Corpul: definiție și criteriul pentru clasele de resturi

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Un corp este un inel în care orice element nenul este inversabil; se notează $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$, iar $(K^{\ast },\cdot )$ este grup. Toate corpurile din programă sunt comutative. Orice corp este inel integru (un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero), dar reciproca e falsă: $\mathbb{Z}$ e integru fără să fie corp. Teorema de clasă „${\mathbb{Z}}_n$ e corp $⟺n$ prim” se demonstrează cu criteriul $(a,n)=1$.

Exemplu: ${\mathbb{Z}}_5$ este corp: ${\hat{1}}^{-1}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, ${\hat{4}}^{-1}=\hat{4}$. • ${\mathbb{Z}}_6$ nu este: $\hat{2}$ nu e inversabilă, fiindcă $(2,6)=2$.