Limita unui raport de expresii polinomiale în n

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$p$ și $q$ sunt gradele celor două expresii, iar $a_p\ne 0$, $b_q\ne 0$ coeficienții dominanți. Este rețeta standard pentru nedeterminarea $\frac{\infty }{\infty }$: se dă factor comun forțat $n$ la puterea cea mai mare de la numitor, se simplifică și se folosește $\frac{1}{n^k}\to 0$. Se scrie întotdeauna pasul cu factorul comun — răspunsul „se compară gradele” nu se punctează la Bacalaureat M1. Extindere folosită des: la expresii cu radicali, $\sqrt[k]{n^s}$ contează ca $n^{s/k}$, deci $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4n^2+1}}{n+3}=2$.

Exemplu: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2+2n-1}{5n^2-n+4}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{3}{5}$. • $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+7}{n^2+1}=0$, iar $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^3-1}{n^2+5}=+\infty$.