Punctul de inflexiune al funcției de gradul al treilea

Formulă din tema Asimptote și reprezentarea grafică, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Orice funcție polinomială de gradul al treilea are exact un punct de inflexiune, iar graficul ei este simetric față de el — de aceea $x_I$ merită calculat de la început: el este și mijlocul intervalului dintre cele două puncte de extrem, când acestea există. Extremele apar exact când $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ are discriminantul strict pozitiv; când $\Delta \le 0$, funcția e strict monotonă pe $\mathbb{R}$, dar inflexiunea rămâne.

Exemplu: $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime \prime }(x)=6x$, deci inflexiunea e în $x_I=0$, iar punctul $(0,0)$ este centrul de simetrie al graficului; extremele sunt în $x=\pm 1$, simetrice față de el.