Grupul unităților unui inel

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$U(A)$ strânge elementele inversabile ale inelului; ele se numesc unitățile lui $A$ (a nu se confunda cu elementul unitate $1$, care e mereu în $U(A)$). Faptul că $U(A)$ e grup se demonstrează cu criteriul de subgrup aplicat monoidului $(A,\cdot )$. ⚠️ Un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero: din $ab=0$ și $a$ inversabil rezultă $b=0$.

Exemplu: $U(\mathbb{Z})=\{-1,1\}$; $U({\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}))=G{L}_n(\mathbb{R})$; $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$.