Monotonia din semnul derivatei

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ este derivabilă pe intervalul $I$. Este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange și transformă o problemă de monotonie într-una de semn. Cu $\ge$, respectiv $\le$, se obține monotonia nestrictă. Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale: $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime }<0$ pe tot domeniul, dar nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ — se spune „descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$”. Rețeta: se stabilește domeniul, se calculează $f^{\prime }$, se rezolvă $f^{\prime }(x)=0$, se face tabelul de semn al lui $f^{\prime }$ și se citește monotonia. La capetele unde $f$ este continuă, intervalele de monotonie se pot scrie închise.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$, pozitivă pe $(-\infty ,-1)$ și pe $(1,+\infty )$, negativă pe $(-1,1)$. Deci $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[1,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-1,1]$.