Criteriul cleștelui

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n} pentru n \geq n_{0} ș i n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim c_{n} = ℓ ⟹ n \to \infty lim a_{n} = ℓ

$(b_{n})$ și $(c_{n})$ sunt șirurile care încadrează șirul studiat $(a_{n})$ , iar $ℓ$ este valoarea comună a limitelor lor. Cele două margini trebuie să aibă aceeași limită — dacă diferă, criteriul nu spune nimic. Se folosește mai ales la sume cu număr variabil de termeni, unde nu se poate aplica regula sumei (numărul termenilor crește o dată cu $n$ ): se majorează toți termenii cu cel mai mare și se minorează cu cel mai mic. Criteriul rămâne valabil și pentru $ℓ = \pm \infty$ , cu o singură margine: din $a_{n} \geq b_{n}$ și $b_{n} \to + \infty$ rezultă $a_{n} \to + \infty$ .

Exemplu: Pentru $a_{n} = \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}$ : cei $n$ termeni sunt cuprinși între $\frac{1}{n ^{2} + n}$ și $\frac{1}{n ^{2} + 1}$ , deci $\frac{n}{n ^{2} + n} \leq a_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$ . Cum ambele margini tind la $0$ , rezultă $lim a_{n} = 0$ .

Criteriul cleștelui

Continuă cu