Determinanți de ordin 4 prin transformări: pe scurt

La ordinul $4$, dezvoltarea directă după o linie fără zerouri costă patru determinanți de ordin $3$. Metoda corectă este alta: întâi transformi, apoi dezvolți.

Regula pe care se sprijină totul: $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$, nu schimbă determinantul. Celelalte două transformări costă și se notează pe margine chiar în momentul aplicării: $L_i\leftrightarrow L_j$ schimbă semnul, iar $L_i\leftarrow \alpha L_i$ (cu $\alpha \ne 0$) înmulțește determinantul cu $\alpha$. Aceleași reguli valorează pe coloane, cu $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$, $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$.

Strategia pivotului, în patru pași: cauți un element egal cu $1$ sau $-1$; faci zerouri pe toată coloana lui, folosind linia lui; dezvolți după acea coloană, unde rămâne un singur termen; calculezi minorul de ordin $3$ cu regula lui Sarrus. Un pivot diferit de $\pm 1$ umple calculul de numitori.

Dacă nu există niciun $1$, îl fabrici: scazi două linii (sau două coloane) cu valori apropiate. Alteori factorul comun scos dintr-o linie produce chiar pivotul căutat.

Trucul coloanei constante: când toate liniile au aceeași sumă $s$, transformarea $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3+C_4$ face prima coloană constantă; scoți $s$ factor comun și rămâi cu coloana de $1$.

Avertismentul care valorează puncte: regula lui Sarrus nu se extinde la ordinul $4$. Pe determinantul cu $2$ pe diagonală și $1$ alături, „Sarrus prelungit" ar da $15$, în timp ce valoarea corectă este $5$. La ordinul $4$ ai voie doar cu dezvoltarea după o linie sau o coloană și cu transformările elementare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Cât este $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 0\\ 2& 3& 1& 1\\ 1& 0& 2& 3\\ 3& 1& 0& 2\end{array}\right|$?

   • a) $21$
   • b) $-57$
   • c) $-21$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-21$

   Pivotul este $a_{11}=1$. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_1$ — trei transformări care nu schimbă valoarea — liniile devin $(0,-1,3,1)$, $(0,-2,3,3)$ și $(0,-5,3,2)$. Dezvoltând după prima coloană rămâne $\left|\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ -2& 3& 3\\ -5& 3& 2\end{array}\right|$; cu regula lui Sarrus, produsele care se adună însumează $-57$, iar cele care se scad, $-36$, deci valoarea este $-57+36=-21$.

2. Care dintre afirmațiile următoare este adevărată?

   • a) regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare
   • b) la ordinul $4$, „Sarrus prelungit” cu primele trei coloane scrise la dreapta dă valoarea corectă
   • c) transformarea $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$, cu $i\ne j$, schimbă semnul determinantului
   • d) transformarea $L_2\leftarrow 3L_2$ nu schimbă determinantul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) regula lui Sarrus se aplică exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare

   Argumentul de numărare: la ordinul $4$ determinantul are $4!=24$ de termeni, iar orice schemă de diagonale produce cel mult $8$. Pe determinantul cu $2$ pe diagonală și $1$ alături, rețeta greșită dă $15$, în timp ce valoarea corectă este $5$. Varianta c) este falsă (transformarea nu schimbă nimic), iar d) este falsă: determinantul se triplează.

3. Se știe că $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ are $\det A=-24$. Ce determinant are matricea obținută aplicând, în ordine, $L_2\leftrightarrow L_4$, apoi $C_3\leftarrow C_3+5C_1$, apoi $L_1\leftarrow 2L_1$?

   • a) $-24$
   • b) $-48$
   • c) $24$
   • d) $48$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $48$

   Schimbarea a două linii schimbă semnul: $24$. Transformarea $C_3\leftarrow C_3+5C_1$, fiind de tipul $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$ cu $i\ne j$, nu schimbă nimic: tot $24$. Înmulțirea unei linii cu $2$ dublează: $48$. Varianta b) uită minusul adus de schimbarea de linii.