Puncte de inflexiune

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$x_0$ trebuie să fie din interiorul domeniului, iar $f$ continuă în $x_0$; punctul de inflexiune este cel în care funcția își schimbă convexitatea. Dezambiguizare de nume: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului. Condiția $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ singură nu ajunge — cele două capcane standard: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar rămâne convexă, deci $0$ nu este punct de inflexiune; $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime \prime }$ care își schimbă semnul în $0$, dar $0\notin D$, deci nu există inflexiune. În tangenta dusă într-un punct de inflexiune, graficul traversează tangenta.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime \prime }(x)=6x$ se anulează în $0$ și își schimbă semnul acolo, deci $0$ este punct de inflexiune al funcției, iar $(0,0)$ al graficului. • Pentru $f(x)=x^4$: $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ peste tot, deci nu există inflexiune.