Existența primitivelor. Teorema lui Darboux

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Implicația nu se poate întoarce: există funcții discontinue care admit primitive (de pildă derivata unei funcții derivabile cu derivata discontinuă). Instrumentul cu care se arată că o funcție nu admite primitive este teorema lui Darboux: orice funcție care admite primitive are proprietatea lui Darboux, deci duce intervale în intervale. Consecințele practice, folosite la examen: o funcție cu o discontinuitate de speța I (limite laterale finite și diferite) nu admite primitive; nici una a cărei imagine nu e interval.

Exemplu: $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\le 0\\ 2,& x>0\end{array}$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$: are salt în $0$, iar imaginea $\{1,2\}$ nu e interval.