Exerciții rezolvate — Recapitulare și sinteză (clasa a XI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Recapitulare și sinteză", clasa a XI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$, are în $x_0=0$:

   • a) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $0$
   • b) punct de discontinuitate de speța a II-a
   • c) continuitate
   • d) punct unghiular
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) punct de discontinuitate de speța a II-a

   Ambele limite laterale în $0$ sunt $+\infty$: ele există, dar nu sunt finite, iar speța I le cere pe amândouă finite. Punctul este deci de speța a II-a, iar saltul nu se definește. Formularea „speța I înseamnă că limitele laterale există" este exact greșeala pe care o dărâmă acest exemplu.

   Lecția: Recapitulare: continuitate și funcții derivabile →

2. Despre dreapta de ecuație $x=3$ este adevărat că:

   • a) nu are pantă, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există
   • b) are panta $0$
   • c) are panta infinită
   • d) se poate scrie sub forma $y=mx+n$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) nu are pantă, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există

   Panta se definește ca $m=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $Ox$. Pentru o verticală, $\alpha =90^{\circ }$, iar tangenta nu există acolo — de aceea se spune „panta nu este definită", nu „panta este infinită". Dreapta verticală corespunde cazului $b=0$ din ecuația generală și nu se poate scrie sub formă explicită. Panta $0$ o au orizontalele $y=b$.

   Lecția: Recapitulare: drepte în planul cartezian →

3. Despre șirul $a_n=-n^2+3$ este adevărat că:

   • a) este convergent, cu limita $-\infty$
   • b) nu are limită
   • c) are limita $-\infty$, deci este divergent
   • d) este mărginit
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) are limita $-\infty$, deci este divergent

   Termenii coboară oricât de jos, deci limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este $-\infty$. Cuvântul „convergent" este însă rezervat limitelor finite, așa că șirul este divergent. „Nu are limită" ar fi altceva — cazul șirurilor care oscilează, ca $(-1{)}^n$. Iar mărginit nu este, tocmai pentru că nu are minorant.

   Lecția: Recapitulare: limite de șiruri și limite de funcții →

4. Determinantul unei matrice de ordinul $4$ se calculează:

   • a) cu regula lui Sarrus
   • b) cu regula triunghiului
   • c) cu formula $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$, aplicată pe blocuri
   • d) prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană

   Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$; aplicate la ordinul $4$ produc $8$ termeni în loc de $24$ și un rezultat fals, care se depunctează integral. Procedeul corect este să faci zerouri pe o linie sau pe o coloană, cu operații de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (care nu schimbă valoarea), și apoi să dezvolți după acea linie.

   Lecția: Recapitulare: matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare →

5. Un punct exclus din domeniu se tratează:

   • a) la fel în toate cele trei tabele ale clasei
   • b) prin două tabele, atât la șirul lui Rolle, cât și la tabelul de variație
   • c) prin celulă goală, în ambele tabele
   • d) prin două tabele la șirul lui Rolle, dar printr-un singur tabel, cu bară, la tabelul de variație
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) prin două tabele la șirul lui Rolle, dar printr-un singur tabel, cu bară, la tabelul de variație

   Regulile sunt deliberat opuse, pentru că obiectele sunt diferite. La șirul lui Rolle șirul de semne se citește separat pe fiecare interval al domeniului, deci se scriu două tabele. La tabelul de variație punctul exclus primește o coloană proprie, cu $|$ pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale, despărțite tot de $|$, pe rândul funcției.

   Lecția: Recapitulare: studiul variației funcțiilor →

6. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$, ecuația Hamilton-Cayley este:

   • a) $A^2-3A+4I_2=O_2$
   • b) $A^2+4A+3I_2=O_2$
   • c) $A^2-4A+3I_2=O_2$
   • d) $A^2-4A-3I_2=O_2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $A^2-4A+3I_2=O_2$

   Ecuația se scrie $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$. Aici $\mathrm{tr}(A)=4+0=4$ și $\det A=4\cdot 0-(-3)\cdot 1=3$, deci $A^2-4A+3I_2=O_2$. Prima variantă inversează urma cu determinantul, iar celelalte două greșesc semnele — ambele erori se prind imediat verificând pe $A^2$.

   Lecția: Sinteză finală clasa a XI-a: probleme de tip Bacalaureat M1 →

7. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, are în $x_0=0$:

   • a) punct unghiular
   • b) punct de întoarcere
   • c) derivată finită
   • d) tangentă verticală: derivata există și este $+\infty$, dar funcția nu e derivabilă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) tangentă verticală: derivata există și este $+\infty$, dar funcția nu e derivabilă

   Raportul $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ tinde la $+\infty$ din ambele părți, deci derivata există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar este infinită: funcția nu e derivabilă. Punctul de întoarcere cere derivate laterale infinite de semne contrare, ca la $\sqrt{|x|}$, iar punctul unghiular cere derivate finite și diferite, ca la $|x|$.

   Lecția: Recapitulare: continuitate și funcții derivabile →

8. Într-o problemă apar două obiecte notate $\Delta$. Cel de ordinul al treilea, format din coordonatele a trei puncte:

   • a) decide dacă două drepte sunt concurente
   • b) dă panta dreptei determinate de primele două puncte
   • c) decide coliniaritatea și dă aria, prin $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$
   • d) este determinantul sistemului format din ecuațiile a două drepte
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) decide coliniaritatea și dă aria, prin $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$

   Determinantul de coliniaritate lucrează cu puncte și răspunde la două întrebări deodată: punctele sunt coliniare exact când $\Delta =0$, iar dacă nu sunt, jumătate din modulul lui este aria triunghiului. Determinantul sistemului este alt obiect — de ordinul $2$, format din coeficienții ecuațiilor —, iar el decide dacă dreptele sunt concurente. Aceeași literă, două roluri: se precizează în scris care este care.

   Lecția: Recapitulare: drepte în planul cartezian →

9. Șirul $a_n=(-2{)}^n$:

   • a) are limita $+\infty$
   • b) nu are limită
   • c) are limita $0$
   • d) are limita $-2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) nu are limită

   Se aplică tabelul lui $q^n$, cu $q=-2\le -1$: acesta este cazul în care limita nu există. Motivul se vede pe subșiruri: termenii de rang par tind la $+\infty$, cei de rang impar la $-\infty$, iar limita, dacă ar exista, ar fi unică. Este singurul rând al tabelului în care răspunsul nu este un element al lui $\overline{\mathbb{R}}$.

   Lecția: Recapitulare: limite de șiruri și limite de funcții →

10. Fie $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, cu $\det A\ne 0$. Soluția ecuației matriceale $XA=B$ este:

    • a) $X=B{A}^{-1}$
    • b) $X=A^{-1}B$
    • c) $X=\frac{B}{A}$
    • d) $X=A{B}^{-1}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $X=B{A}^{-1}$

    Se înmulțește cu $A^{-1}$ de partea în care apare $A$, adică la dreapta: din $XA=B$ rezultă $XA{A}^{-1}=B{A}^{-1}$, deci $X=B{A}^{-1}$. Fiindcă înmulțirea matricelor nu e comutativă, $A^{-1}B$ și $B{A}^{-1}$ sunt, în general, matrice diferite. Împărțirea de matrice nu există ca operație.

    Lecția: Recapitulare: matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare →

11. Pentru $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{9-x}$, în coloana capătului $x=9$ rândul $f^{\prime }(x)$ conține:

    • a) $\nexists$
    • b) $-\infty$
    • c) celulă goală
    • d) bara $|$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $-\infty$

    $f^{\prime }(x)=\frac{18-3x}{2\sqrt{9-x}}$, iar când $x\to 9$ prin valori mai mici numărătorul tinde la $-9$, iar numitorul la $0$ prin valori pozitive: derivata laterală există și este $-\infty$. Se scrie ca atare — $\nexists$ se rezervă cazului cu derivate laterale diferite, celula goală se folosește doar la $\pm \infty$, iar bara doar acolo unde funcția nu e definită. Aici $9$ aparține domeniului, cu $f(9)=0$.

    Lecția: Recapitulare: studiul variației funcțiilor →

12. Tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4x$, în punctul de inflexiune al graficului, are ecuația:

    • a) $y=x+1$
    • b) $y=x-1$
    • c) $y=2x$
    • d) $y=-x+3$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $y=x+1$

    $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$ se anulează în $x=1$ și își schimbă semnul acolo, deci punctul de inflexiune al graficului este $(1,2)$, cu $f(1)=2$. Panta tangentei este $f^{\prime }(1)=3-6+4=1$, iar forma „prin punct, cu panta dată" dă $y-2=1\cdot (x-1)$, adică $y=x+1$. Aceasta este puntea dintre derivate și geometria analitică: derivata este panta.

    Lecția: Sinteză finală clasa a XI-a: probleme de tip Bacalaureat M1 →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.