Criteriul majorării

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

∣ a_{n} - ℓ ∣ \leq b_{n} pentru n \geq n_{0} ș i n \to \infty lim b_{n} = 0 ⟹ n \to \infty lim a_{n} = ℓ

$(a_{n})$ este șirul studiat, $ℓ$ limita bănuită, iar $(b_{n})$ un șir auxiliar, cu termeni pozitivi, care se stinge. Ideea: dacă abaterea lui $a_{n}$ față de $ℓ$ este strivită de un șir care tinde la $0$ , atunci și abaterea tinde la $0$ . Se folosește exact acolo unde operațiile cu limite nu ajung: la șiruri care conțin $sin n$ , $cos n$ , $(- 1)^{n}$ sau părți întregi — mărimi fără limită, dar mărginite. Consecință des invocată: mărginit ori tinzând la zero dă zero, adică dacă $(u_{n})$ e mărginit și $v_{n} \to 0$ , atunci $u_{n} v_{n} \to 0$ . Rangul $n_{0}$ contează: primii termeni pot încălca inegalitatea, fără nicio consecință asupra limitei.

Exemplu: Pentru $a_{n} = \frac{2 n + cos n}{n + 3}$ și $ℓ = 2$ : $∣ a_{n} - 2 ∣ = \frac{∣ cos n - 6 ∣}{n + 3} \leq \frac{7}{n + 3} \to 0$ , deci $lim a_{n} = 2$ . • $n \to \infty lim \frac{sin n}{n} = 0$ , pentru că $\frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ .

Criteriul majorării

Continuă cu