Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea

Formulă din tema Polinoame, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Pentru polinomul $a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ cu $a\ne 0$, cu rădăcinile numărate cu multiplicități (o rădăcină dublă intră de două ori în toate sumele). Semnele alternează — minus, plus, minus — iar la numitor stă mereu coeficientul dominant. Forma generală, pentru gradul $n$, este $S_k=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$, iar $S_k$ are $C_n^k$ termeni. Formule derivate: $x_1^2+x_2^2+x_3^2=S_1^2-2S_2$ și $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{S_2}{S_3}$, pentru $S_3\ne 0$. Capcană: pentru sume de puteri mai mari nu inventa formule, ci folosește faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

Exemplu: Pentru $X^3-6X^2+11X-6$, cu rădăcinile $1$, $2$, $3$: $S_1=6$, $S_2=1\cdot 2+1\cdot 3+2\cdot 3=11$, $S_3=6$. ✓ • Suma pătratelor: $S_1^2-2S_2=36-22=14=1+4+9$. • Suma inverselor: $\frac{S_2}{S_3}=\frac{11}{6}$.