Teorema restului și teorema lui Bézout

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Prima spune că restul împărțirii unui polinom la $X-a$ se obține înlocuind $X$ cu $a$ — deci fără să efectuezi împărțirea. A doua, teorema lui Bézout, e cazul $r=0$ și transformă orice problemă de divizibilitate prin $X-a$ într-o simplă evaluare. Generalizare folosită des: dacă $a_1,\dots ,a_k$ sunt rădăcini distincte, atunci $(X-a_1)\cdots (X-a_k)$ divide $f$. Amândouă rămân valabile peste orice corp, inclusiv ${\mathbb{Z}}_p$.

Exemplu: Restul împărțirii lui $f=X^4-3X+5$ la $X-2$ este $f(2)=16-6+5=15$. • $X-1$ divide $X^5-1$, fiindcă $1^5-1=0$.