Rădăcini complexe conjugate și factori ireductibili peste R

Formulă din tema Polinoame, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Dacă un polinom are toți coeficienții reali, atunci $f(\bar{z})=\overline{f(z)}$, deci rădăcinile nereale apar în perechi conjugate, cu același ordin de multiplicitate. O astfel de pereche $a\pm bi$ (cu $b\ne 0$) dă un factor real de gradul al doilea, cel de mai sus, care are discriminantul negativ. Peste $\mathbb{R}$, factorii ireductibili au deci fie gradul $1$, fie gradul $2$ cu $\Delta <0$ — nu există factori ireductibili de grad mai mare. Consecință: orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. Capcană: regula cere coeficienți reali; la coeficienți complecși rădăcinile nu se mai grupează în perechi.

Exemplu: Dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina $1+2i$, atunci are și rădăcina $1-2i$, iar produsul celor doi factori este $X^2-2X+5$, cu $\Delta =4-20=-16<0$. • Un polinom real de gradul al treilea cu rădăcina $1+2i$ are forma $a(X-x_3)\left(X^2-2X+5\right)$, cu $x_3$ real.