Funcții convexe și funcții concave

Formulă din tema Studiul variației funcțiilor, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$I$ este un interval, iar $t$ parcurge $[0,1]$; punctul $t{x}_1+(1-t)x_2$ descrie tot segmentul dintre $x_1$ și $x_2$. Geometric: graficul se află sub coardă (și deasupra oricărei tangente). Concavă înseamnă inegalitatea inversă, cu graficul deasupra coardei. Intuiția verbală, folosită identic peste tot: convexă = „ține apa” (curbura în sus, simbolul $\cup$); concavă = „varsă apa” (curbura în jos, simbolul $\cap$). Cazul $t=\frac{1}{2}$ dă forma cea mai ușor de reținut: $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)\le \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$ — valoarea în mijloc este cel mult media valorilor.

Exemplu: $f(x)=x^2$ este convexă pe $\mathbb{R}$: pentru $x_1=0$, $x_2=2$ și $t=\frac{1}{2}$, $f(1)=1\le \frac{0+4}{2}=2$ ✓. • $f(x)=\ln x$ este concavă pe $(0,+\infty )$, iar $f(x)=\sqrt{x}$ este concavă pe $[0,+\infty )$.