Lema benzii

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ este monotonă (aici crescătoare) pe $[a,b]$, iar $\xi$ și $\eta$ sunt două sisteme oarecare de puncte intermediare pe aceeași diviziune. Lema spune că toate sumele Riemann de pe o diviziune stau într-o „bandă” a cărei lățime este $\Vert \Delta \Vert (f(b)-f(a))$: se strânge la zero odată cu norma, oricât de rău ar fi aleși ${\xi }_i$. De aici se obține, fără $\epsilon$ și $\delta$, integrabilitatea funcțiilor monotone — banda prinde toate sumele și, la limită, un singur număr.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$ și diviziunea echidistantă cu $n=10$: banda are lățimea $\frac{1}{10}\cdot (1-0)=0,1$, iar sumele cu capete stânga și dreapta sunt $0,285$ și $0,385$ — diferența e exact $0,1$.