Reguli de calcul într-un inel

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Toate se demonstrează din axiome, nu se presupun: prima din $a\cdot 0=a(0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$, celelalte din prima. Ele arată că regulile semnelor, știute din gimnaziu pentru numere, funcționează în orice inel. ⚠️ Ce nu se transferă: din $ab=0$ nu rezultă $a=0$ sau $b=0$ decât în inelele fără divizori ai lui zero, iar $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ cere comutativitatea — în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ formula corectă este $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$.

Exemplu: În ${\mathbb{Z}}_6$: $(-\hat{2})\cdot \hat{5}=\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{2}$, iar $-(\hat{2}\cdot \hat{5})=-\widehat{10}=-\hat{4}=\hat{2}$ ✓ — aceeași valoare.