Tabelul primitivelor (rândurile 11–16): fracții și radicali

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$a>0$. Intervalele: pentru primul rând, orice interval inclus în $\mathbb{R}\setminus \{\pm a\}$; $\mathbb{R}$ pentru al doilea și al treilea; $(-\infty ,-a)$ sau $(a,+\infty )$ pentru al patrulea; $(-a,a)$ pentru $\arcsin$; intervale fără poli pentru ultimul, unde perechea este $\int \mathrm{ctg}xdx=\ln |\sin x|+\mathcal{C}$. Cum alegi rândul: te uiți la numitor și la semnul dinaintea lui $x^2$ — fără radical și cu minus, rândul 11; fără radical și cu plus, rândul 12; cu radical și $x^2$ pozitiv, rândurile 13 sau 14; cu radical și $x^2$ negativ, rândul 15. ⚠️ La rândul 13 modulul nu se pune: $x+\sqrt{x^2+a^2}>0$ pentru orice $x$ real.

Exemplu: $\int \frac{dx}{x^2+13}=\frac{1}{\sqrt{13}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{13}}+\mathcal{C}$; $\int \frac{dx}{\sqrt{11-x^2}}=\arcsin \frac{x}{\sqrt{11}}+\mathcal{C}$ pe $\left(-\sqrt{11},\sqrt{11}\right)$.