Teorema împărțirii cu rest

Formulă din tema Polinoame, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Pentru orice polinoame $f$ (deîmpărțitul) și $g\ne 0$ (împărțitorul) există și sunt unice câtul $q$ și restul $r$ cu proprietatea de mai sus. Condiția asupra restului este obligatorie: fără ea, scrierea $f=gq+r$ ar fi posibilă în infinit de multe feluri; cu ea, într-un singur fel. Grade: $\mathrm{grad}q=\mathrm{grad}f-\mathrm{grad}g$, iar restul are gradul cel mult $\mathrm{grad}g-1$; la un împărțitor de gradul întâi restul este mereu o constantă. Verificarea se face întotdeauna prin înmulțire înapoi: $g\cdot q+r$ trebuie să dea exact $f$.

Exemplu: $X^3-2X^2+3X-4$ împărțit la $X^2-1$ dă câtul $X-2$ și restul $4X-6$. Proba: $(X^2-1)(X-2)+4X-6=X^3-2X^2-X+2+4X-6=X^3-2X^2+3X-4$. ✓