Teorema lui Bézout

Formulă din tema Polinoame, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

O rădăcină înseamnă un factor de gradul întâi, și invers: numărul $a$ este rădăcină a lui $f$ exact atunci când $X-a$ îl divide pe $f$. Rezultă direct din teorema restului, pentru că restul $f(a)$ este zero exact când împărțirea este exactă. De aici, metoda de descompunere: cauți o rădăcină, cobori gradul cu schema lui Horner și repeți procedeul pe cât. Pentru rădăcini distincte $a\ne b$: $(X-a)(X-b)\mid f⟺f(a)=f(b)=0$. Consecință: un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte.

Exemplu: Pentru $f=X^3-2X^2-5X+6$: $f(1)=1-2-5+6=0$, deci $X-1$ îl divide pe $f$. Câtul este $X^2-X-6=(X-3)(X+2)$, așadar $f=(X-1)(X-3)(X+2)$, cu rădăcinile $1$, $3$ și $-2$. ✓