Funcție integrabilă și integrala definită

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este integrabilă Riemann dacă există un număr real $I$ astfel încât, pentru orice $\epsilon >0$, există $\delta >0$ cu proprietatea de mai sus, oricare ar fi diviziunea și oricare ar fi punctele intermediare. Numărul $I$ este integrala definită; $a$ și $b$ se numesc limite de integrare, iar $x$ este variabila de integrare și e mută: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$. Convențiile: ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$.

Exemplu: Funcția lui Dirichlet (care ia valoarea $1$ în raționale și $0$ în iraționale) nu e integrabilă pe $[0,1]$: sumele Riemann pot da $0$ sau $1$ pe aceeași diviziune, oricât de fină.