Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Relații de recurență pentru integrale nedefinite

Relații de recurență pentru integrale nedefinite

Q: Ce este o relație de recurență pentru o integrală nedefinită?

Este o formulă care exprimă integrala Iₙ a unei funcții depinzând de un număr natural n cu ajutorul unei expresii elementare și al unei integrale de același tip, dar de indice mai mic. Ea nu dă direct rezultatul: trebuie completată cu termenul de plecare, I₀ sau I₁, calculat din tabelul primitivelor. Împreună, cele două permit calculul oricărui termen.

Q: Care este relația de recurență pentru integrala din logaritm la puterea n?

Relația este Lₙ = xlnⁿ x - nLₙ₋₁, valabilă pentru n ≥ 1 pe (0, +∞), cu L₀ = x. Se obține integrând prin părți cu f(x) = lnⁿ x și g'(x) = 1; factorul 1/x adus de derivare se simplifică cu x adus de integrarea lui 1, ceea ce închide recurența. Primii termeni sunt xln x - x și xln² x - 2xln x + 2x.

Q: De ce recurența pentru sinus la puterea n coboară din doi în doi?

Pentru că formula fundamentală, cos² x = 1-sin² x, scade puterea cu două unități odată. Consecința practică: există două lanțuri independente. Cel par pornește din J₀ = x și dă termenii J₂, J₄, J₆; cel impar pornește din J₁ = -cos x și dă J₃, J₅, J₇. Un J de indice impar nu se poate obține niciodată din J₀.

Q: Când e nevoie de recurență și când ajunge o singură integrare prin părți?

Te uiți la puterea care trebuie coborâtă. Dacă e 1, o singură integrare prin părți o face zero și calculul se încheie — cazul lui ∫ xln x dx. Dacă e n oarecare, ai nevoie de n coborâri, iar recurența e forma economică de a le scrie pe toate deodată. Cu cât n e mai mare, cu atât diferența e mai vizibilă.

Q: Unde se pune constanta la un lanț de recurențe?

O singură dată, la răspunsul final. În lanț, litera Iₙ desemnează o primitivă fixată — cea care iese din calcul, fără constantă adăugată —, tocmai ca să nu se acumuleze constante la fiecare treaptă. Rezultatul complet se scrie apoi în forma obișnuită, de pildă ∫ ln² x dx = xln² x - 2xln x + 2x + C.

Q: Cum se calculează integrala din unu supra x pătrat plus unu la puterea n?

Cu relația Kₙ₊₁ = x/(2n(x²+1)ⁿ) + (2n-1)/2nKₙ, pornind de la K₁ = arctg x. Se demonstrează integrând prin părți cu al doilea factor egal cu 1 și rupând apoi numărătorul prin x² = (x²+1)-1. Această integrală apare firesc la descompunerea funcțiilor raționale cu factori de gradul al doilea repetați.

Q: Se poate verifica o relație de recurență fără să o demonstrez?

Poți verifica termenii, nu relația. Calculezi doi sau trei termeni cu formula, apoi îi derivezi: dacă obții de fiecare dată integrandul de la care s-a pornit, ai un indiciu foarte puternic că formula e bună. Verificarea nu ține însă loc de demonstrație, iar la Bacalaureat M1 punctajul se dă pe demonstrație, cerința fiind formulată „arătați că".

Ai deja tot ce trebuie ca să calculezi $\int ln^{4} x d x$ : integrezi prin părți, apoi din nou, apoi din nou, apoi încă o dată. Sunt patru pagini de calcul în care o singură greșeală de semn strică tot. Iar dacă cineva îți cere $\int ln^{10} x d x$ , metoda directă devine de nefolosit. Lecția de clasa a 12-a despre relațiile de recurență pentru integrale nedefinite rezolvă exact această situație: în loc să calculezi fiecare integrală de la zero, o legi de cea de dinaintea ei printr-o formulă demonstrată o singură dată.

Ideea seamănă izbitor cu ce ai făcut în clasa a XI-a la ridicarea matricelor la putere prin inducție: acolo nu calculai $A^{n}$ înmulțind de $n$ ori, ci găseai o formulă care leagă $A^{n}$ de $A^{n - 1}$ și o demonstrai. Aici obiectul care depinde de $n$ nu mai e o matrice, ci o integrală, iar unealta care produce legătura nu mai e înmulțirea, ci integrarea prin părți. Programa cere explicit „stabilirea unor relații de recurență pentru calcularea unor integrale nedefinite ale unor funcții care depind de un parametru număr natural", iar la Bacalaureat M1 tipul acesta apare an de an, în Subiectul al III-lea.

Ce vei învăța

Vei ști ce este o relație de recurență pentru un șir de integrale și cum se citește ea corect.
Vei ști să demonstrezi o relație de recurență prin integrare prin părți, alegând bine cei doi factori.
Vei ști să calculezi primul termen și să cobori apoi din treaptă în treaptă până la termenul cerut.
Vei ști recurențele clasice: pentru $ln^{n} x$ , pentru $sin^{n} x$ , pentru $\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ și pentru $tg^{n} x$ .
Vei ști să recunoști când recurența coboară din doi în doi și de la care termen trebuie pornit.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o relație de recurență pentru o integrală?

O relație de recurență pentru integrale nedefinite este o formulă care exprimă integrala $I_{n}$ a unei funcții ce depinde de un număr natural $n$ cu ajutorul unei expresii elementare și al unei integrale de același tip, dar cu indice mai mic — de obicei $I_{n - 1}$ sau $I_{n - 2}$ .

Un exemplu, ca să fie limpede ce urmărim. Pentru $L_{n} = \int ln^{n} x d x$ , pe $(0, + \infty)$ , vom demonstra că

$L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}, n \geq 1.$

Formula nu calculează nimic singură: ea spune doar cum se coboară o treaptă. Ca să obții un rezultat concret ai nevoie și de primul termen, aici $L_{0} = \int 1 d x = x$ , de la care pornești în sus.

Ai mai văzut o astfel de formulă: la integrarea prin părți cu aplicare repetată s-a demonstrat relația pentru $\int x^{n} e^{x} d x$ și s-au calculat cu ea primii cinci termeni. Lecția de față generalizează procedeul și îl aplică celorlalte familii care apar în subiecte.

Convenția de scriere, fixată pentru toată lecția. Simbolul $\int f (x) d x$ desemnează mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe intervalul de lucru, deci o egalitate între integrale nedefinite este o egalitate între mulțimi, cum s-a arătat la lecția despre integrarea prin părți. Ca să putem calcula comod, în relațiile de recurență litera $I_{n}$ va desemna o singură primitivă fixată — cea obținută din calcul, fără constantă adăugată —, exact ca în redactarea „fie $I$ o primitivă" folosită la tipul circular; constanta $C$ se scrie la răspunsul final, o singură dată. Fără această convenție ar trebui să cărăm după noi câte o constantă la fiecare treaptă, ceea ce ar îngreuna scrierea fără să adauge nimic.

2. Cum obții o relație de recurență?

Rețeta are trei mișcări și e aceeași la toate tipurile.

Prima: rupi integrandul în doi factori, astfel încât factorul care se derivează să fie cel care coboară puterea. La $ln^{n} x$ se derivează logaritmul (puterea scade cu o unitate) și se integrează $1$ — alegerea o dă „ordinea de prioritate la derivare" fixată o dată cu regula descreșterii: logaritmii și funcțiile trigonometrice inverse înaintea puterilor, puterile înaintea exponențialelor și a funcțiilor trigonometrice.

A doua: aplici formula $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$ și te uiți la integrala rămasă. Dacă ea este de același tip cu cea inițială, dar cu indice mai mic, ai terminat. Dacă nu este, mai ai nevoie de o rescriere algebrică — și aici intervine partea care cere atenție.

A treia: dacă integrala rămasă conține atât $I_{n - 2}$ cât și $I_{n}$ , tratezi relația ca pe o ecuație cu necunoscuta $I_{n}$ și o rezolvi. Este exact mecanismul de la integralele care se repetă, doar că acum apare într-un context cu parametru.

⚠️ O relație de recurență nu se ghicește și nu se memorează: se demonstrează. La examen, cerința „arătați că $I_{n} = \dots$ " se punctează pe demonstrație, nu pe formulă.

3. Primul tip: cum se calculează $L_{n} = \int ln^{n} x d x$ ?

Pe $(0, + \infty)$ , cu $f (x) = ln^{n} x$ și $g^{'} (x) = 1$ , deci $f^{'} (x) = \frac{n ln ^{n - 1} x}{x}$ și $g (x) = x$ :

$L_{n} = x ln^{n} x - \int x \cdot \frac{n ln ^{n - 1} x}{x} d x = x ln^{n} x - n L_{n - 1}, n \geq 1.$

Simplificarea lui $x$ este cheia: factorul $\frac{1}{x}$ adus de derivarea logaritmului se anulează cu $x$ adus de integrarea lui $1$ . Fără ea, integrala rămasă nu ar mai fi de același tip și recurența nu s-ar închide.

Cu $L_{0} = \int 1 d x = x$ coborâm, pe rând:

$L_{1} = x ln x - x, L_{2} = x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x,$

$L_{3} = x ln^{3} x - 3 x ln^{2} x + 6 x ln x - 6 x, L_{4} = x ln^{4} x - 4 x ln^{3} x + 12 x ln^{2} x - 24 x ln x + 24 x .$

Controlul se face prin derivare, la fiecare treaptă. Pentru $L_{2}$ : $(x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x)^{'} = ln^{2} x + 2 ln x - 2 ln x - 2 + 2 = ln^{2} x$ . ✓

Recunoști în $L_{1}$ primitiva logaritmului. Aici ea nu mai e un caz izolat, ci prima treaptă a unei scări întregi, iar coeficienții $1, 2, 6, 24$ sunt factorialele — un semn că structura e într-adevăr recursivă.

4. Al doilea tip: cum se calculează $J_{n} = \int sin^{n} x d x$ ?

Aici apare mecanismul cu ecuație. Scriem $sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ , derivăm $sin^{n - 1} x$ și integrăm $sin x$ (a cărui primitivă este $- cos x$ ):

$J_{n} = - sin^{n - 1} x cos x + (n - 1) \int sin^{n - 2} x cos^{2} x d x .$

Integrala rămasă nu e de tipul căutat, pentru că are $cos^{2} x$ în plus. O rescriem cu formula fundamentală, $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ :

$\int sin^{n - 2} x cos^{2} x d x = \int sin^{n - 2} x d x - \int sin^{n} x d x = J_{n - 2} - J_{n} .$

Înlocuind, $J_{n} = - sin^{n - 1} x cos x + (n - 1) J_{n - 2} - (n - 1) J_{n}$ , iar de aici $J_{n}$ se scoate ca dintr-o ecuație:

$n J_{n} = - sin^{n - 1} x cos x + (n - 1) J_{n - 2}, n \geq 2.$

Primii doi termeni se citesc direct din tabel: $J_{0} = \int 1 d x = x$ și $J_{1} = \int sin x d x = - cos x$ . Coborâm:

$J_{2} = \frac{x}{2} - \frac{sin x cos x}{2}, J_{3} = - \frac{sin ^{2} x cos x}{3} - \frac{2 cos x}{3},$

$J_{4} = - \frac{sin ^{3} x cos x}{4} - \frac{3 sin x cos x}{8} + \frac{3 x}{8} .$

Controlul încrucișat merită făcut, pentru că e cel mai bun test al recurenței. La primitivele funcțiilor trigonometrice am obținut, prin liniarizare, $\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C$ . Cum $sin 2 x = 2 sin x cos x$ , cele două expresii coincid. La fel, $J_{3}$ de mai sus se rescrie, cu $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ , sub forma $- cos x + \frac{cos ^{3} x}{3}$ — exact rezultatul obținut acolo prin substituție. Două drumuri diferite, același răspuns.

5. Al treilea tip: cum se calculează $K_{n} = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ ?

Aceasta este integrala rămasă deschisă la primitivele funcțiilor raționale cu rădăcini multiple și factori de gradul al doilea: descompunerea în fracții simple produce, când numitorul are un factor de gradul al doilea ridicat la o putere, exact acest tip de termen.

Integrăm prin părți luând $f (x) = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ și $g^{'} (x) = 1$ , deci $g (x) = x$ și $f^{'} (x) = \frac{- 2 n x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n + 1}}$ :

$K_{n} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}} + 2 n \int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{n + 1}} d x .$

Aplicăm și aici trucul de rupere a numărătorului, $x^{2} = (x^{2} + 1) - 1$ :

$\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{n + 1}} d x = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}} - \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n + 1}} = K_{n} - K_{n + 1} .$

Rezultă $K_{n} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}} + 2 n (K_{n} - K_{n + 1})$ , adică $2 n K_{n + 1} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}} + (2 n - 1) K_{n}$ , deci

$K_{n + 1} = \frac{x}{2 n ( x ^{2} + 1 ) ^{n}} + \frac{2 n - 1}{2 n} K_{n}, n \geq 1.$

Primul termen este $K_{1} = \int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = arctg x$ , rândul $12$ al tabelului cu $a = 1$ . Urcăm:

$K_{2} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} arctg x, K_{3} = \frac{x}{4 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{3 x}{8 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{3}{8} arctg x .$

Observă că arctangenta nu dispare niciodată: la fiecare treaptă coeficientul ei se înmulțește cu $\frac{2 n - 1}{2 n}$ , dar rămâne nenul. Este motivul pentru care aceste primitive nu sunt funcții raționale, oricât de rațional ar fi integrandul.

6. Rudele unei recurențe cunoscute

Odată demonstrată o recurență, rudele ei se obțin cu aceleași două mișcări și cu o singură modificare de semn sau de coeficient. Merită exersat, pentru că la examen apare rar exact familia din manual.

Exponențiala cu semn schimbat. Pentru $A_{n} = \int x^{n} e^{- x} d x$ , pe $R$ , alegem $f (x) = x^{n}$ și $g^{'} (x) = e^{- x}$ , deci $g (x) = - e^{- x}$ :

$A_{n} = - x^{n} e^{- x} + n A_{n - 1}, n \geq 1, A_{0} = - e^{- x} .$

Semnul plus din fața lui $A_{n - 1}$ vine din minusul primitivei lui $e^{- x}$ ; e singura deosebire față de familia $x^{n} e^{x}$ , tratată la lecția despre aplicarea repetată a integrării prin părți. Primii termeni: $A_{1} = - x e^{- x} - e^{- x}$ , apoi $A_{2}$ , care a fost calculat direct acolo, și $A_{3} = - (x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6) e^{- x}$ — de data aceasta fără alternarea semnelor.

Cosinusul în loc de sinus. Pentru $C_{n} = \int cos^{n} x d x$ , drumul e identic cu cel din secțiunea 4: se rupe $cos^{n} x = cos^{n - 1} x \cdot cos x$ , se derivează primul factor și se integrează al doilea. Primul termen iese cu plus, pentru că minusul adus de derivarea lui $cos^{n - 1} x$ se întâlnește cu minusul din formula $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$ , iar cele două se anulează:

$n C_{n} = cos^{n - 1} x sin x + (n - 1) C_{n - 2}, n \geq 2,$

cu $C_{0} = x$ și $C_{1} = sin x$ . De aici $C_{2} = \frac{x}{2} + \frac{sin x cos x}{2}$ și $C_{4} = \frac{cos ^{3} x sin x}{4} + \frac{3 sin x cos x}{8} + \frac{3 x}{8}$ .

Compară cele două perechi: $J_{n}$ și $C_{n}$ au aceeași structură, cu semnele răsturnate; $A_{n}$ și familia cu $e^{x}$ la fel. Recurențele se învață pe tipare, nu pe formule.

7. O recurență care nu are nevoie de integrarea prin părți

Nu toate relațiile de recurență vin din integrarea prin părți. Pentru $T_{n} = \int tg^{n} x d x$ , pe un interval fără poli, e suficientă o rescriere algebrică: din $tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1$ rezultă

$tg^{n} x = tg^{n - 2} x (\frac{1}{cos ^{2} x} - 1) = \frac{tg ^{n - 2} x}{cos ^{2} x} - tg^{n - 2} x .$

Primul termen are chiar forma $u^{n - 2} u^{'}$ , cu $u = tg x$ , deci se integrează direct. Obținem

$T_{n} = \frac{tg ^{n - 1} x}{n - 1} - T_{n - 2}, n \geq 2,$

cu $T_{0} = x$ și $T_{1} = - ln ∣ cos x ∣$ . De aici $T_{2} = tg x - x$ și $T_{3} = \frac{tg ^{2} x}{2} + ln ∣ cos x ∣$ , pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

Morala: înainte de a scoate integrarea prin părți, verifică dacă nu cumva o identitate algebrică rupe singură puterea. Aici a rupt-o formula fundamentală, în varianta ei cu tangentă. Aceeași idee dă și recurența cotangentei, cu $ctg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x} - 1$ .

8. Cum se citește și cum se folosește o recurență?

Trei observații care valorează cât toată lecția.

Pasul recurenței spune de unde pornești. Când relația leagă $I_{n}$ de $I_{n - 1}$ , un singur termen de plecare, $I_{0}$ , e suficient. Când leagă $I_{n}$ de $I_{n - 2}$ , ai două lanțuri separate: cel par pornește din $I_{0}$ , cel impar din $I_{1}$ . De aceea, pentru $J_{5}$ trebuie să știi $J_{1}$ , nu $J_{0}$ — o greșeală clasică la examen.

Numărul de pași e liniar, nu exponențial. Pentru $L_{6} = \int ln^{6} x d x$ ai nevoie de șase aplicări ale formulei, fiecare de câte un rând, în loc de șase integrări prin părți scrise de la zero. Câștigul nu e doar de timp: e de siguranță, pentru că singurul loc unde poți greși e demonstrația, făcută o dată.

Constanta se scrie o singură dată. Conform convenției din secțiunea 1, $I_{n}$ desemnează o primitivă fixată; la răspunsul final adaugi $+ C$ . Așadar rezultatul complet al calculului din secțiunea 3 se scrie $\int ln^{2} x d x = x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x + C$ , nu cu constante intermediare.

Relațiile de recurență revin la clasa a XII-a și mai târziu, la integrala definită, unde ele produc șiruri de numere cu monotonie și limită — dar acela e un capitol separat, iar aici totul rămâne la nivel de funcții.

Cu lecția aceasta se încheie inventarul metodelor de calcul al primitivelor. Ce urmează în unitate nu mai e despre cum se calculează o primitivă, ci despre ce se poate citi din ea fără s-o calculezi: proprietățile primitivei deduse din funcție — monotonie, extreme, convexitate — se obțin direct din semnul și din monotonia lui $f$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recurența pentru $ln^{n} x$

Fie $L_{n} = \int ln^{n} x d x$ pe $(0, + \infty)$ . Demonstrează relația $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ pentru $n \geq 1$ și calculează $L_{3}$ .

Rezolvare. Integrăm prin părți cu $f (x) = ln^{n} x$ și $g^{'} (x) = 1$ ; ambele funcții sunt derivabile pe $(0, + \infty)$ , $f^{'} (x) = n ln^{n - 1} x \cdot \frac{1}{x}$ și putem lua $g (x) = x$ . Atunci

$L_{n} = x ln^{n} x - \int x \cdot \frac{n ln ^{n - 1} x}{x} d x = x ln^{n} x - n L_{n - 1} .$

Pentru $L_{3}$ pornim de la $L_{0} = x$ : $L_{1} = x ln x - x$ ; $L_{2} = x ln^{2} x - 2 (x ln x - x) = x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x$ ; în sfârșit

$L_{3} = x ln^{3} x - 3 L_{2} = x ln^{3} x - 3 x ln^{2} x + 6 x ln x - 6 x,$

deci $\int ln^{3} x d x = x ln^{3} x - 3 x ln^{2} x + 6 x ln x - 6 x + C$ .

Exemplul 2 — Recurența pentru $sin^{n} x$

Fie $J_{n} = \int sin^{n} x d x$ pe $R$ . Demonstrează că $n J_{n} = - sin^{n - 1} x cos x + (n - 1) J_{n - 2}$ pentru $n \geq 2$ și calculează $J_{4}$ .

Rezolvare. Demonstrația e cea din secțiunea 4: se rupe $sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ , se integrează prin părți, se înlocuiește $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ și se rezolvă ecuația în $J_{n}$ .

Pentru $J_{4}$ avem nevoie de $J_{2}$ , deci de $J_{0} = x$ . Din relație, cu $n = 2$ : $2 J_{2} = - sin x cos x + J_{0}$ , adică $J_{2} = \frac{x}{2} - \frac{sin x cos x}{2}$ . Apoi, cu $n = 4$ :

$4 J_{4} = - sin^{3} x cos x + 3 J_{2} ⟹ J_{4} = - \frac{sin ^{3} x cos x}{4} - \frac{3 sin x cos x}{8} + \frac{3 x}{8} .$

Deci $\int sin^{4} x d x = - \frac{sin ^{3} x cos x}{4} - \frac{3 sin x cos x}{8} + \frac{3 x}{8} + C$ , formă echivalentă cu cea obținută prin dublă liniarizare.

Exemplul 3 — Recurența pentru $\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$

Calculează $\int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ pe $R$ , folosind relația de recurență.

Rezolvare. Aplicăm formula din secțiunea 5 cu $n = 1$ :

$K_{2} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} K_{1} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} arctg x .$

Control prin derivare: $\frac{( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} = \frac{1 - x ^{2}}{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{x ^{2} + 1}{2 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ . ✓

Așadar $\int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} arctg x + C$ .

Exemplul 4 — O rudă: exponențiala cu exponent negativ

Fie $A_{n} = \int x^{n} e^{- x} d x$ pe $R$ . Demonstrează că $A_{n} = - x^{n} e^{- x} + n A_{n - 1}$ și calculează $A_{3}$ .

Rezolvare. Cu $f (x) = x^{n}$ și $g^{'} (x) = e^{- x}$ avem $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$ și $g (x) = - e^{- x}$ , deci

$A_{n} = - x^{n} e^{- x} + \int n x^{n - 1} e^{- x} d x = - x^{n} e^{- x} + n A_{n - 1} .$

Cu $A_{0} = - e^{- x}$ obținem $A_{1} = - x e^{- x} - e^{- x}$ , apoi $A_{2} = - (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x}$ — același rezultat cu cel obținut direct, prin două integrări prin părți, la lecția despre aplicarea repetată — și, mai departe,

$A_{3} = - x^{3} e^{- x} + 3 A_{2} = - (x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6) e^{- x}, deci \int x^{3} e^{- x} d x = - (x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6) e^{- x} + C .$

Verificare: derivata este $- (3 x^{2} + 6 x + 6) e^{- x} + (x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6) e^{- x} = x^{3} e^{- x}$ . ✓ Observă că e a treia treaptă obținută cu o singură aplicare a formulei, în timp ce calculul direct ar fi cerut trei integrări prin părți.

Exemplul 5 — O recurență obținută fără părți

Fie $T_{n} = \int tg^{n} x d x$ pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . Arată că $T_{n} = \frac{tg ^{n - 1} x}{n - 1} - T_{n - 2}$ pentru $n \geq 2$ și calculează $T_{4}$ .

Rezolvare. Scriem $tg^{n} x = tg^{n - 2} x \cdot tg^{2} x$ și înlocuim $tg^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x} - 1$ . Integrala se rupe în două: prima parte este $\int tg^{n - 2} x \cdot \frac{1}{cos ^{2} x} d x$ , în care $\frac{1}{cos ^{2} x}$ este derivata lui $tg x$ , deci valorează $\frac{tg ^{n - 1} x}{n - 1}$ ; a doua este $- T_{n - 2}$ .

Cu $T_{0} = x$ : $T_{2} = tg x - x$ , apoi $T_{4} = \frac{tg ^{3} x}{3} - T_{2} = \frac{tg ^{3} x}{3} - tg x + x$ , deci $\int tg^{4} x d x = \frac{tg ^{3} x}{3} - tg x + x + C$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pentru $n \in N$ se consideră $D_{n} = \int x^{n} cos x d x$ , $x \in R$ . (Problemă de tipul Subiectului al III-lea.)

a) Calculează $D_{0}$ și $D_{1}$ .

b) Arată că $D_{n} = x^{n} sin x + n x^{n - 1} cos x - n (n - 1) D_{n - 2}$ , pentru orice $n \geq 2$ .

c) Arată, prin inducție, că pentru orice $n \in N$ există polinoamele $P_{n}$ și $Q_{n}$ astfel încât $D_{n} = P_{n} (x) sin x + Q_{n} (x) cos x$ .

Rezolvare.

a) $D_{0} = \int cos x d x = sin x$ . Pentru $D_{1}$ regăsim primitiva lui $x cos x$ , calculată la lecția despre integrarea prin părți: integrăm prin părți cu $f (x) = x$ și $g^{'} (x) = cos x$ , deci $g (x) = sin x$ :

$D_{1} = x sin x - \int sin x d x = x sin x + cos x .$

b) Prima aplicare, cu $f (x) = x^{n}$ și $g^{'} (x) = cos x$ , dă $D_{n} = x^{n} sin x - n \int x^{n - 1} sin x d x$ . A doua, aplicată integralei rămase cu $f (x) = x^{n - 1}$ și $g^{'} (x) = sin x$ , deci $g (x) = - cos x$ , dă

$\int x^{n - 1} sin x d x = - x^{n - 1} cos x + (n - 1) \int x^{n - 2} cos x d x = - x^{n - 1} cos x + (n - 1) D_{n - 2} .$

Înlocuind, $D_{n} = x^{n} sin x + n x^{n - 1} cos x - n (n - 1) D_{n - 2}$ .

c) Pașii de verificare: pentru $n = 0$ , $P_{0} = 1$ și $Q_{0} = 0$ ; pentru $n = 1$ , $P_{1} (x) = x$ și $Q_{1} = 1$ .

Pasul de inducție: fie $n \geq 2$ și presupunem afirmația adevărată pentru $n - 2$ , adică $D_{n - 2} = P_{n - 2} (x) sin x + Q_{n - 2} (x) cos x$ . Din b),

$D_{n} = (x^{n} - n (n - 1) P_{n - 2} (x)) sin x + (n x^{n - 1} - n (n - 1) Q_{n - 2} (x)) cos x,$

deci afirmația e adevărată și pentru $n$ , cu $P_{n} (x) = x^{n} - n (n - 1) P_{n - 2} (x)$ și $Q_{n} (x) = n x^{n - 1} - n (n - 1) Q_{n - 2} (x)$ . Cum pornirea s-a făcut din două locuri, $n = 0$ și $n = 1$ , iar pasul coboară cu două unități, afirmația e adevărată pentru orice $n \in N$ . Concret, $D_{3} = x^{3} sin x + 3 x^{2} cos x - 6 x sin x - 6 cos x$ . $■$

Să exersăm

1. Arată, prin derivare, că $L_{1} = x ln x - x$ este o primitivă a funcției $ln$ pe $(0, + \infty)$ .

2. Folosind $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ , calculează $L_{2} = \int ln^{2} x d x$ .

3. Calculează $L_{3} = \int ln^{3} x d x$ .

4. Calculează $L_{4} = \int ln^{4} x d x$ .

5. Demonstrează relația $A_{n} = - x^{n} e^{- x} + n A_{n - 1}$ , unde $A_{n} = \int x^{n} e^{- x} d x$ , $x \in R$ .

6. Folosind relația de la exercițiul precedent, calculează $A_{4} = \int x^{4} e^{- x} d x$ .

7. Folosind $n J_{n} = - sin^{n - 1} x cos x + (n - 1) J_{n - 2}$ , calculează $J_{3} = \int sin^{3} x d x$ .

8. Calculează $J_{5} = \int sin^{5} x d x$ și precizează de la ce termen ai pornit.

9. Demonstrează relația de recurență $n C_{n} = cos^{n - 1} x sin x + (n - 1) C_{n - 2}$ , unde $C_{n} = \int cos^{n} x d x$ .

10. Folosind relația de la exercițiul precedent, calculează $C_{4} = \int cos^{4} x d x$ .

11. Calculează $K_{2} = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ și verifică rezultatul prin derivare.

12. Calculează $K_{3} = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}$ .

13. Calculează $T_{3} = \int tg^{3} x d x$ pe $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

14. Demonstrează relația $U_{n} = - \frac{ctg ^{n - 1} x}{n - 1} - U_{n - 2}$ , unde $U_{n} = \int ctg^{n} x d x$ pe $(0, π)$ , și calculează $U_{4}$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pentru $n \geq 1$ se consideră $M_{n} = \int x^{n} ln x d x$ , $x \in (0, + \infty)$ . Arată că $M_{n} = \frac{x ^{n + 1} ln x}{n + 1} - \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{2}}$ și explică de ce aici nu e nevoie de nicio recurență.

16. (Problemă aplicată.) Un program trebuie să afișeze $\int ln^{n} x d x$ pentru $n$ dat. Câte aplicări ale relației de recurență îi trebuie pentru $n = 6$ ? Explică de ce metoda e preferabilă celor șase integrări prin părți scrise una câte una.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din relația $n J_{n} = - sin^{n - 1} x cos x + (n - 1) J_{n - 2}$ se poate calcula $J_{5}$ cunoscând numai $J_{0}$ ."

18. (Provocare.) Calculează $K_{4} = \int \frac{d x}{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}$ .

Răspunsuri și explicații

1. $(x ln x - x)^{'} = ln x + 1 - 1 = ln x$ , pentru orice $x > 0$ . ✓

2. $L_{2} = x ln^{2} x - 2 L_{1} = x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x + C$ .

3. $L_{3} = x ln^{3} x - 3 L_{2} = x ln^{3} x - 3 x ln^{2} x + 6 x ln x - 6 x + C$ .

4. $L_{4} = x ln^{4} x - 4 L_{3} = x ln^{4} x - 4 x ln^{3} x + 12 x ln^{2} x - 24 x ln x + 24 x + C$ . Coeficienții liberi sunt $1, 2, 6, 24$ , adică factorialele.

5. Cu $f (x) = x^{n}$ , $g^{'} (x) = e^{- x}$ , deci $g (x) = - e^{- x}$ : $A_{n} = - x^{n} e^{- x} + n \int x^{n - 1} e^{- x} d x = - x^{n} e^{- x} + n A_{n - 1}$ . Semnul plus vine din faptul că primitiva lui $e^{- x}$ este $- e^{- x}$ .

6. Din Exemplul 4, $A_{3} = - (x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6) e^{- x}$ , deci $A_{4} = - x^{4} e^{- x} + 4 A_{3} = - (x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 24 x + 24) e^{- x} + C$ . Coeficienții sunt $\frac{4 !}{k !}$ , toți cu același semn.

7. Cu $n = 3$ : $3 J_{3} = - sin^{2} x cos x + 2 J_{1} = - sin^{2} x cos x - 2 cos x$ , deci $J_{3} = - \frac{sin ^{2} x cos x}{3} - \frac{2 cos x}{3} + C$ .

8. Cu $n = 5$ : $5 J_{5} = - sin^{4} x cos x + 4 J_{3}$ , deci $J_{5} = - \frac{sin ^{4} x cos x}{5} - \frac{4 sin ^{2} x cos x}{15} - \frac{8 cos x}{15} + C$ . S-a pornit de la $J_{1} = - cos x$ , pentru că indicele $5$ e impar și lanțul impar începe acolo.

9. Se scrie $cos^{n} x = cos^{n - 1} x \cdot cos x$ , se derivează $cos^{n - 1} x$ și se integrează $cos x$ ; apoi se înlocuiește $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ și se scoate $C_{n}$ din ecuație. Semnul primului termen e plus, pentru că minusul din $(cos^{n - 1} x)^{'}$ se anulează cu minusul din formula integrării prin părți.

10. $C_{0} = x$ , deci $2 C_{2} = cos x sin x + x$ și $4 C_{4} = cos^{3} x sin x + 3 C_{2}$ , de unde $C_{4} = \frac{cos ^{3} x sin x}{4} + \frac{3 sin x cos x}{8} + \frac{3 x}{8} + C$ .

11. $K_{2} = \frac{x}{2 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{1}{2} arctg x + C$ ; verificarea prin derivare e făcută la Exemplul 3.

12. Cu $n = 2$ în relație: $K_{3} = \frac{x}{4 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{3}{4} K_{2} = \frac{x}{4 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{3 x}{8 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{3}{8} arctg x + C$ .

13. $T_{3} = \frac{tg ^{2} x}{2} - T_{1} = \frac{tg ^{2} x}{2} + ln ∣ cos x ∣ + C$ .

14. Din $ctg^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x} - 1$ se obține $ctg^{n} x = ctg^{n - 2} x \cdot \frac{1}{sin ^{2} x} - ctg^{n - 2} x$ ; cum $- \frac{1}{sin ^{2} x}$ e derivata lui $ctg x$ , primul termen dă $- \frac{ctg ^{n - 1} x}{n - 1}$ . Cu $U_{0} = x$ rezultă $U_{2} = - ctg x - x$ și $U_{4} = - \frac{ctg ^{3} x}{3} + ctg x + x + C$ .

15. Cu $f (x) = ln x$ și $g^{'} (x) = x^{n}$ , deci $g (x) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ , obținem $M_{n} = \frac{x ^{n + 1} ln x}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} \int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1} ln x}{n + 1} - \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{2}}$ . Nu e nevoie de recurență pentru că o singură integrare prin părți elimină complet logaritmul: puterea lui $ln$ era $1$ , iar derivarea a coborât-o la $0$ . Recurența e necesară doar când derivarea scade puterea cu o unitate dintr-un teanc mai mare.

16. Șase aplicări: de la $L_{0}$ la $L_{6}$ , câte una pe treaptă. Metoda e preferabilă pentru că demonstrația se face o singură dată, iar apoi fiecare treaptă e o substituție mecanică; scrise separat, cele șase integrări prin părți ar însemna șase alegeri de factori și de tot atâtea ori riscul unei greșeli de semn.

17. Fals. Relația coboară din doi în doi, deci $J_{5}$ depinde de $J_{3}$ , care depinde de $J_{1}$ . Lanțul impar nu ajunge niciodată la $J_{0}$ ; termenul de plecare necesar este $J_{1} = - cos x$ .

18. Cu $n = 3$ în relație: $K_{4} = \frac{x}{6 ( x ^{2} + 1 ) ^{3}} + \frac{5}{6} K_{3}$ , adică $\frac{x}{6 ( x ^{2} + 1 ) ^{3}} + \frac{5 x}{24 ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{5 x}{16 ( x ^{2} + 1 )} + \frac{5}{16} arctg x + C$ .

De reținut

O relație de recurență leagă integrala de rang $n$ de una de rang mai mic și se demonstrează prin integrare prin părți sau printr-o rescriere algebrică, nu se memorează.
Formula singură nu ajunge: ai nevoie și de termenul de plecare, $I_{0}$ sau $I_{1}$ , calculat direct din tabelul primitivelor.
Când recurența coboară din doi în doi, există două lanțuri independente — cel par pornește din $I_{0}$ , cel impar din $I_{1}$ .
Când integrala rămasă după integrarea prin părți conține chiar $I_{n}$ , relația se tratează ca o ecuație cu necunoscuta $I_{n}$ , exact ca la integralele care se repetă.
În lanțul de calcule $I_{n}$ desemnează o primitivă fixată, iar constanta $C$ se scrie o singură dată, la răspunsul final.

Greșeli frecvente

Greșeala: se scrie $\int ln^{n} x d x = \frac{ln ^{n + 1} x}{n + 1} + C$ , prin analogie cu regula puterii. Corect: regula puterii se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă; drumul e relația $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ .
Greșeala: la $J_{5}$ se pornește de la $J_{0} = x$ . Corect: recurența coboară din doi în doi, deci lanțul impar pornește de la $J_{1} = - cos x$ ; $J_{0}$ nu apare niciodată în calculul unui $J$ de indice impar.
Greșeala: la $\int sin^{n} x d x$ se aplică integrarea prin părți și se oprește calculul la $\int sin^{n - 2} x cos^{2} x d x$ , declarând că e $J_{n - 2}$ . Corect: factorul $cos^{2} x$ trebuie înlocuit cu $1 - sin^{2} x$ , ceea ce aduce $J_{n}$ în membrul drept și transformă relația într-o ecuație.
Greșeala: se adaugă câte un $C$ la fiecare treaptă și se ajunge la un răspuns cu mai multe constante. Corect: $I_{n}$ desemnează o primitivă fixată pe tot lanțul, iar $C$ apare o singură dată, la final.
Greșeala: la $K_{n}$ se alege drept factor de derivat $x$ și de integrat $\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{n}}$ . Corect: al doilea factor e tocmai cel pe care nu-l știi integra; alegerea bună e $g^{'} (x) = 1$ , adică integrarea prin părți „cu factorul unu".

Aplică acasă

Scrie pe o singură foaie cele șase recurențe din lecție, fiecare cu termenul ei de plecare, și adaugă în dreptul fiecăreia o propoziție despre cum se demonstrează. Foaia aceasta este exact ce ai vrea să ai în minte la examen.
Alege una dintre recurențe și calculează cu ea trei termeni consecutivi, apoi verifică fiecare rezultat prin derivare. Notează la ce treaptă ai greșit prima dată — cel mai des e la a doua, unde apare primul semn schimbat.
Compară două drumuri pentru aceeași integrală: calculează $\int sin^{4} x d x$ o dată prin dublă liniarizare și o dată cu recurența, apoi arată algebric că cele două expresii coincid. E cel mai instructiv exercițiu din toată unitatea.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă conținutul din programa clasei a XII-a, mate-info, cerut explicit la competența XII.CS.6.5 — „stabilirea unor relații de recurență pentru calcularea unor integrale nedefinite ale unor funcții care depind de un parametru număr natural" —, împreună cu XII.CS.4.5 și XII.CS.5.5. Nu apare nicio metodă nouă: totul se sprijină pe integrarea prin părți, deja demonstrată, și pe identități algebrice cunoscute.

Este, în schimb, prima lecție în care apare un obiect indexat după $n$ în analiză, deci în care se pune problema unui termen de plecare și a unui pas. Legătura cu inducția din clasele anterioare merită făcută explicit: elevii care au înțeles puterile matricelor prin recurență recunosc imediat structura.

Cele șase familii tratate acoperă tot ce cere programa: logaritmul la puterea $n$ , sinusul și cosinusul la puterea $n$ , tangenta și cotangenta la puterea $n$ , exponențiala înmulțită cu $x^{n}$ și puterile lui $x^{2} + 1$ la numitor. Ultima e cea care închide capitolul funcțiilor raționale, unde descompunerea în fracții simple lăsase un caz nerezolvat.

Întrebări de control: Ce se derivează și ce se integrează la $\int ln^{n} x d x$ ? De ce, la $sin^{n} x$ , relația conține $J_{n - 2}$ și nu $J_{n - 1}$ ? De la ce termen pornești ca să afli $J_{7}$ ? De ce constanta se scrie o singură dată?

Semne că elevul a înțeles: reface demonstrația fără să se uite; nu confundă lanțul par cu cel impar; verifică rezultatul prin derivare; recunoaște, la un exercițiu nou, dacă e nevoie de recurență sau ajunge o singură integrare prin părți.

La BAC, tipul acesta este unul dintre cele mai previzibile: problema de analiză a Subiectului al III-lea cere, la punctul a), un termen concret, la b) demonstrația relației de recurență, iar la c) o consecință — o formulă generală, o proprietate demonstrată prin inducție sau un termen mai îndepărtat.

Întrebări frecvente

Ce este o relație de recurență pentru o integrală nedefinită?

Este o formulă care exprimă integrala $I_{n}$ a unei funcții depinzând de un număr natural $n$ cu ajutorul unei expresii elementare și al unei integrale de același tip, dar de indice mai mic. Ea nu dă direct rezultatul: trebuie completată cu termenul de plecare, $I_{0}$ sau $I_{1}$ , calculat din tabelul primitivelor. Împreună, cele două permit calculul oricărui termen.

Cum se demonstrează o relație de recurență?

Aproape întotdeauna prin integrare prin părți, alegând drept factor de derivat pe cel care coboară puterea. Uneori integrala rămasă este chiar de tipul căutat și demonstrația se încheie; alteori mai e nevoie de o rescriere algebrică, după care integrala inițială reapare în membrul drept și se scoate ca dintr-o ecuație. Există și recurențe obținute doar dintr-o identitate, fără integrare prin părți.

Care este relația de recurență pentru integrala din logaritm la puterea n?

Relația este $L_{n} = x ln^{n} x - n L_{n - 1}$ , valabilă pentru $n \geq 1$ pe $(0, + \infty)$ , cu $L_{0} = x$ . Se obține integrând prin părți cu $f (x) = ln^{n} x$ și $g^{'} (x) = 1$ ; factorul $\frac{1}{x}$ adus de derivare se simplifică cu $x$ adus de integrarea lui $1$ , ceea ce închide recurența. Primii termeni sunt $x ln x - x$ și $x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x$ .

De ce recurența pentru sinus la puterea n coboară din doi în doi?

Pentru că formula fundamentală, $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ , scade puterea cu două unități odată. Consecința practică: există două lanțuri independente. Cel par pornește din $J_{0} = x$ și dă termenii $J_{2}$ , $J_{4}$ , $J_{6}$ ; cel impar pornește din $J_{1} = - cos x$ și dă $J_{3}$ , $J_{5}$ , $J_{7}$ . Un $J$ de indice impar nu se poate obține niciodată din $J_{0}$ .

Când e nevoie de recurență și când ajunge o singură integrare prin părți?

Te uiți la puterea care trebuie coborâtă. Dacă e $1$ , o singură integrare prin părți o face zero și calculul se încheie — cazul lui $\int x ln x d x$ . Dacă e $n$ oarecare, ai nevoie de $n$ coborâri, iar recurența e forma economică de a le scrie pe toate deodată. Cu cât $n$ e mai mare, cu atât diferența e mai vizibilă.

Unde se pune constanta la un lanț de recurențe?

O singură dată, la răspunsul final. În lanț, litera $I_{n}$ desemnează o primitivă fixată — cea care iese din calcul, fără constantă adăugată —, tocmai ca să nu se acumuleze constante la fiecare treaptă. Rezultatul complet se scrie apoi în forma obișnuită, de pildă $\int ln^{2} x d x = x ln^{2} x - 2 x ln x + 2 x + C$ .

Cum se calculează integrala din unu supra x pătrat plus unu la puterea n?

Cu relația $K_{n + 1} = \frac{x}{2 n ( x ^{2} + 1 ) ^{n}} + \frac{2 n - 1}{2 n} K_{n}$ , pornind de la $K_{1} = arctg x$ . Se demonstrează integrând prin părți cu al doilea factor egal cu $1$ și rupând apoi numărătorul prin $x^{2} = (x^{2} + 1) - 1$ . Această integrală apare firesc la descompunerea funcțiilor raționale cu factori de gradul al doilea repetați.

Se poate verifica o relație de recurență fără să o demonstrez?

Poți verifica termenii, nu relația. Calculezi doi sau trei termeni cu formula, apoi îi derivezi: dacă obții de fiecare dată integrandul de la care s-a pornit, ai un indiciu foarte puternic că formula e bună. Verificarea nu ține însă loc de demonstrație, iar la Bacalaureat M1 punctajul se dă pe demonstrație, cerința fiind formulată „arătați că".