Integrale de funcții pare, impare și periodice: formulă

Formulă din tema Integrala definită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Primele două se demonstrează cu schimbarea de variabilă $x=-t$ pe jumătatea negativă a intervalului; condiția obligatorie este ca intervalul să fie simetric față de origine. A treia: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $T>0$ dacă $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ real; dacă, în plus, $f$ este continuă, atunci ${\int }_a^{a+T}f={\int }_0^{T}f$ pentru orice $a$ real, adică integrala pe un interval de lungime exact $T$ nu depinde de locul de unde începi (se demonstrează cu schimbarea de variabilă $x=t+T$). Pe un interval care nu are lungimea unui număr întreg de perioade, formula nu se aplică direct: tai intervalul în perioade întregi plus un rest. Verificarea parității se face înainte de orice calcul: economisește jumătate din muncă și prinde greșeli de semn.

Exemplu: ${\int }_{-2}^2{x}^{3}dx=0$ (funcție impară); ${\int }_{-2}^2{x}^{2}dx=2{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{16}{3}$ (funcție pară); ${\int }_{100\pi }^{101\pi }{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$ (funcția ${\sin }^{2}x$ e continuă și periodică de perioadă $\pi$).