Limitele-etalon: șirul geometric și șirul putere

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$q$ este rația șirului geometric, iar $a$ un număr real fixat. Cele două tabele sunt cărămizile din care se construiește aproape orice limită de șir. Cazul $q\le -1$ este singurul din acest capitol în care limita chiar nu există: termenii sar între valori pozitive și negative, fără să se apropie de nimic (pentru $q=-1$ șirul este $-1,1,-1,1,\dots$). Atenție la distincție: $\lim a_n=+\infty$ înseamnă că limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar șirul nu este convergent; „nu există limită” se spune numai când e adevărat. Ierarhia de creștere, utilă la nedeterminări: $\ln n\ll n^a\ll q^n\ll n!$ pentru $a>0$ și $q>1$.

Exemplu: $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{2}^n=+\infty$, iar $\underset{n\to \infty }{\lim }(-2{)}^n$ nu există. • $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{-1/2}=0$.