Teorema lui Weierstrass

Formulă din tema Limite de șiruri, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Un șir este monoton dacă este crescător ($a_{n+1}\ge a_n$ pentru orice $n$) sau descrescător, și mărginit dacă există $m$ și $M$ cu $m\le a_n\le M$. Teorema garantează existența limitei fără să o calculeze — de aceea este unealta de bază la șirurile date prin recurență. De fapt este de ajuns: crescător și majorat, sau descrescător și minorat. Rețeta completă are trei pași: se demonstrează monotonia (prin inducție sau prin semnul lui $a_{n+1}-a_n$), se demonstrează mărginirea (tot prin inducție), apoi se află limita $\ell$ trecând la limită în relația de recurență și alegând dintre soluții pe cea compatibilă cu marginile. Capcană: trecerea la limită fără a fi demonstrat întâi că limita există nu se punctează.

Exemplu: Șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ este crescător și majorat de $2$, deci convergent. Trecând la limită în $a_{n+1}^2=2+a_n$: ${\ell }^2=2+\ell$, cu soluțiile $2$ și $-1$; cum $\ell \ge 1$, rezultă $\ell =2$.