Convexitatea și derivata a doua

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ este de două ori derivabilă pe intervalul $I$ — fără această ipoteză criteriul nu se aplică. Este traducerea analitică a definiției geometrice și unealta de lucru a capitolului: convexitatea se citește din semnul lui $f^{\prime \prime }$, exact cum monotonia se citește din semnul lui $f^{\prime }$. Rețeta: se calculează $f^{\prime \prime }$, se rezolvă $f^{\prime \prime }(x)=0$, se face tabelul de semn și se citesc intervalele. Ca și la monotonie, concluzia se formulează pe un interval, nu pe o reuniune. Legătură utilă: dacă $f$ e convexă pe $I$, atunci $f^{\prime }$ este crescătoare pe $I$ — pantele tangentelor cresc.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3-3x^2$: $f^{\prime \prime }(x)=6(x-1)$, deci $f$ este concavă pe $(-\infty ,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$. • $f(x)=e^x$ are $f^{\prime \prime }=e^x>0$, deci este convexă pe $\mathbb{R}$.