determinant de ordinul al patrulea?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Produsul $a_{12}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{44}$ este un termen al determinantului de ordinul al patrulea."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un termen al determinantului pot apărea două elemente aflate pe aceeași linie."

7. Calculează $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -1& 7\\ 0& 3& 2\\ 0& 0& -5\end{array}\right)$, folosind teorema matricelor triunghiulare.

8. Calculează determinantul matricei $\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 4& 7& -5& 0\\ 0& 1& 2& 2\end{array}\right)$ și precizează câți dintre cei $24$ de termeni sunt nenuli.

9. Calculează determinantul matricei diagonale de ordinul al patrulea cu elementele $2,-3,1,5$ pe diagonala principală.

10. Calculează, direct din definiție, $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 0& 2& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$.

11. Calculează $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 5& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ -3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$, identificând singura permutare care dă termen nenul.

12. Verifică pe matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& 4\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$ că definiția cu permutări și regula lui Sarrus dau același rezultat, scriind toți cei șase termeni.

13. Calculează $\det I_5$ și $\det O_4$, justificând cu definiția.

14. (Problemă aplicată.) Un magazin are patru depozite și patru clienți; livrarea se face astfel încât fiecare depozit servește exact un client și fiecare client primește de la exact un depozit. Câte planuri de livrare diferite există și ce legătură are numărul acesta cu determinantul matricei costurilor?

15. Câți dintre cei $24$ de termeni ai unui determinant de ordinul al patrulea îl conțin pe $a_{11}$? Generalizează: câți termeni ai determinantului de ordin $n$ conțin un element fixat $a_{ij}$?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x-1& 2& 3\\ 0& x+2& 5\\ 0& 0& x\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A(x)$. b) Determină valorile lui $x$ pentru care $\det A(x)=0$. c) Calculează $\det A(2)$.

17. Scrie toți termenii nenuli ai determinantului matricei $\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 5\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right)$ și calculează-i valoarea.

18. (Provocare.) Fie $A_n$ matricea de ordin $n$ care are $1$ pe toată antidiagonala (adică $a_{i,n+1-i}=1$) și $0$ în rest. Arată că $\det A_n=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$ și determină pentru ce valori ale lui $n$ determinantul este egal cu $1$.

Răspunsuri și explicații

1. $S_2=\{e,\tau \}$ cu $\epsilon (e)=+1$, $\epsilon (\tau )=-1$, deci $\det A=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$. Pentru matricea dată: $6\cdot 2-(-4)\cdot 3=12+12=24$.

2. $5!=120$ termeni, respectiv $6!=720$. Jumătate au semnul minus: $60$, respectiv $360$.

3. Pentru $a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$, imaginile sunt $(3,1,2)$, cu inversiunile $(3,1)$ și $(3,2)$: $m(\sigma )=2$, deci semnul este $+$. Pentru $a_{13}{a}_{22}{a}_{31}$, imaginile sunt $(3,2,1)$, cu toate cele trei perechi inversate: $m(\sigma )=3$, deci semnul este $-$.

4. Imaginile sunt $(1,3,4,2)$. Inversiunile sunt $(3,2)$ și $(4,2)$, deci $m(\sigma )=2$ și semnul este $+$.

5. Fals. Șirul de coloane este $2,2,3,4$: coloana a doua apare de două ori, iar prima deloc. Nu e permutare, deci produsul nu apare în dezvoltare.

6. Fals. Prin construcție, primul indice parcurge liniile $1,2,\dots ,n$, fiecare exact o dată. La fel pentru coloane, pentru că al doilea rând de indici este o permutare.

7. Matricea este triunghiulară superioară, deci $\det A=4\cdot 3\cdot (-5)=-60$.

8. Matricea este triunghiulară inferioară, deci $\det A=3\cdot 1\cdot (-5)\cdot 2=-30$. Un singur termen este nenul, cel al permutării identice.

9. O matrice diagonală este, în particular, triunghiulară: $\det A=2\cdot (-3)\cdot 1\cdot 5=-30$.

10. Singurul produs cu toți factorii nenuli este $a_{13}{a}_{22}{a}_{31}=3\cdot 2\cdot (-1)=-6$, cu imaginile $(3,2,1)$, deci $m(\sigma )=3$ și $\epsilon (\sigma )=-1$: $\det A=6$.

11. Imaginile sunt $(3,2,1,4)$, cu inversiunile $(3,2)$, $(3,1)$, $(2,1)$, deci $m(\sigma )=3$ și $\epsilon (\sigma )=-1$. Produsul este $5\cdot 2\cdot (-3)\cdot 4=-120$, iar $\det A=120$.

12. Termenii sunt $0$; $-4$; $0$; $+16$; $0$; $+6$, cu suma $18$. Sarrus dă $0+16+0-(-6+4+0)=18$ $✓$.

13. $I_5$ și $O_4$ sunt matrice diagonale. Deci $\det I_5=1^5=1$, iar $\det O_4=0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0$.

14. Un plan de livrare este o corespondență bijectivă între depozite și clienți, adică o permutare din $S_4$: există $4!=24$ de planuri, exact numărul de termeni ai determinantului matricei costurilor.

15. Dacă $a_{11}$ este fixat, permutarea trebuie să aibă $\sigma (1)=1$, iar celelalte trei valori se pot aranja în $3!=6$ moduri. În general, un element fixat $a_{ij}$ apare în exact $(n-1)!$ termeni.

16. a) Matricea este triunghiulară superioară, deci $\det A(x)=(x-1)(x+2)\cdot x$. b) Produsul este nul exact când unul dintre factori se anulează: $x\in \{-2,0,1\}$. c) $\det A(2)=1\cdot 4\cdot 2=8$.

17. Imaginile sunt $(2,1,4,3)$, cu inversiunile $(2,1)$ și $(4,3)$: $m(\sigma )=2$, $\epsilon (\sigma )=+1$. Singurul termen nenul este $3\cdot 2\cdot 5\cdot (-1)=-30$, deci $\det A=-30$.

18. Un termen nenul cere ca din linia $i$ să se ia elementul de pe coloana $n+1-i$, deci unica permutare posibilă are imaginile $(n,n-1,\dots ,1)$. Șirul fiind strict descrescător, toate perechile sunt inversiuni: $m(\sigma )=\frac{n(n-1)}{2}$. Produsul elementelor este $1$, deci $\det A_n=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}$, iar valoarea $1$ se obține pentru $n\in \{1,4,5,8,9,\dots \}$, adică atunci când $n$ dă restul $0$ sau $1$ la împărțirea cu $4$.

De reținut

• Definiția: $\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$, cu $n!$ termeni, câte unul pentru fiecare permutare de grad $n$.
• Structura unui termen: câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană; semnul lui e signatura permutării formate de indicii de coloană.
• Regula lui Sarrus este definiția pentru $n=3$; la ordinul $4$ nu există Sarrus.
• Determinantul unei matrice triunghiulare sau diagonale este produsul elementelor de pe diagonala principală; în particular $\det I_n=1$ și $\det O_n=0$.
• Definiția nu este metodă de calcul pentru $n\ge 4$, dar este temeiul din care se demonstrează toate proprietățile de calcul.

Greșeli frecvente

• Extinderea regulii lui Sarrus la ordinul al patrulea. Schema cu diagonale ar da $8$ termeni în loc de $24$. Sarrus și regula triunghiului rămân doar la ordinul $3$.
• Semnul citit „după diagonală", nu după inversiuni. La ordin mare nu mai există diagonale; singura regulă validă este $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{m(\sigma )}$.
• Numărarea inversiunilor pe rândul greșit. Ele se numără în șirul imaginilor $(\sigma (1),\dots ,\sigma (n))$, adică în rândul de jos al permutării.
• Confuzia dintre matrice și determinant. Determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice, nu o matrice.
• Uitarea condiției de coloane distincte. Un produs în care o coloană apare de două ori nu este termen al determinantului. Verifică întotdeauna al doilea rând de indici.

Aplică acasă

1. Cele 24 de permutări, pe hârtie. Scrie toate permutările din $S_4$, calculează-le inversiunile și grupează-le în pare și impare. Vei obține două coloane de câte $12$ — și vei înțelege de ce nu se calculează așa un determinant de ordinul al patrulea.

2. Detectorul de zerouri. Construiește o matrice de ordinul al patrulea în care fiecare linie are exact un element nenul, așezat pe o coloană diferită. Determinantul ei are un singur termen, iar tot efortul se reduce la numărarea inversiunilor.

3. Foaia de calcul. Scrie într-o foaie de calcul o matrice de ordinul al treilea și, alături, cei șase termeni ai definiției, fiecare cu semnul lui. Compară suma cu ce dă funcția de determinant a programului, apoi schimbă câte un element și urmărește care termeni se modifică.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă două rețete memorate într-o definiție. Elevul trebuie să iasă de aici cu trei lucruri: forma simbolică a definiției, capacitatea de a decide dacă un produs este termen al determinantului și cu ce semn, și regula pentru matrice triunghiulare. Calculul efectiv al determinanților de ordin mare nu se face aici — el vine odată cu proprietățile și cu dezvoltarea după o linie.

De verificat în caiet: (1) în fiecare termen apar exact $n$ factori, câte unul din fiecare linie și fiecare coloană; (2) semnul provine din numărul de inversiuni, nu dintr-o schemă desenată; (3) nu apare nicăieri „Sarrus pentru ordinul 4". Întrebări de control: „Câți termeni are un determinant de ordinul al patrulea?"; „Ce semn are termenul $a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$?"; „De ce nu are determinant o matrice cu trei linii și patru coloane?".

La BAC M1, definiția cu permutări apare rar ca cerință directă, dar constant ca justificare: la întrebările de tip „arătați că determinantul este nul", la matricele triunghiulare cu parametru și la orice discuție despre proprietăți. Semn că elevul a înțeles: când vede o matrice cu multe zerouri, numără permutările posibile în loc să scrie toată dezvoltarea.

Întrebări frecvente

Ce este, de fapt, un determinant de ordin n? Un număr asociat unei matrice pătratice, obținut adunând toate produsele formate cu câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană, fiecare luat cu semnul signaturii permutării care îl generează: $\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\epsilon (\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}$.

Câți termeni are un determinant de ordin n? Exact $n!$: doi la ordinul $2$, șase la ordinul $3$, douăzeci și patru la ordinul $4$, o sută douăzeci la ordinul $5$. Jumătate au semnul plus și jumătate semnul minus.

De ce funcționează regula lui Sarrus? Pentru că este chiar definiția, scrisă pentru $n=3$: cele trei „diagonale descendente" corespund permutărilor pare, iar cele trei „ascendente" permutărilor impare. De aceea ea nu se poate extinde la ordinul $4$, unde ar da $8$ termeni în loc de $24$.

Cum aflu semnul unui termen al determinantului? Scrii șirul indicilor de coloană, în ordinea liniilor, numeri inversiunile lui și aplici $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{m(\sigma )}$: plus dacă numărul de inversiuni e par, minus dacă e impar.

Cum calculez rapid determinantul unei matrice triunghiulare? Înmulțești elementele de pe diagonala principală: o singură permutare, cea identică, poate da termen nenul, toate celelalte fiind obligate să folosească un element din triunghiul de zerouri.

Poate o matrice dreptunghiulară să aibă determinant? Nu. Definiția cere câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană, ceea ce e posibil doar când numărul de linii este egal cu cel de coloane.

Unde apare această definiție la Bacalaureat M1? Mai ales indirect: în justificările de tip „determinantul este nul", în calculul determinanților de matrice triunghiulare sau cu multe zerouri și în toate proprietățile care se demonstrează pornind de la ea. Formularea simbolică a determinantului este, de altfel, o competență explicită a programei clasei a XI-a.