Punctele critice și extremele locale

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Punctele în care $f^{\prime }$ se anulează se numesc puncte critice (sau staționare); prin teorema lui Fermat, orice extrem local din interiorul domeniului, în care $f$ e derivabilă, este punct critic. Reciproca fiind falsă, natura punctului se decide din schimbarea semnului lui $f^{\prime }$: dacă $f^{\prime }$ nu își schimbă semnul, punctul critic nu este punct de extrem (cazul $f(x)=x^3$ în $0$). Regulă permanentă de redactare: punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$ — nu se confundă în răspuns. Candidații la extrem sunt: punctele critice, punctele în care $f$ nu este derivabilă (colțuri, întoarceri) și capetele închise ale domeniului, unde teorema lui Fermat nu se aplică.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3-3x$: punctele critice sunt $-1$ și $1$; $f^{\prime }$ trece de la $+$ la $-$ în $-1$ (maxim local, valoarea $f(-1)=2$) și de la $-$ la $+$ în $1$ (minim local, valoarea $f(1)=-2$). • Pentru $f(x)=x^3$: $f^{\prime }(0)=0$, dar $f^{\prime }\ge 0$ peste tot, deci $0$ nu este punct de extrem.