Șirul lui Rolle

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$x_1<x_2<\cdots <x_k$ sunt soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$ din domeniu, iar pe primul și pe ultimul loc se scriu limitele lui $f$ la capetele fiecărui interval al domeniului. Procedura are cinci pași: (1) se stabilește domeniul și se verifică derivabilitatea; (2) se rezolvă $f^{\prime }(x)=0$; (3) se calculează valorile $f(x_i)$ și limitele la capete; (4) se completează tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele lor; (5) se citește. Citirea: între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție a ecuației $f(x)=0$; o valoare nulă înseamnă că punctul este el însuși soluție; între două valori de același semn nu există nicio soluție. Dacă un punct este exclus din domeniu, se fac două tabele, câte unul pe interval.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3-3x-1$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, deci $x_1=-1$, $x_2=1$; valorile sunt $-\infty$, $f(-1)=1$, $f(1)=-3$, $+\infty$, cu semnele $-,+,-,+$. Trei schimbări de semn, deci ecuația $x^3-3x-1=0$ are exact trei soluții reale, câte una în $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$ și $(1,+\infty )$.