Definiția limitei unui șir

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$(a_n)$ este șirul, $\ell \in \mathbb{R}$ limita lui finită, iar $\epsilon$ o marjă de eroare oricât de mică, aleasă de „adversar”. În cuvinte: oricât de îngustă ar fi banda $(\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon )$ din jurul lui $\ell$, toți termenii de la un rang încolo intră în ea; în afara benzii rămân cel mult primii $N(\epsilon )-1$ termeni. Rangul $N(\epsilon )$ depinde de $\epsilon$ — cu cât $\epsilon$ e mai mic, cu atât $N$ e mai mare. Un șir cu limită finită se numește convergent; unul care nu e convergent se numește divergent. Limita, dacă există, este unică.

Exemplu: Pentru $a_n=\frac{1}{n}$ și $\ell =0$: $\left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon ⟺n>\frac{1}{\epsilon }$, deci se poate lua $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1$. Pentru $\epsilon =0,01$ rezultă $N=101$: de la al $101$-lea termen încolo, toți sunt în banda $(-0,01;0,01)$.