Determinantul de ordinul al treilea: regula lui Sarrus și regula triunghiului

La ordinul $2$ ai avut noroc: formula $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ se ține minte dintr-o privire. La ordinul $3$ nu mai există un asemenea noroc — determinantul este o sumă de șase produse de câte trei factori, cu trei semne plus și trei semne minus, iar cine încearcă să-i învețe pe de rost în ordine aleatoare greșește garantat.

De aceea s-au inventat două rețete de așezare, care produc exact aceleași șase produse, dar le fac vizibile pe desen: regula lui Sarrus și regula triunghiului. Nu sunt teoreme și nu sunt metode diferite de calcul — sunt două moduri de a nu uita nimic. În lecția aceasta le construim pe amândouă, le comparăm pe același exemplu și, la fel de important, fixăm limita lor: se aplică exclusiv la ordinul $3$. Determinantul de ordin $2$ a fost introdus la Determinantul de ordinul al doilea; ordinul $4$ și ordinul general se lucrează cu alte unelte, la lecțiile care urmează.

Ce vei învăța

• Vei ști definiția determinantului de ordin 3, ca sumă de șase produse, și vei recunoaște structura fiecărui produs.
• Vei ști să aplici regula lui Sarrus, copiind primele două linii sub tablou.
• Vei ști să aplici regula triunghiului, cu diagonala și cele două triunghiuri de fiecare parte.
• Vei ști să verifici un rezultat calculând același determinant prin ambele rețete.
• Vei ști de ce regula lui Sarrus nu se extinde la ordinul 4 și ce se întâmplă dacă cineva încearcă totuși.
• Vei ști să scurtezi calculul când tabloul conține zerouri, linii proporționale sau are formă triunghiulară.

Hai să descoperim împreună

1. Structura celor șase produse

La ordinul $2$, determinantul a fost o sumă de $2$ produse: $a_{11}{a}_{22}$ și $a_{12}{a}_{21}$. Privește-le atent — fiecare ia câte un element din fiecare linie și câte unul din fiecare coloană, iar diferența dintre ele e doar felul în care sunt împerecheate liniile cu coloanele. Exact așa se construiește determinantul la orice ordin.

La ordinul $3$, împerecherile posibile ale liniilor cu coloanele sunt permutările din $S_3$, adică $3!=6$. Fiecare produs primește un semn, dat de signatura permutării corespunzătoare — iar din Inversiuni și semnul unei permutări știi că $S_3$ are exact trei permutări pare și trei impare. De aici, fără niciun calcul: șase produse, trei cu plus și trei cu minus. Legătura riguroasă se face la Determinantul de ordin n; aici o folosim doar ca să știm ce ne așteaptă.

2. Definiția

Definiție. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$. Determinantul matricei $A$ este numărul

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}.$$

Verifică pe fiecare produs: indicii de linie sunt $1,2,3$ (fiecare linie apare o dată), iar indicii de coloană formează, tot ei, o rearanjare a numerelor $1,2,3$. Nu există niciun produs care să folosească de două ori aceeași linie sau aceeași coloană — și nu lipsește niciunul dintre cele șase posibile.

Formula este o definiție, nu un rezultat dedus din ceva anterior. Cele două reguli care urmează nu o demonstrează; o așază în desen, ca să poată fi scrisă din memorie fără greșeală.

3. Regula lui Sarrus

Procedura, în trei pași.

1. Scrii tabloul de ordin $3$.
2. Copiezi sub el primele două linii, în aceeași ordine. Obții un tablou cu cinci linii și trei coloane.
3. Aduni produsele de pe cele trei diagonale care coboară spre dreapta și scazi produsele de pe cele trei diagonale care coboară spre stânga.

Scrisă pe litere, regula dă

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{21}{a}_{32}{a}_{13}+a_{31}{a}_{12}{a}_{23}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}-a_{11}{a}_{32}{a}_{23}-a_{21}{a}_{12}{a}_{33}.$$

Compar-o cu definiția de la punctul $2$: sunt aceleași șase produse, scrise în altă ordine. De exemplu, $a_{21}{a}_{32}{a}_{13}$ de aici este $a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$ de acolo — factorii sunt aceiași, doar așezați altfel.

Există și varianta cu coloane: în loc să copiezi primele două linii dedesubt, copiezi primele două coloane în dreapta. Rezultatul e identic; alege o variantă și rămâi la ea, ca să nu amesteci desenele în timpul lucrării.

4. Regula triunghiului

Aici nu se copiază nimic; se lucrează pe tabloul original.

Cele trei produse cu plus: produsul de pe diagonala principală, plus produsele de pe cele două „triunghiuri" care au câte o latură paralelă cu diagonala principală.

Cele trei produse cu minus: produsul de pe diagonala secundară, plus produsele de pe cele două triunghiuri cu o latură paralelă cu diagonala secundară.

Scrisă pe litere:

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}.$$

Aceasta este, literă cu literă, definiția de la punctul $2$. Cele două reguli dau aceeași listă de șase produse — diferă doar felul în care le găsești pe desen. Alegerea între ele e chestiune de gust: Sarrus cere două linii scrise în plus, dar are toate produsele pe linii drepte, paralele; triunghiul economisește scrisul, dar cere atenție la formele care nu sunt drepte.

5. Același determinant, prin ambele reguli

Luăm matricea

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right).$$

Prin regula triunghiului. Produsele care se adună: diagonala principală $2\cdot 3\cdot (-2)$, apoi triunghiurile $(-1)\cdot 4\cdot 0$ și $0\cdot 1\cdot 5$. Produsele care se scad: diagonala secundară $0\cdot 3\cdot 0$, apoi $2\cdot 4\cdot 5$ și $(-1)\cdot 1\cdot (-2)$. Deci

$$\det A=2\cdot 3\cdot (-2)+(-1)\cdot 4\cdot 0+0\cdot 1\cdot 5-(0\cdot 3\cdot 0+2\cdot 4\cdot 5+(-1)\cdot 1\cdot (-2))=-12-42=-54.$$

Prin regula lui Sarrus. Copiem sub tablou liniile $2,-1,0$ și $1,3,4$. Diagonalele care coboară spre dreapta dau $2\cdot 3\cdot (-2)=-12$, $1\cdot 5\cdot 0=0$ și $0\cdot (-1)\cdot 4=0$, cu suma $-12$. Diagonalele care coboară spre stânga dau $0\cdot 3\cdot 0=0$, $2\cdot 5\cdot 4=40$ și $1\cdot (-1)\cdot (-2)=2$, cu suma $42$. Deci

$$\det A=-12-42=-54.$$

Aceeași valoare, obținută pe două căi independente. Obiceiul acesta — calculezi cu o regulă și verifici cu cealaltă — este cea mai ieftină asigurare împotriva greșelilor de semn la o lucrare.

Un al doilea exemplu, cu numere mai blânde:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 10\end{array}\right|=(1\cdot 5\cdot 10+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8)-(3\cdot 5\cdot 7+1\cdot 6\cdot 8+2\cdot 4\cdot 10)=(50+84+96)-(105+48+80)=230-233=-3.$$

Dacă în tabloul de mai sus înlocuiești $10$ cu $9$, determinantul devine $0$ — o schimbare de o unitate într-un singur element răstoarnă complet concluzia. Este un motiv bun să nu „aproximezi" niciodată într-un determinant.

6. ⚠️ Regula lui Sarrus NU se extinde la ordinul 4

Aceasta este cea mai costisitoare greșeală din tot capitolul, iar la Bacalaureat M1 anulează integral punctajul exercițiului.

Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică EXCLUSIV la determinanții de ordin $3$. Pentru ordinul $4$ nu există nicio variantă „mărită" a lor.

Motivul e simplu de numărat. La ordinul $3$, definiția cere $3!=6$ produse, iar desenul cu diagonale produce exact $6$. La ordinul $4$, definiția cere $4!=24$ de produse, în timp ce un desen cu diagonale, oricât l-ai desena, produce doar $8$ — patru într-un sens și patru în celălalt. Lipsesc șaisprezece produse din douăzeci și patru: rezultatul nu are cum să fie corect.

Și nu e vorba de o eroare mică. Pentru

$$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& 1& 3& 2\\ 2& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right),$$

valoarea corectă este $\det B=-15$, în timp ce un „Sarrus extins" ar da $4$. Nici măcar semnul nu se nimerește.

Ce se folosește la ordinul $4$: dezvoltarea după o linie sau o coloană, la Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană, și transformările elementare, la Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare.

7. Când calculul e mult mai scurt decât pare

Nu orice determinant de ordin $3$ cere șase produse întregi. Trei situații se recunosc din privire și scurtează dramatic munca.

Multe zerouri. Fiecare produs care conține un $0$ dispare. La matricea de la punctul $5$ au supraviețuit doar trei produse din șase, tocmai pentru că tabloul avea două zerouri.

Matrice triunghiulară. Dacă toate elementele de sub diagonala principală sunt nule, singurul produs care nu conține un $0$ este cel de pe diagonala principală:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 7& -1\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right|=2\cdot 3\cdot 4=24.$$

Merită verificat pe cele șase produse, o dată, ca să te convingi că celelalte cinci chiar se anulează.

Linii proporționale sau o linie nulă. Ca la ordinul $2$, determinantul iese $0$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 5& 0& 1\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 4& 5& 6\end{array}\right|=0.$$

La prima, linia a doua este dublul primei; la a doua, fiecare produs conține un factor din linia nulă. Ambele situații se enunță și se demonstrează în general la Proprietățile determinanților (I); deocamdată le verifici prin calcul, ca pe niște scurtături.

Încă două observații, verificate prin calcul direct și utile ca autocontrol: determinantul nu se schimbă la transpunere — pentru $C=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& -1\\ 5& 2& 0\end{array}\right)$ avem $\det C=\det ({}^{t}C)=-61$ — iar schimbarea a două linii îi schimbă semnul: pornind de la matricea $A$ de la punctul $5$ și schimbând între ele primele două linii, determinantul devine $54$, adică $-\det A$.

8. Ecuații cu determinanți de ordin 3

Cea mai frecventă cerință de examen: matricea conține un parametru, iar tu trebuie să afli pentru ce valori determinantul se anulează. Rețeta e neschimbată — calculezi determinantul, obții o ecuație, o rezolvi, verifici.

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& m\\ 1& 4& m^2\end{array}\right|=0$.

Calculăm cu regula triunghiului. Produsele cu plus: $1\cdot 2\cdot m^2$, $1\cdot m\cdot 1$, $1\cdot 1\cdot 4$. Produsele cu minus: $1\cdot 2\cdot 1$, $1\cdot m\cdot 4$, $1\cdot 1\cdot m^2$. Deci

$$\det =(2m^2+m+4)-(2+4m+m^2)=m^2-3m+2=(m-1)(m-2).$$

Determinantul se anulează pentru $m=1$ și $m=2$. Verificare: pentru $m=1$, liniile a doua și a treia devin $1,2,1$ și $1,4,1$, iar calculul direct dă $0$; pentru $m=2$, liniile a doua și a treia devin identice, $1,2,4$, deci determinantul e $0$ — de data aceasta se vede și fără calcul. Pentru control, la $m=0$ formula dă $(0-1)(0-2)=2$, iar calculul direct al determinantului dă tot $2$. ✓

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sarrus, pas cu pas

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 2& 0& -1\\ 4& 1& 5\end{array}\right|$ folosind regula lui Sarrus.

Rezolvare. Copiem sub tablou primele două linii: $1,-2,3$ și $2,0,-1$.

Diagonalele care coboară spre dreapta: $1\cdot 0\cdot 5=0$; $2\cdot 1\cdot 3=6$; $4\cdot (-2)\cdot (-1)=8$. Suma lor: $14$.

Diagonalele care coboară spre stânga: $4\cdot 0\cdot 3=0$; $1\cdot 1\cdot (-1)=-1$; $2\cdot (-2)\cdot 5=-20$. Suma lor: $-21$.

Deci $\det =14-(-21)=14+21=35$.

Atenție la ultimul pas: suma diagonalelor „negative" a ieșit ea însăși negativă, deci scăderea ei a devenit adunare. Aici se pierde cel mai des semnul.

Exemplul 2 — Aceeași matrice, prin regula triunghiului

Verificați rezultatul precedent aplicând regula triunghiului.

Rezolvare. Produsele care se adună: $1\cdot 0\cdot 5=0$ (diagonala principală), $(-2)\cdot (-1)\cdot 4=8$, $3\cdot 2\cdot 1=6$; suma $14$.

Produsele care se scad: $3\cdot 0\cdot 4=0$ (diagonala secundară), $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$, $(-2)\cdot 2\cdot 5=-20$; suma $-21$.

Deci $\det =14-(-21)=35$ — aceeași valoare, iar produsele sunt aceleași șase numere, în altă ordine.

Exemplul 3 — Un tablou cu multe zerouri

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 3& 0& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right|$.

Rezolvare. Diagonala principală este formată numai din zerouri, deci produsul de pe ea este $0$. Produsul de pe diagonala secundară conține elementul $a_{22}=0$, deci se anulează și el. Rămân cele patru triunghiuri — iar dintre ele, cele două care se scad conțin la rândul lor câte un zero.

Adunăm: $0\cdot 0\cdot 0=0$; $1\cdot 4\cdot 5=20$; $2\cdot 3\cdot 6=36$; suma $56$. Scădem: $2\cdot 0\cdot 5=0$; $0\cdot 4\cdot 6=0$; $1\cdot 3\cdot 0=0$; suma $0$.

Deci $\det =56-0=56$. Din șase produse, patru s-au anulat.

Exemplul 4 — Determinant nul, recunoscut fără calcul

Arătați că $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 5& 0& 1\end{array}\right|=0$.

Rezolvare. Linia a doua este dublul liniei întâi, deci liniile sunt proporționale. Calculăm totuși, pentru control. Adunăm: $1\cdot 4\cdot 1=4$; $2\cdot 6\cdot 5=60$; $3\cdot 2\cdot 0=0$; suma $64$. Scădem: $3\cdot 4\cdot 5=60$; $1\cdot 6\cdot 0=0$; $2\cdot 2\cdot 1=4$; suma $64$.

Deci $\det =64-64=0$ ✓. Cele două sume au ieșit egale — exact ceea ce înseamnă „determinant nul".

Exemplul 5 — Ecuație cu parametru

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ are determinantul nul.

Rezolvare. Adunăm: $m\cdot m\cdot m=m^3$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; suma $m^3+2$. Scădem: $1\cdot m\cdot 1=m$; $m\cdot 1\cdot 1=m$; $1\cdot 1\cdot m=m$; suma $3m$. Deci

$$\det A=m^3-3m+2.$$

Observăm că $m=1$ este rădăcină ($1-3+2=0$), deci polinomul se descompune: $m^3-3m+2=(m-1)(m^2+m-2)=(m-1)(m-1)(m+2)=(m-1{)}^2(m+2)$.

Prin urmare $\det A=0$ pentru $m=1$ și $m=-2$.

Verificare: pentru $m=1$ toate cele trei linii devin $1,1,1$, deci determinantul e $0$; pentru $m=-2$, calculul direct dă $(-8)-(-6)+2=0$ ✓. Un control suplimentar: pentru $m=3$ formula dă $27-9+2=20$, iar calculul direct pe tablou dă tot $20$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 3& 2\\ 4& 1& 0\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. b) Verificați rezultatul prin cealaltă regulă de calcul. c) Determinați $x\in \mathbb{R}$ pentru care matricea obținută din $A$ înlocuind elementul de pe linia $1$ și coloana $3$ cu $x$ are determinantul nul.

Rezolvare. a) Prin regula triunghiului. Adunăm: $2\cdot 3\cdot 0=0$; $0\cdot 2\cdot 4=0$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; suma $1$. Scădem: $1\cdot 3\cdot 4=12$; $2\cdot 2\cdot 1=4$; $0\cdot 1\cdot 0=0$; suma $16$. Deci $\det A=1-16=-15$.

b) Prin Sarrus, copiind sub tablou liniile $2,0,1$ și $1,3,2$. Diagonalele spre dreapta: $2\cdot 3\cdot 0=0$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; $4\cdot 0\cdot 2=0$; suma $1$. Diagonalele spre stânga: $4\cdot 3\cdot 1=12$; $2\cdot 1\cdot 2=4$; $1\cdot 0\cdot 0=0$; suma $16$. Deci $\det A=1-16=-15$ ✓.

c) Matricea devine $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& x\\ 1& 3& 2\\ 4& 1& 0\end{array}\right)$. Adunăm: $2\cdot 3\cdot 0=0$; $0\cdot 2\cdot 4=0$; $x\cdot 1\cdot 1=x$; suma $x$. Scădem: $x\cdot 3\cdot 4=12x$; $2\cdot 2\cdot 1=4$; $0\cdot 1\cdot 0=0$; suma $12x+4$. Deci determinantul este $x-12x-4=-11x-4$, iar condiția $-11x-4=0$ dă $x=-\frac{4}{11}$.

Verificare: pentru $x=1$, formula dă $-15$ — exact valoarea de la punctul a), unde elementul era chiar $1$ ✓.

Să exersăm

La fiecare determinant, scrie separat suma produselor pozitive și suma celor negative, apoi scade-le. Verifică cel puțin trei rezultate prin cealaltă regulă.

1. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ -1& 4& 1\\ 2& 5& 0\end{array}\right|$.

2. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 4& 0& -2\\ -1& 5& 3\end{array}\right|$.

3. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 2\\ 0& 4& 1\end{array}\right|$ prin regula lui Sarrus, apoi verifică prin regula triunghiului.

4. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}2& 7& -1\\ 0& 3& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right|$ și explică de ce rezultatul se putea scrie direct.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Regula lui Sarrus se poate aplica și la determinanții de ordin $4$, copiind sub tablou primele trei linii."

6. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right|$.

7. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 3& -1& 4\\ 2& 0& 3\end{array}\right|$.

8. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& 4\\ 2& 1& 0\end{array}\right|$.

9. Fără a face toate calculele, spune cât este $\left|\begin{array}{ccc}4& -8& 12\\ 1& -2& 3\\ 7& 0& 5\end{array}\right|$ și justifică.

10. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$ și $\left|\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right|$, apoi spune cât este determinantul unei matrice diagonale de ordin $3$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o matrice de ordin $3$ are trei elemente nule, atunci determinantul ei este $0$."

12. (Problemă aplicată.) Trei ateliere consumă zilnic, în tone, materiile prime $\text{X}$, $\text{Y}$, $\text{Z}$ după tabloul $\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 2& 5\\ 1& -1& 4\end{array}\right)$ (o valoare negativă înseamnă că atelierul returnează material). Calculează determinantul acestui tablou; el va decide, în lecțiile următoare, dacă din consumurile totale se pot reconstitui în mod unic producțiile celor trei ateliere.

13. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ -1& 0& 4\\ 2& 1& 1\end{array}\right|$.

14. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& -1\\ 5& 2& 0\end{array}\right)$. Calculează $\det A$ și $\det ({}^{t}A)$ și compară valorile.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 0\\ 1& 5& 3\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. b) Verificați rezultatul prin cealaltă regulă. c) Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& m& 3\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$ are determinantul nul.

16. Determină $m\in \mathbb{R}$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}m& 2& 1\\ 1& m& 2\\ 2& 1& m\end{array}\right|=0$, știind că una dintre soluții este un număr întreg negativ.

17. Pornind de la matricea $A$ de la exercițiul $14$, schimbă între ele liniile $1$ și $3$ și calculează determinantul noii matrice. Ce relație observi față de $\det A$?

18. (Provocare.) Arată, folosind definiția celor șase produse, că determinantul unei matrice de ordin $3$ care are o linie formată numai din zerouri este $0$. Apoi arată același lucru pentru o coloană nulă.

Răspunsuri și explicații

1. Adunăm: $3\cdot 4\cdot 0=0$; $0\cdot 1\cdot 2=0$; $2\cdot (-1)\cdot 5=-10$; suma $-10$. Scădem: $2\cdot 4\cdot 2=16$; $3\cdot 1\cdot 5=15$; $0\cdot (-1)\cdot 0=0$; suma $31$. Deci $\det =-10-31=-41$.

2. Adunăm: $2\cdot 0\cdot 3=0$; $(-3)\cdot (-2)\cdot (-1)=-6$; $1\cdot 4\cdot 5=20$; suma $14$. Scădem: $1\cdot 0\cdot (-1)=0$; $2\cdot (-2)\cdot 5=-20$; $(-3)\cdot 4\cdot 3=-36$; suma $-56$. Deci $\det =14-(-56)=70$.

3. Adunăm: $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$; $2\cdot 2\cdot 0=0$; $0\cdot 3\cdot 4=0$; suma $-1$. Scădem: $0\cdot (-1)\cdot 0=0$; $1\cdot 2\cdot 4=8$; $2\cdot 3\cdot 1=6$; suma $14$. Deci $\det =-1-14=-15$. Ambele reguli dau aceleași șase produse, deci aceeași valoare.

4. Matricea este triunghiulară: sub diagonala principală sunt numai zerouri. Toate produsele în afară de cel de pe diagonala principală conțin cel puțin un $0$, deci $\det =2\cdot 3\cdot 4=24$.

5. Fals. La ordinul $4$ definiția cere $4!=24$ de produse, iar orice desen cu diagonale produce doar $8$. Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$. Pentru ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare.

6. Adunăm: $1\cdot 2\cdot 9=18$; $1\cdot 4\cdot 1=4$; $1\cdot 1\cdot 3=3$; suma $25$. Scădem: $1\cdot 2\cdot 1=2$; $1\cdot 4\cdot 3=12$; $1\cdot 1\cdot 9=9$; suma $23$. Deci $\det =25-23=2$.

7. Adunăm: $5\cdot (-1)\cdot 3=-15$; $2\cdot 4\cdot 2=16$; $1\cdot 3\cdot 0=0$; suma $1$. Scădem: $1\cdot (-1)\cdot 2=-2$; $5\cdot 4\cdot 0=0$; $2\cdot 3\cdot 3=18$; suma $16$. Deci $\det =1-16=-15$.

8. Adunăm: $1\cdot (-1)\cdot 0=0$; $2\cdot 4\cdot 2=16$; $3\cdot 0\cdot 1=0$; suma $16$. Scădem: $3\cdot (-1)\cdot 2=-6$; $1\cdot 4\cdot 1=4$; $2\cdot 0\cdot 0=0$; suma $-2$. Deci $\det =16-(-2)=18$.

9. Este $0$: prima linie este a doua înmulțită cu $4$, deci liniile sunt proporționale. (Verificarea prin calcul complet confirmă: cele două sume de produse ies egale.)

10. $\det I_3=1\cdot 1\cdot 1=1$, iar al doilea determinant este $3\cdot (-2)\cdot 5=-30$. O matrice diagonală are zerouri și deasupra, și dedesubtul diagonalei principale, deci este în particular triunghiulară: cinci dintre cele șase produse conțin un factor nul, iar determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.

11. Fals. Contraexemplul de la exemplul $3$: matricea are trei zerouri, pe toată diagonala principală, dar determinantul este $56$. Zerourile anulează produsele în care apar, nu determinantul.

12. Adunăm: $3\cdot 2\cdot 4=24$; $1\cdot 5\cdot 1=5$; $(-2)\cdot 0\cdot (-1)=0$; suma $29$. Scădem: $(-2)\cdot 2\cdot 1=-4$; $3\cdot 5\cdot (-1)=-15$; $1\cdot 0\cdot 4=0$; suma $-19$. Deci $\det =29-(-19)=48$. Fiind nenul, în lecțiile despre sisteme vom putea spune că producțiile se reconstituie în mod unic.

13. Adunăm: $1\cdot 0\cdot 1=0$; $3\cdot 4\cdot 2=24$; $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$; suma $22$. Scădem: $2\cdot 0\cdot 2=0$; $1\cdot 4\cdot 1=4$; $3\cdot (-1)\cdot 1=-3$; suma $1$. Deci $\det =22-1=21$.

14. Adunăm: $2\cdot 4\cdot 0=0$; $1\cdot (-1)\cdot 5=-5$; $3\cdot 0\cdot 2=0$; suma $-5$. Scădem: $3\cdot 4\cdot 5=60$; $2\cdot (-1)\cdot 2=-4$; $1\cdot 0\cdot 0=0$; suma $56$. Deci $\det A=-5-56=-61$. Pentru ${}^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ 1& 4& 2\\ 3& -1& 0\end{array}\right)$ calculul dă tot $-61$: determinantul nu se schimbă la transpunere.

15. a) Adunăm: $4\cdot 5\cdot 1=20$; $2\cdot 3\cdot 0=0$; $0\cdot 1\cdot 2=0$; suma $20$. Scădem: $0\cdot 5\cdot 0=0$; $4\cdot 3\cdot 2=24$; $2\cdot 1\cdot 1=2$; suma $26$. Deci $\det A=20-26=-6$. b) Prin Sarrus, diagonalele spre dreapta dau $4\cdot 5\cdot 1=20$, $1\cdot 2\cdot 0=0$, $0\cdot 2\cdot 3=0$, cu suma $20$; cele spre stânga dau $0\cdot 5\cdot 0=0$, $4\cdot 2\cdot 3=24$, $1\cdot 2\cdot 1=2$, cu suma $26$; deci $-6$ ✓. c) Adunăm: $2\cdot m\cdot 1=2m$; $1\cdot 3\cdot 0=0$; $0\cdot 1\cdot 2=0$; suma $2m$. Scădem: $0\cdot m\cdot 0=0$; $2\cdot 3\cdot 2=12$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; suma $13$. Determinantul este $2m-13$, iar condiția $2m-13=0$ dă $m=\frac{13}{2}$. Control: pentru $m=0$ formula dă $-13$, iar calculul direct pe tablou dă tot $-13$ ✓.

16. Adunăm: $m\cdot m\cdot m=m^3$; $2\cdot 2\cdot 2=8$; $1\cdot 1\cdot 1=1$; suma $m^3+9$. Scădem: $1\cdot m\cdot 2=2m$; $m\cdot 2\cdot 1=2m$; $2\cdot 1\cdot m=2m$; suma $6m$. Deci $\det =m^3-6m+9$. Încercăm $m=-3$: $-27+18+9=0$ ✓, deci $-3$ este soluția întreagă. Descompunem: $m^3-6m+9=(m+3)(m^2-3m+3)$, iar $m^2-3m+3$ are discriminantul $9-12=-3<0$, deci nu mai are rădăcini reale. Singura soluție reală este $m=-3$.

17. Noua matrice este $\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 0\\ 0& 4& -1\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$. Adunăm: $5\cdot 4\cdot 3=60$; $2\cdot (-1)\cdot 2=-4$; $0\cdot 0\cdot 1=0$; suma $56$. Scădem: $0\cdot 4\cdot 2=0$; $5\cdot (-1)\cdot 1=-5$; $2\cdot 0\cdot 3=0$; suma $-5$. Deci determinantul este $56-(-5)=61=-\det A$: schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului.

18. Fiecare dintre cele șase produse conține exact un factor din fiecare linie — se vede direct în definiție, unde primii indici ai celor trei factori sunt $1$, $2$ și $3$. Dacă una dintre linii este nulă, atunci factorul luat din ea este $0$, deci fiecare produs este $0$ și suma lor este $0$. Pentru o coloană nulă raționamentul e identic, folosind al doilea indice: fiecare produs conține exact un factor din fiecare coloană, deci un factor nul.

De reținut

• Definiția: determinantul de ordin $3$ este suma a șase produse de câte trei factori, trei cu semnul plus și trei cu minus; fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și din fiecare coloană.
• Regula lui Sarrus: copiezi sub tablou primele două linii, aduni cele trei produse de pe diagonalele care coboară spre dreapta și scazi cele trei de pe diagonalele care coboară spre stânga.
• Regula triunghiului: aduni produsul de pe diagonala principală și cele două triunghiuri paralele cu ea; scazi produsul de pe diagonala secundară și cele două triunghiuri paralele cu ea.
• Cele două reguli dau aceleași șase produse — de aceea una o verifică pe cealaltă, iar dubla verificare costă un minut.
• ⚠️ Nici Sarrus, nici triunghiul nu se aplică la ordinul $4$. Acolo se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare.

Greșeli frecvente

• Sarrus la ordinul 4. Cea mai gravă greșeală din capitol: la ordinul $4$ ar produce $8$ produse din cele $24$ necesare, deci un rezultat fără nicio legătură cu determinantul. Se depunctează integral.
• Scăderea unei sume negative. Când suma produselor „cu minus" iese negativă, scăderea ei devine adunare. Scrie explicit $\det =S_{+}-S_{-}$ și abia apoi înlocuiește valorile.
• Amestecarea celor două desene. Dacă începi cu Sarrus, copiază liniile și mergi până la capăt cu el; trecerea la jumătatea calculului spre triunghiuri duce la produse numărate de două ori sau deloc.
• Copierea coloanelor sub tablou. La varianta cu linii se copiază liniile dedesubt, nu coloanele. Varianta cu coloane există, dar atunci ele se scriu la dreapta, nu sub tablou.
• Concluzia grăbită „are zerouri, deci e nul". Zerourile anulează doar produsele în care apar. Un determinant cu trei zerouri poate fi oricât de mare — vezi exemplul cu valoarea $56$.

Aplică acasă

1. Dubla verificare, de cinci ori. Alege cinci matrice de ordin $3$ cu numere între $-5$ și $5$ și calculează fiecare determinant de două ori: o dată cu Sarrus, o dată cu triunghiul. Notează de câte ori cele două valori au diferit din prima — acela e numărul de greșeli pe care le faci în mod obișnuit.

2. Fabrica de determinanți nuli. Construiește trei matrice de ordin $3$ cu determinantul $0$, prin trei mecanisme diferite: linie nulă, două linii proporționale, două linii identice. Verifică de fiecare dată prin calcul complet.

3. Cronometrul. Cronometrează-te la un determinant de ordin $3$ cu numere de o cifră. Sub două minute, cu verificare, este ținta pentru lucrările din capitol și pentru subiectele de BAC M1, unde determinantul este de obicei doar primul pas al problemei.

Pentru părinți și profesori

Lecția livrează cea mai folosită tehnică de calcul din tot capitolul. Ea nu conține teorie nouă în afara definiției: cele două reguli sunt mnemotehnici pentru aceeași listă de șase produse, iar elevul trebuie să înțeleagă exact acest lucru, altfel le va reține ca pe două „metode" concurente și le va amesteca sub presiune.

Punctul care merită cea mai mare atenție este avertismentul despre ordinul $4$. La corectările de simulare, aplicarea lui Sarrus pe un determinant de ordin $4$ este una dintre cele mai frecvente pierderi totale de punctaj, iar elevii care o fac sunt de obicei convinși că metoda „se prelungește natural". Argumentul care funcționează cel mai bine este cel de numărare: $4!=24$ de produse necesare, $8$ produse obținute.

De verificat în caiet: (1) suma produselor pozitive și cea a produselor negative sunt scrise separat; (2) semnele au fost verificate la produsele cu doi sau trei factori negativi; (3) cel puțin un determinant din trei este verificat prin cealaltă regulă; (4) la ecuațiile cu parametru, soluțiile sunt controlate prin înlocuire. Întrebări de control: „Câte produse are un determinant de ordin $3$?"; „De ce trei cu plus și trei cu minus?"; „Se poate folosi Sarrus la ordinul $4$?"; „Cât este determinantul unei matrice triunghiulare?".

Întrebări frecvente

Cum se calculează un determinant de ordin 3? Ca sumă de șase produse de câte trei factori: trei se adună (diagonala principală și cele două triunghiuri paralele cu ea) și trei se scad (diagonala secundară și triunghiurile paralele cu ea). Aceleași șase produse se obțin și cu regula lui Sarrus.

Care este regula lui Sarrus? Copiezi sub tabloul $3\times 3$ primele două linii, apoi aduni produsele de pe cele trei diagonale care coboară spre dreapta și scazi produsele de pe cele trei diagonale care coboară spre stânga.

Care e diferența dintre regula lui Sarrus și regula triunghiului? Doar felul în care găsești produsele pe desen. Rezultatul este identic, pentru că ambele produc exact aceleași șase produse ale definiției. De aceea una se folosește ca verificare pentru cealaltă.

Se poate aplica regula lui Sarrus la un determinant de ordin 4? Nu, în niciun fel. La ordinul $4$ definiția cere $24$ de produse, iar orice desen cu diagonale dă doar $8$. La ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau o coloană și transformările elementare.

Cât este determinantul unei matrice triunghiulare de ordin 3? Este produsul elementelor de pe diagonala principală, pentru că toate celelalte cinci produse conțin cel puțin un factor nul.

Ce înseamnă că un determinant de ordin 3 este nul? Că suma produselor pozitive este egală cu suma celor negative. Situațiile care garantează acest lucru — o linie nulă, două linii proporționale, două linii identice — se recunosc din privire și scutesc calculul.

Cum rezolv un determinant de ordin 3 cu parametru? Îl calculezi ca de obicei, tratând parametrul ca pe un număr, obții un polinom în acel parametru, îl egalezi cu valoarea cerută și rezolvi ecuația. La final verifici soluțiile înlocuindu-le în tablou.

Cum apar determinanții de ordin 3 la Bacalaureat M1? Aproape în fiecare variantă: fie ca un calcul direct, fie ca ecuație cu parametru („determinați $m$ pentru care determinantul este nul"), fie ca prim pas într-o problemă despre inversabilitate sau despre un sistem de trei ecuații.