Suma Riemann

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$ este un sistem de puncte intermediare: din fiecare subinterval se alege un punct. Pentru $f\ge 0$, suma Riemann este suma ariilor dreptunghiurilor de baze $x_i-x_{i-1}$ și înălțimi $f({\xi }_i)$ — deci o aproximare a ariei de sub grafic. Alegeri uzuale ale punctelor: capătul stâng, capătul drept sau mijlocul fiecărui subinterval; la funcțiile monotone, primele două dau margini inferioare și superioare pentru aceeași arie.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, cu diviziunea echidistantă și ${\xi }_i=\frac{i}{n}$: ${\sigma }_{\Delta }=\frac{1}{n^3}{\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to \frac{1}{3}={\int }_0^1{x}^{2}dx$ ✓.