Teorema restului

Formulă din tema Polinoame, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Restul împărțirii polinomului $f$ la $X-a$ este chiar valoarea $f(a)$ — o constantă, pentru că gradul restului trebuie să fie mai mic decât $1$. Demonstrația încape într-un rând: înlocuiești $X=a$ în $f=(X-a)q+r$, iar factorul $(X-a)$ se anulează. Atenție la semne: la $X+a$ restul este $f(-a)$, iar la $aX+b$ este $f\left(-\frac{b}{a}\right)$; rescrie mereu împărțitorul sub forma $X-(\dots )$. Capcană: teorema dă doar restul, nu și câtul — pentru cât folosești algoritmul sau schema lui Horner.

Exemplu: Restul împărțirii lui $f=X^3-2X^2+3X-4$ la $X-2$ este $f(2)=8-8+6-4=2$. • Restul la $X+1$ este $f(-1)=-1-2-3-4=-10$. • La împărțitorul $(X-1)(X-2)$ restul se caută de forma $mX+n$, din sistemul $f(1)=m+n$, $f(2)=2m+n$.