Determinantul de ordin 3: Sarrus și triunghiul: pe scurt

Determinantul de ordin $3$ este o sumă de șase produse de câte trei factori, trei cu plus și trei cu minus; fiecare produs ia câte un element din fiecare linie și câte unul din fiecare coloană. Numărul $6$ nu e ales la întâmplare: el este $3!=\mathrm{card}{S}_3$, iar repartiția semnelor vine din faptul că $S_3$ are exact trei permutări pare și trei impare.

Regula lui Sarrus așază aceste produse pe desen: scrii tabloul, copiezi sub el primele două linii, aduni cele trei produse de pe diagonalele care coboară spre dreapta și scazi cele trei de pe diagonalele care coboară spre stânga. Există și varianta cu primele două coloane copiate la dreapta.

Regula triunghiului lucrează pe tabloul original: se adună produsul de pe diagonala principală și cele două „triunghiuri" paralele cu ea, se scad produsul de pe diagonala secundară și cele două triunghiuri paralele cu ea.

Cele două reguli produc exact aceleași șase produse — nu sunt metode diferite, ci două desene pentru aceeași definiție. De aceea una o verifică pe cealaltă, iar dubla verificare este cea mai ieftină asigurare împotriva greșelilor de semn.

Avertismentul care valorează puncte: nici Sarrus, nici regula triunghiului nu se aplică la ordinul $4$. Acolo definiția cere $4!=24$ de produse, iar orice schemă cu diagonale produce doar $8$. La ordinul $4$ se folosesc dezvoltarea după o linie sau transformările elementare.

Scurtături de recunoscut din privire: multe zerouri, matrice triunghiulară (determinantul e produsul diagonalei principale), linii proporționale sau o linie nulă (determinantul e $0$).

Exerciții din această mini-lecție

1. Cât este $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\\ 5& 2& -2\end{array}\right|$?

   • a) $-85$
   • b) $43$
   • c) $85$
   • d) $-43$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-85$

   Produsele care se adună: $2\cdot 4\cdot (-2)=-16$, $(-1)\cdot 1\cdot 5=-5$, $3\cdot 0\cdot 2=0$, cu suma $-21$. Produsele care se scad: $3\cdot 4\cdot 5=60$, $2\cdot 1\cdot 2=4$, $(-1)\cdot 0\cdot (-2)=0$, cu suma $64$. Deci determinantul este $-21-64=-85$. Varianta b) apare când cele două sume se adună în loc să se scadă.

2. Care dintre afirmațiile despre regula lui Sarrus este adevărată?

   • a) se aplică la orice ordin, copiind sub tablou primele $n-1$ linii
   • b) la ordinul $4$ produce toate cele $24$ de produse cerute de definiție
   • c) se aplică exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ un desen cu diagonale ar da doar $8$ produse din cele $24$ necesare
   • d) dă alte șase produse decât regula triunghiului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) se aplică exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ un desen cu diagonale ar da doar $8$ produse din cele $24$ necesare

   Argumentul este de numărare: determinantul de ordin $4$ are $4!=24$ de termeni, iar orice schemă cu diagonale produce doar $8$ — patru într-un sens și patru în celălalt. Lipsesc șaisprezece produse, deci rezultatul nu are cum să fie corect. Varianta d) este falsă: cele două reguli dau exact aceeași listă de șase produse, tocmai de aceea una o verifică pe cealaltă.

3. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}2& m& 1\\ m& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0$.

   • a) $m\in \{1,2\}$
   • b) $m\in \{0,2\}$
   • c) $m\in \{-2,0\}$
   • d) $m\in \{2,4\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $m\in \{0,2\}$

   Produsele care se adună: $2\cdot 2\cdot 1=4$, $m\cdot 1\cdot 1=m$, $1\cdot m\cdot 1=m$, cu suma $2m+4$. Produsele care se scad: $1\cdot 2\cdot 1=2$, $2\cdot 1\cdot 1=2$, $m\cdot m\cdot 1=m^2$, cu suma $m^2+4$. Deci determinantul este $2m-m^2=m(2-m)$, nul pentru $m=0$ și $m=2$. Pentru $m=2$ primele două linii devin identice — determinant nul, vizibil fără calcul.