Elementele parabolei și reprezentarea ei grafică

O antenă parabolică se montează după două numere măsurate cu ruleta: adâncimea oglinzii și diametrul ei la gură. Din ele iese singurul element care contează cu adevărat — poziția focarului, adică locul în care se prinde receptorul. Lecția aceasta, a unsprezecea din unitatea de conice a clasei a 12-a, adună într-un singur tabel toate elementele parabolei. Elementele parabolei $y^2=2px$, cu $p>0$, sunt vârful $O$, axa de simetrie $Ox$, parametrul $p$, focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{p}{2}$, aflată la aceeași distanță de vârf ca focarul. Lecția arată apoi cum se trasează graficul în cinci pași și lămurește o întrebare veche: ce legătură are curba $y^2=2px$ cu parabola $y=a{x}^2+bx+c$.

Lecția precedentă, parabola: definiția geometrică și ecuația canonică, a dedus ecuația $y^2=2px$ din condiția $MF=d(M,d)$ și a citit din ea primele proprietăți: abscisele sunt nenegative, axa $Ox$ este axă de simetrie, vârful este originea, ramurile sunt grafice de funcții cu radical și curba nu are asimptote. Acum ducem lucrul până la desen și până la cele patru poziții în care poate sta o parabolă în reperul canonic.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești toate elementele parabolei din ecuația canonică: vârf, axă, parametru, focar, directoare.
• Vei ști să folosești raza focală $MF=x+\frac{p}{2}$ și coarda dusă prin focar, perpendicular pe axă, de lungime $2p$.
• Vei ști să trasezi graficul unei parabole în cinci pași și să verifici desenul cu trei controale rapide.
• Vei ști să recunoști cele patru orientări — $y^2=\pm 2px$ și $x^2=\pm 2py$ — și să scrii pentru fiecare focarul și directoarea.
• Vei ști de ce graficul funcției de gradul al doilea este tot o parabolă și unde îi stau focarul și directoarea.
• Vei ști să determini ecuația unei parabole din condiții și să rezolvi problema antenei parabolice.

Hai să descoperim împreună

1. Care sunt elementele parabolei?

Elementele parabolei sunt vârful, axa de simetrie, parametrul, focarul și directoarea — cinci mărimi care se citesc dintr-un singur număr, coeficientul lui $x$ din ecuația canonică. Spre deosebire de elipsă și de hiperbolă, unde aveam nevoie de două numere, $a$ și $b$, aici totul se exprimă prin parametrul $p$, adică prin distanța de la focar la directoare.

Le strângem într-un tabel, cu valorile pe firul roșu al lecției precedente, parabola $y^2=4x$, pentru care $2p=4$, deci $p=2$.

Observă ce nu apare în tabel: nu există centru de simetrie, nu există al doilea focar și nu există distanță focală. Toate trei lipsesc din același motiv: curba se află în întregime de aceeași parte a directoarei.

2. Două lungimi care se citesc direct: raza focală și coarda din dreptul focarului

Raza focală este distanța de la un punct al curbei la focar. Ea nu se calculează cu formula distanței, ci se citește din definiție: pentru orice punct $M(x,y)$ al parabolei, $$MF=d(M,d)=\left|x+\frac{p}{2}\right|=x+\frac{p}{2},$$ modulul dispărând pentru că $x\ge 0$ și $p>0$. Este o formulă de gradul întâi acolo unde ne-am fi așteptat la un radical, și de aceea scurtează aproape toate problemele în care apare distanța la focar.

Pe firul roșu, $MF=x+1$: punctul $(4,4)$ are $MF=5$, iar formula distanței confirmă, $\sqrt{(4-1{)}^2+16}=5$ ✓. Punctul $\left(\frac{1}{4},1\right)$ are $MF=\frac{5}{4}$, iar $\sqrt{{\left(\frac{1}{4}-1\right)}^2+1}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$ ✓.

A doua lungime este coarda dusă prin focar, perpendicular pe axă — analoaga celei de la elementele elipsei, unde măsura $\frac{2b^2}{a}$. Aici dreapta are ecuația $x=\frac{p}{2}$; înlocuind în ecuația canonică, $$y^2=2p\cdot \frac{p}{2}=p^2⟹y=\pm p,$$ deci capetele sunt $\left(\frac{p}{2},p\right)$ și $\left(\frac{p}{2},-p\right)$, iar lungimea este $2p$. Fiecare capăt se află la distanța $\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p$ de focar, ceea ce se verifică imediat și cu formula distanței.

Coarda aceasta este scheletul desenului: ea spune cât de largă este curba exact în dreptul focarului. Pentru $y^2=4x$ măsoară $4$, între $(1,2)$ și $(1,-2)$; pentru $y^2=36x$ măsoară $36$, între $(9,18)$ și $(9,-18)$.

3. Cum se desenează o parabolă pornind de la ecuație?

Trasarea are cinci mișcări, pe care le vom numi cei cinci pași ai trasării parabolei, prin analogie cu cei cinci pași ai trasării elipsei și cu cei cinci pași ai trasării hiperbolei. Sunt pașii desenului și nu au nicio legătură cu cei trei pași ai asimptotei oblice. Îi ilustrăm pe firul roșu $y^2=4x$.

• Pasul 1. Citește $2p$ = coeficientul variabilei de gradul întâi și calculează $p$. Stabilește orientarea: care variabilă este la pătrat și ce semn are cealaltă. Aici $2p=4$, deci $p=2$, iar curba se deschide spre dreapta.
• Pasul 2. Marchează vârful $O$ și focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, trasează axa de simetrie și desenează punctat directoarea $x=-\frac{p}{2}$. Aici $F(1,0)$ și $x=-1$.
• Pasul 3. Desenează coarda prin focar, perpendiculară pe axă: capetele $\left(\frac{p}{2},\pm p\right)$, lungimea $2p$. Aici, segmentul de la $(1,2)$ la $(1,-2)$. El fixează deschiderea curbei.
• Pasul 4. Adaugă două-trei puncte de control. Cel mai comod este să alegi ordonata întreagă $k$ și să calculezi $x=\frac{k^2}{2p}$: pentru $k=4$ obții $x=4$, pentru $k=6$ obții $x=9$. Marchezi $(4,\pm 4)$ și $(9,\pm 6)$.
• Pasul 5. Unește punctele printr-o curbă netedă, simetrică față de axă, care pleacă din vârf perpendicular pe axă și se depărtează apoi tot mai lin. Curba nu are colțuri, nu taie directoarea și nu se apropie de nicio dreaptă.

De ce pleacă perpendicular pe axă? Pentru că pe ramura $y=\sqrt{2px}$ raportul $$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2px}}{x}=\sqrt{\frac{2p}{x}}$$ crește nemărginit când $x$ se apropie de $0$: lângă vârf, creșterea pe verticală o întrece pe cea pe orizontală de oricâte ori vrei. Este exact situația opusă celei de la $+\infty$, unde același raport tinde la $0$ și de aceea curba nu are asimptotă oblică, așa cum s-a arătat cu procedura în trei pași a asimptotei oblice.

4. Trei controale rapide ale desenului

Înainte de a considera figura terminată, verifică, exact ca la elipsă și la hiperbolă:

• toată curba stă de aceeași parte a directoarei, iar vârful este la mijlocul distanței dintre focar și directoare — dacă vârful nu se află la $\frac{p}{2}$ de fiecare, desenul e greșit;
• lățimea curbei în dreptul focarului este $2p$: capetele coardei verticale prin focar trebuie să cadă pe desen la ordonatele $\pm p$;
• pentru un punct oarecare al desenului, distanța la focar și distanța la directoare, măsurate cu rigla, sunt egale — este chiar definiția, folosită ca verificare; pe hârtie, egalitatea se scrie $MF=x+\frac{p}{2}$.

5. Care sunt cele patru orientări ale parabolei?

Până acum am lucrat cu parabola care se deschide spre dreapta. Dar reperul canonic poate fi ales în patru feluri, iar cele patru ecuații se obțin una din alta prin simetrii, fără niciun calcul nou. Înlocuind $x$ cu $-x$ în $y^2=2px$ obținem simetrica față de axa $Oy$; schimbând între ele rolurile lui $x$ și $y$ obținem simetrica față de prima bisectoare, adică o curbă cu axa verticală.

În toate cele patru cazuri $p>0$, vârful este originea, iar distanța de la vârf la focar și la directoare este $\frac{p}{2}$.

Regula de citit tabelul, în două rânduri: variabila care apare la pătrat arată axa de simetrie — dacă $y$ este la pătrat, axa este $Ox$; semnul din fața celeilalte variabile arată sensul deschiderii. Focarul stă întotdeauna „înăuntru", de partea în care se deschide curba, iar directoarea de partea cealaltă, la aceeași distanță de vârf.

Razele focale se schimbă la fel de simplu, pentru că fiecare este distanța la directoarea respectivă: $MF=x+\frac{p}{2}$ pentru prima orientare, $MF=-x+\frac{p}{2}$ pentru a doua, $MF=y+\frac{p}{2}$ pentru a treia, $MF=-y+\frac{p}{2}$ pentru a patra. De fiecare dată se adună $\frac{p}{2}$ la distanța de la punct la axa perpendiculară pe axa parabolei.

O observație de reținut pentru orientările verticale: parabola $x^2=2py$ este graficul unei funcții, anume $y=\frac{x^2}{2p}$, definită pe tot $\mathbb{R}$. Este singurul caz în care o conică din acest capitol este grafic de funcție, nu reuniune de două grafice — o observație pe care o vom folosi în lecția următoare, despre recunoașterea conicelor din ecuație sau din grafic.

6. De ce este $y=a{x}^2+bx+c$ tot o parabolă?

Aceasta este întrebarea pe care o poartă orice elev din clasa a IX-a încoace. Ai desenat acolo zeci de parabole, în lecțiile despre funcția de gradul al doilea și despre vârful și axa de simetrie ale parabolei, fără să auzi de focar și de directoare. Răspunsul se citește pe linia a treia a tabelului de mai sus, cea a ecuației $x^2=2py$.

Pentru $a>0$, egalitatea $y=a{x}^2$ se scrie $$x^2=\frac{1}{a}y=2py,\text{cu }p=\frac{1}{2a}.$$ Prin urmare graficul funcției $f(x)=a{x}^2$ este o parabolă în sensul acestei unități, cu vârful în origine, cu axa $Oy$, cu focarul $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$ și cu directoarea $y=-\frac{1}{4a}$. Nu este o curbă asemănătoare, ci exact aceeași curbă, privită cu axa verticală în loc de orizontală.

Cel mai cunoscut exemplu: $y=x^2$ dă $2p=1$, deci $p=\frac{1}{2}$, focarul $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ și directoarea $y=-\frac{1}{4}$. Verificăm pe punctul $(2,4)$: distanța la focar este $\sqrt{4+{\left(4-\frac{1}{4}\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{225}{16}}=\frac{17}{4}$, iar distanța la directoare este $4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$ ✓.

Dacă $a<0$, curba se deschide în jos și intrăm pe ultima linie a tabelului: $x^2=-2py$, cu $p=\frac{1}{2|a|}$, focarul $\left(0,-\frac{1}{4|a|}\right)$ și directoarea $y=\frac{1}{4|a|}$. Pentru $y=-x^2$, focarul este $\left(0,-\frac{1}{4}\right)$, iar directoarea $y=\frac{1}{4}$.

Rămâne trinomul complet. Din forma canonică a funcției de gradul al doilea, $y=a(x-x_V{)}^2+y_V$, cu $x_V=-\frac{b}{2a}$ și $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$, se vede că graficul lui $y=a{x}^2+bx+c$ se obține din cel al lui $y=a{x}^2$ printr-o translație care duce originea în vârful $V(x_V,y_V)$: aceeași curbă, mutată. Deci este tot o parabolă, cu axa verticală $x=x_V$, cu focarul la $\frac{1}{4|a|}$ deasupra vârfului (respectiv dedesubt, dacă $a<0$) și cu directoarea de partea cealaltă, la aceeași distanță. (Observație în afara programei: o parabolă cu vârful mutat în $(x_0,y_0)$ și axa orizontală are ecuația $(y-y_0{)}^2=2p(x-x_0)$; noi lucrăm numai cu forme canonice, deci cu vârful în origine.)

Un exemplu de control: $y=x^2-4x+5=(x-2{)}^2+1$ are $V(2,1)$, $a=1$, deci $p=\frac{1}{2}$, focarul $\left(2,\frac{5}{4}\right)$ și directoarea $y=\frac{3}{4}$. Pentru punctul $(3,2)$ al curbei: distanța la focar este $\sqrt{1+{\left(2-\frac{5}{4}\right)}^2}=\frac{5}{4}$, iar distanța la directoare este $2-\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$ ✓.

7. Cum determini ecuația unei parabole din condiții?

Cerința inversă apare des și are o singură necunoscută, pe $p$, deci o singură condiție este de ajuns — după ce ai stabilit orientarea. Rețeta are trei etape:

1. Alegi ecuația din tabelul orientărilor, după informația de poziție (unde este focarul, încotro se deschide curba, pe ce axă stă).
2. Înlocuiești datele în ecuația aleasă, cu $p$ necunoscut.
3. Rezolvi și verifici că $p>0$, apoi scrii focarul și directoarea.

Trei situații tipice, cu rezolvarea în două rânduri fiecare:

• se dă un punct al curbei: parabola cu vârful în $O$ și axa $Ox$ care trece prin $(2,6)$ are $36=2p\cdot 2$, deci $2p=18$ și ecuația $y^2=18x$;
• se dă focarul: focarul $(0,-5)$ înseamnă deschidere în jos și $\frac{p}{2}=5$, deci $p=10$ și ecuația $x^2=-20y$;
• se dă directoarea: directoarea $y=-3$ înseamnă deschidere în sus și $\frac{p}{2}=3$, deci $p=6$ și ecuația $x^2=12y$.

Determinarea unei conice din condiții a fost lucrată pe larg la cerc, în lecția despre ecuația generală a cercului, unde erau trei necunoscute și trebuiau trei condiții. La parabola în formă canonică necunoscuta este una singură, deci și condiția este una.

8. Proprietatea focarului: antena parabolică și farul

Toate razele care sosesc paralel cu axa parabolei se reflectă pe curbă și trec prin focar; invers, o sursă așezată în focar trimite un fascicul paralel cu axa. Enunțăm această proprietate fără demonstrație — ea explică de ce oglinzile telescoapelor, antenele de satelit și farurile de mașină au secțiune parabolică.

Consecința practică este o problemă de măsurat. O antenă are diametrul la gură $D$ și adâncimea $h$; punem vârful în origine și axa pe $Ox$, astfel încât marginea antenei să fie punctul $\left(h,\frac{D}{2}\right)$. Din ecuația $y^2=2px$ obținem $$\frac{D^2}{4}=2p\cdot h⟹2p=\frac{D^2}{4h},$$ iar receptorul se montează în focar, la distanța $\frac{p}{2}=\frac{D^2}{16h}$ de vârf, pe axă.

Pentru o antenă cu $D=80$ cm și $h=10$ cm: $2p=\frac{6400}{40}=160$, deci parabola este $y^2=160x$, iar receptorul se pune la $40$ de centimetri de vârf. Verificare pe marginea antenei, punctul $(10,40)$: $1600=160\cdot 10$ ✓, iar raza focală este $10+40=50$ cm. Se vede și de ce brațul suportului iese mult în afara vasului: focarul se află la $40$ cm, iar antena are numai $10$ cm adâncime.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate elementele, dintr-o ecuație dată

Determinăm elementele parabolei $y^2=36x$ și lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă.

Comparăm cu forma canonică: $2p=36$, deci $p=18>0$ ✓, iar $\frac{p}{2}=9$.

Vârful este $O(0,0)$, axa de simetrie este $Ox$, focarul este $F(9,0)$, directoarea este dreapta $x=-9$, iar raza focală a unui punct oarecare este $MF=x+9$. Coarda prin focar are lungimea $2p=36$, cu capetele $(9,18)$ și $(9,-18)$.

Control pe două puncte: $(1,6)$ verifică $36=36\cdot 1$ ✓ și are $MF=1+9=10$, iar formula distanței dă $\sqrt{(1-9{)}^2+36}=\sqrt{100}=10$ ✓; $(4,12)$ verifică $144=36\cdot 4$ ✓ și are $MF=13$, confirmat de $\sqrt{25+144}=13$ ✓.

Exemplul 2 — Trasarea în cinci pași

Reprezentăm grafic parabola $y^2=8x$, cea introdusă în lecția conicele ca secțiuni ale conului.

Pasul 1: $2p=8$, deci $p=4$; curba se deschide spre dreapta. Pasul 2: vârful $O$, focarul $F(2,0)$, directoarea punctată $x=-2$. Pasul 3: coarda prin focar, de la $(2,4)$ la $(2,-4)$, de lungime $2p=8$. Pasul 4: puncte de control cu ordonate întregi, $x=\frac{k^2}{8}$: pentru $k=6$ obținem $x=\frac{9}{2}$, deci $\left(\frac{9}{2},\pm 6\right)$; pentru $k=8$ obținem $x=8$, deci $(8,\pm 8)$. Pasul 5: curba netedă prin toate punctele, pornind din vârf perpendicular pe axă.

Controlul final: pentru $(8,8)$, raza focală este $8+2=10$, iar distanța la directoare $8+2=10$ ✓.

Exemplul 3 — O parabolă deschisă în jos

Determinăm elementele parabolei $x^2=-6y$ și verificăm definiția pe un punct.

Variabila la pătrat este $x$, deci axa de simetrie este $Oy$; semnul minus arată că deschiderea este în jos. Din $2p=6$ rezultă $p=3$ și $\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$.

Vârful este $O$, focarul este $F\left(0,-\frac{3}{2}\right)$, iar directoarea este dreapta orizontală $y=\frac{3}{2}$. Coarda prin focar are lungimea $2p=6$, cu capetele $\left(\pm 3,-\frac{3}{2}\right)$.

Verificare pe $M(6,-6)$: din ecuație, $36=-6\cdot (-6)=36$ ✓. Raza focală, după formula orientării, este $MF=-y+\frac{p}{2}=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$; formula distanței dă $\sqrt{36+{\left(-6+\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\frac{15}{2}$ ✓, iar distanța la directoare este $\left|-6-\frac{3}{2}\right|=\frac{15}{2}$ ✓.

Exemplul 4 — De la $y=a{x}^2$ la focar și directoare

Determinăm focarul și directoarea parabolei $y=\frac{x^2}{8}$.

Scriem ecuația sub forma din tabel: $x^2=8y$, deci $2p=8$, $p=4$ și $\frac{p}{2}=2$. Axa de simetrie este $Oy$, deschiderea este în sus, focarul este $F(0,2)$, iar directoarea este $y=-2$.

Verificare pe punctul $(4,2)$, care aparține curbei ($16=8\cdot 2$ ✓): distanța la focar este $\sqrt{16+0}=4$, iar distanța la directoare este $2+2=4$ ✓. Încă un control, pe $(8,8)$: $64=8\cdot 8$ ✓, distanța la focar $\sqrt{64+36}=10$, distanța la directoare $8+2=10$ ✓.

Observă că punctul $(4,2)$ este chiar un capăt al coardei prin focar: are ordonata $\frac{p}{2}=2$, abscisa $\pm p=\pm 4$, iar coarda măsoară $2p=8$.

Exemplul 5 — Determinarea ecuației din condiții

a) Scriem ecuația parabolei cu vârful în origine, cu axa de simetrie $Ox$, care trece prin $M(2,6)$.

Orientarea fiind spre dreapta (punctul are abscisa pozitivă), ecuația este $y^2=2px$. Înlocuim: $36=2p\cdot 2$, deci $2p=18$ și parabola este $y^2=18x$, cu $p=9$, focarul $\left(\frac{9}{2},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{9}{2}$.

Control: raza focală a lui $M$ este $2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$, iar formula distanței dă $\sqrt{{\left(2-\frac{9}{2}\right)}^2+36}=\sqrt{\frac{25}{4}+36}=\frac{13}{2}$ ✓.

b) Scriem ecuația parabolei cu vârful în origine și directoarea $y=-3$.

Directoarea fiind orizontală și sub vârf, curba se deschide în sus: $x^2=2py$, cu $\frac{p}{2}=3$, deci $p=6$ și $x^2=12y$. Focarul este $F(0,3)$.

Control pe $(6,3)$: $36=12\cdot 3$ ✓; distanța la focar $\sqrt{36+0}=6$, distanța la directoare $3+3=6$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră parabola de ecuație $y^2=10x$.

a) Determinați parametrul, focarul, directoarea și lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă.

Din $2p=10$ rezultă $p=5$, deci $\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$: focarul este $F\left(\frac{5}{2},0\right)$, directoarea este $x=-\frac{5}{2}$, iar coarda are lungimea $2p=10$.

b) Arătați că punctul $M\left(\frac{2}{5},2\right)$ aparține parabolei și verificați pentru el egalitatea $MF=d(M,d)$.

Algebric: $2^2=4$ și $10\cdot \frac{2}{5}=4$ ✓. Geometric, $$MF=\sqrt{{\left(\frac{2}{5}-\frac{5}{2}\right)}^2+4}=\sqrt{\frac{441}{100}+\frac{400}{100}}=\frac{29}{10},d(M,d)=\frac{2}{5}+\frac{5}{2}=\frac{29}{10},$$ deci egalitatea are loc ✓. Raza focală dă același rezultat dintr-o singură adunare.

c) Determinați punctele parabolei situate la distanța $5$ de focar.

Din $MF=x+\frac{5}{2}=5$ rezultă $x=\frac{5}{2}$, valoare acceptabilă. Atunci $y^2=10\cdot \frac{5}{2}=25$, deci $y=\pm 5$: punctele sunt $\left(\frac{5}{2},5\right)$ și $\left(\frac{5}{2},-5\right)$. Ele sunt chiar capetele coardei prin focar — au abscisa $\frac{p}{2}$ și ordonatele $\pm p$ —, iar distanța dintre ele este $10=2p$ ✓.

Să exersăm

1. Determinați parametrul, vârful, axa, focarul și directoarea parabolei $y^2=14x$.

2. Calculați lungimea coardei duse prin focar, perpendicular pe axă, la parabola $y^2=5x$, și precizați capetele ei.

3. Determinați elementele parabolei $x^2=8y$ și precizați încotro se deschide.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Parabola $y^2=-8x$ are focarul $(4,0)$."

5. Reprezentați grafic, în cinci pași, parabola $x^2=16y$, precizând orientarea și punctele folosite.

6. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și axa de simetrie $Ox$, care trece prin punctul $(3,9)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Parabola $x^2=2py$ este graficul unei funcții."

8. Determinați punctele parabolei $y^2=4x$ situate la distanța $5$ de focar.

9. (Problemă aplicată.) O antenă parabolică are diametrul la gură de $120$ de centimetri și adâncimea de $30$ de centimetri. Scrieți ecuația secțiunii ei și aflați la ce distanță de vârf se montează receptorul.

10. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și focarul $(0,-5)$.

11. Scrieți parabola $y=\frac{x^2}{12}$ sub forma $x^2=2py$ și determinați-i focarul și directoarea.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Vârful parabolei $y^2=2px$ se află la distanța $p$ de directoare."

13. Determinați punctul de ordonată $6$ al parabolei $y^2=9x$ și verificați pentru el egalitatea dintre distanța la focar și distanța la directoare.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră parabola $x^2=6y$. Determinați focarul și directoarea, apoi arătați că punctul $(6,6)$ îi aparține și calculați distanța de la el la focar.

15. Determinați ecuația parabolei cu vârful în origine și axa de simetrie $Oy$, care trece prin punctul $(6,-3)$.

16. (Problemă aplicată.) Becul unui reflector se află în focar, la $8$ centimetri de vârful oglinzii, iar oglinda are diametrul la gură de $32$ de centimetri. Ce adâncime are oglinda?

17. Precizați, pentru fiecare dintre parabolele $y^2=7x$, $x^2=-10y$, $y^2=-3x$ și $x^2=5y$, deschiderea, axa de simetrie, focarul și directoarea.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice punct $M$ al parabolei $y^2=2px$, cercul de centru $M$ și rază $MF$ este tangent directoarei, și deduceți de aici că parabola este mulțimea centrelor cercurilor care trec prin $F$ și sunt tangente dreptei $d$.

Răspunsuri și explicații

1. $2p=14$, deci $p=7$ și $\frac{p}{2}=\frac{7}{2}$. Vârful este $O(0,0)$, axa este $Ox$, focarul $\left(\frac{7}{2},0\right)$, directoarea $x=-\frac{7}{2}$. Parametrul nu trebuie să fie par.

2. Din $2p=5$ rezultă $p=\frac{5}{2}$, deci lungimea coardei este $2p=5$, iar capetele sunt $\left(\frac{5}{4},\frac{5}{2}\right)$ și $\left(\frac{5}{4},-\frac{5}{2}\right)$, adică punctele de abscisă $\frac{p}{2}$.

3. Variabila la pătrat este $x$, deci axa este $Oy$; coeficientul lui $y$ este pozitiv, deci curba se deschide în sus. Din $2p=8$: $p=4$, focarul $(0,2)$, directoarea $y=-2$, vârful $O$.

4. Fals. Semnul minus arată deschidere spre stânga, deci focarul este $\left(-\frac{p}{2},0\right)$. Din $2p=8$ rezultă $p=4$, deci focarul este $(-2,0)$, iar directoarea $x=2$. Punctul $(4,0)$ nici măcar nu este de partea în care se deschide curba.

5. Variabila la pătrat este $x$, deci axa este $Oy$, iar coeficientul pozitiv al lui $y$ dă deschiderea în sus. Din $2p=16$: $p=8$; focarul $(0,4)$; directoarea punctată $y=-4$; coarda prin focar între $(-8,4)$ și $(8,4)$, de lungime $16$; puncte de control alese cu abscise întregi, $y=\frac{k^2}{16}$: $(\pm 12,9)$ și $(\pm 16,16)$; curba netedă, pornind din vârf perpendicular pe axa $Oy$.

6. Ecuația este $y^2=2px$; din $81=2p\cdot 3$ rezultă $2p=27$, deci $y^2=27x$, cu $p=\frac{27}{2}$, focarul $\left(\frac{27}{4},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{27}{4}$.

7. Adevărat. Din $x^2=2py$ rezultă $y=\frac{x^2}{2p}$, funcție definită pe $\mathbb{R}$: fiecărei valori a lui $x$ îi corespunde o singură valoare a lui $y$. Este singura orientare cu această proprietate; parabola $y^2=2px$ este reuniunea graficelor a două funcții.

8. Aici $p=2$, deci $MF=x+1$. Din $x+1=5$ rezultă $x=4$, apoi $y^2=16$ și $y=\pm 4$: punctele sunt $(4,4)$ și $(4,-4)$. Verificare: $\sqrt{(4-1{)}^2+16}=5$ ✓.

9. Marginea antenei este punctul $(30,60)$, deci $3600=2p\cdot 30$ și $2p=120$, adică secțiunea este $y^2=120x$, cu $p=60$. Receptorul se montează în focar, la $\frac{p}{2}=30$ de centimetri de vârf, pe axa antenei — chiar în planul gurii, pentru că adâncimea este tot $30$ de centimetri.

10. Focarul fiind pe axa $Oy$, sub origine, curba se deschide în jos: $x^2=-2py$. Din $\frac{p}{2}=5$ rezultă $p=10$, deci $x^2=-20y$, cu directoarea $y=5$. Control: $(10,-5)$ verifică $100=-20\cdot (-5)$ ✓ și are distanța la focar $10$, egală cu distanța la directoare.

11. Înmulțind cu $12$: $x^2=12y$, deci $2p=12$ și $p=6$. Focarul este $(0,3)$, directoarea $y=-3$. Control pe $(6,3)$: $36=12\cdot 3$ ✓, ambele distanțe fiind $6$.

12. Fals. Vârful se află la $\frac{p}{2}$ de directoare și tot la $\frac{p}{2}$ de focar; $p$ este distanța de la focar la directoare, adică suma celor două. Confuzia dublează focarul în toate calculele următoare.

13. Din $36=9x$ rezultă $x=4$, deci punctul este $(4,6)$. Aici $2p=9$, deci $p=\frac{9}{2}$ și $\frac{p}{2}=\frac{9}{4}$. Distanța la directoare este $4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$, iar distanța la focar $\sqrt{{\left(4-\frac{9}{4}\right)}^2+36}=\sqrt{\frac{49}{16}+36}=\frac{25}{4}$ ✓.

14. Din $2p=6$ rezultă $p=3$, axa este $Oy$, deschiderea în sus, focarul $\left(0,\frac{3}{2}\right)$, directoarea $y=-\frac{3}{2}$. Punctul: $36=6\cdot 6$ ✓. Distanța la focar este $y+\frac{p}{2}=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$, confirmată de $\sqrt{36+{\left(6-\frac{3}{2}\right)}^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\frac{15}{2}$ ✓.

15. Punctul are ordonata negativă, deci curba se deschide în jos: $x^2=-2py$. Din $36=-2p\cdot (-3)=6p$ rezultă $p=6$, deci $x^2=-12y$, cu focarul $(0,-3)$ și directoarea $y=3$.

16. Din $\frac{p}{2}=8$ rezultă $p=16$, deci secțiunea oglinzii este $y^2=32x$. Marginea are ordonata $16$ (jumătate din diametru), deci abscisa $x=\frac{256}{32}=8$: adâncimea este de $8$ centimetri. Se vede și direct: becul se află exact în planul gurii, iar lățimea acolo este coarda prin focar, $2p=32$ ✓.

17. $y^2=7x$: spre dreapta, axa $Ox$, $p=\frac{7}{2}$, focarul $\left(\frac{7}{4},0\right)$, directoarea $x=-\frac{7}{4}$. $x^2=-10y$: în jos, axa $Oy$, $p=5$, focarul $\left(0,-\frac{5}{2}\right)$, directoarea $y=\frac{5}{2}$. $y^2=-3x$: spre stânga, axa $Ox$, $p=\frac{3}{2}$, focarul $\left(-\frac{3}{4},0\right)$, directoarea $x=\frac{3}{4}$. $x^2=5y$: în sus, axa $Oy$, $p=\frac{5}{2}$, focarul $\left(0,\frac{5}{4}\right)$, directoarea $y=-\frac{5}{4}$.

18. Cercul de centru $M$ și rază $r=MF$ este tangent dreptei $d$ exact atunci când $d(M,d)=r$, criteriul stabilit în lecția despre tangenta la cerc. Or, din definiția parabolei, $d(M,d)=MF=r$, deci tangența are loc pentru orice punct $M$ al curbei. Reciproc, dacă un cerc de centru $M$ trece prin $F$ și este tangent lui $d$, atunci raza lui este în același timp $MF$ și $d(M,d)$, deci $MF=d(M,d)$ și $M$ se află pe parabolă. Prin urmare parabola este exact mulțimea acestor centre — o a doua descriere a ei, echivalentă cu definiția.

De reținut

• Elementele parabolei $y^2=2px$ sunt vârful $O$, axa $Ox$, parametrul $p$, focarul $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ și directoarea $x=-\frac{p}{2}$; toate se obțin dintr-un singur număr, coeficientul lui $x$, care este $2p$.
• Raza focală a punctului $M(x,y)$ de pe parabolă este $MF=x+\frac{p}{2}$, iar coarda dusă prin focar, perpendicular pe axă, are lungimea $2p$ și capetele $\left(\frac{p}{2},\pm p\right)$.
• Cei cinci pași ai trasării parabolei sunt: parametrul și orientarea, vârful cu focarul și directoarea punctată, coarda din dreptul focarului, două-trei puncte de control alese cu $x=\frac{k^2}{2p}$, curba netedă care pleacă din vârf perpendicular pe axă.
• Cele patru orientări sunt $y^2=\pm 2px$ și $x^2=\pm 2py$: variabila de la pătrat dă axa de simetrie, iar semnul celeilalte dă sensul deschiderii, focarul stând întotdeauna de partea în care se deschide curba.
• Graficul funcției $y=a{x}^2+bx+c$ este tot o parabolă, cu axa verticală: pentru $y=a{x}^2$ cu $a>0$ ea se scrie $x^2=2py$ cu $p=\frac{1}{2a}$, are focarul $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$ și directoarea $y=-\frac{1}{4a}$.

Greșeli frecvente

• Așezi focarul la distanța $p$ de vârf. Focarul este la $\frac{p}{2}$, iar directoarea tot la $\frac{p}{2}$, de partea cealaltă; $p$ este distanța dintre ele. Pentru $y^2=36x$ avem $p=18$, dar focarul este $(9,0)$.
• Confunzi orientările. În $x^2=2py$ variabila la pătrat este $x$, deci axa de simetrie este $Oy$ și focarul stă pe verticală, la $\left(0,\frac{p}{2}\right)$ — nu pe $Ox$. Regula scurtă: pătratul spune axa, semnul spune sensul.
• Cauți al doilea focar, asimptote sau excentricitate. Parabola are un singur focar, nu are asimptote și nu i se atașează, în acest curs, un raport de tipul celui definit la elipsă și la hiperbolă; are în schimb ceva ce acelea nu au, o directoare.
• Desenezi curba prea „ascuțită" sau prea „lată". Lățimea în dreptul focarului este exact $2p$: dacă desenul tău nu trece prin $\left(\frac{p}{2},\pm p\right)$, forma este greșită, oricât de frumos ar fi trasată curba.
• Crezi că parabola de la clasa a IX-a este altă curbă. Este aceeași; doar reperul e ales altfel. Graficul lui $y=a{x}^2$ are axa verticală și se scrie $x^2=2py$, cu $p=\frac{1}{2|a|}$.

Aplică acasă

1. Cinci parabole pe aceeași foaie. Desenează, pe hârtie milimetrică, parabolele $y^2=2x$, $y^2=4x$ și $y^2=8x$, urmând cei cinci pași. Marchează pe fiecare coarda din dreptul focarului și verifică, cu rigla, că lungimile ei sunt $2$, $4$ și $8$. Vei vedea cum se deschide curba pe măsură ce $p$ crește.

2. Aceeași curbă, patru poziții. Ia parabola cu $p=3$ și scrie cele patru ecuații ale ei din tabelul orientărilor. Desenează-le pe același reper, cu patru culori, și marchează pentru fiecare focarul și directoarea. Verifică apoi, într-un program de geometrie dinamică (GeoGebra sau Desmos), că punctele desenate de tine cad pe curbele generate de calculator.

3. Antena din curte. Măsoară diametrul la gură și adâncimea unei antene de satelit, ale unui vas parabolic sau ale unei oglinzi de far. Calculează $2p=\frac{D^2}{4h}$ și poziția focarului, apoi verifică pe obiect: la antenele de satelit, receptorul chiar se află acolo unde îți iese calculul.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde cerinței din programa de matematică-informatică de a determina elementele unei conice căreia i se cunoaște ecuația canonică și de a o reprezenta grafic pornind de la această ecuație. Este partea „de execuție" a subcapitolului despre parabolă: lecția anterioară a dedus ecuația din definiția geometrică, aici se învață citirea ei, desenul și cele patru poziții posibile ale curbei.

Ce verifică lecția: (1) citirea parametrului ca jumătate din coeficientul variabilei de gradul întâi; (2) folosirea razei focale $MF=x+\frac{p}{2}$ în locul formulei distanței; (3) parcurgerea completă a celor cinci pași ai trasării, cu coarda din dreptul focarului ca schelet; (4) recunoașterea orientării dintr-o ecuație dată; (5) legătura cu funcția de gradul al doilea studiată în clasa a IX-a.

Întrebări bune de control: „La ce distanță de vârf se află focarul?"; „Cât de lată este curba în dreptul focarului?"; „Pe ce axă stă focarul parabolei $x^2=2py$ și de unde știi?"; „Unde se află focarul graficului funcției $f(x)=x^2$?".

Semne că a înțeles: desenează întâi directoarea și coarda din dreptul focarului, abia apoi curba; alege punctele de control după ordonate întregi, nu după abscise; nu se sperie de o ecuație cu $x^2$, ci schimbă rolurile axelor.

Dificultatea tipică: orientarea. Elevul citește corect parametrul, dar așază focarul din obișnuință pe $Ox$, chiar când ecuația este $x^2=-2py$. Exercițiile 3, 4, 10, 15 și 17 forțează de fiecare dată decizia asupra orientării înainte de orice calcul.

Unde apare la BAC: conicele intră în examen odată cu sesiunile susținute pe programa nouă. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6 — elemente, verificarea unui punct, o distanță la focar —, rezolvabil integral cu tabelul și cu raza focală din această lecție.

Întrebări frecvente

Care sunt elementele parabolei?

Elementele parabolei sunt vârful, axa de simetrie, parametrul $p$, focarul și directoarea. Pentru ecuația canonică $y^2=2px$, vârful este originea, axa de simetrie este $Ox$, focarul este $F\left(\frac{p}{2},0\right)$, iar directoarea este dreapta $x=-\frac{p}{2}$. Parabola nu are centru de simetrie, al doilea focar sau asimptote.

Cum se desenează o parabolă pornind de la ecuația ei?

În cinci pași: citești $2p$ din ecuație și stabilești orientarea; marchezi vârful și focarul și trasezi punctat directoarea; desenezi coarda prin focar, perpendiculară pe axă, de lungime $2p$; adaugi două-trei puncte de control alegând ordonate întregi $k$ și calculând $x=\frac{k^2}{2p}$; unești totul printr-o curbă netedă care pleacă din vârf perpendicular pe axă.

Care este formula razei focale a parabolei?

Raza focală este $MF=x+\frac{p}{2}$, adică abscisa punctului plus distanța de la vârf la focar. Ea vine direct din definiție: distanța la focar este egală cu distanța la directoarea $x=-\frac{p}{2}$, iar aceasta din urmă se scrie fără modul, pentru că toate punctele curbei au $x\ge 0$.

Ce înseamnă ecuația $x^2=2py$?

Înseamnă o parabolă cu vârful în origine, cu axa de simetrie $Oy$ și cu deschiderea în sus, având focarul $\left(0,\frac{p}{2}\right)$ și directoarea $y=-\frac{p}{2}$. Variabila care apare la pătrat arată axa de simetrie, iar semnul celeilalte arată sensul deschiderii; cu semnul minus, $x^2=-2py$, curba se deschide în jos.

De ce este graficul funcției de gradul al doilea o parabolă?

Pentru că $y=a{x}^2$ se rescrie $x^2=\frac{1}{a}y$, adică $x^2=2py$ cu $p=\frac{1}{2a}$, deci este exact parabola cu axa verticală, focarul $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$ și directoarea $y=-\frac{1}{4a}$. Graficul lui $y=a{x}^2+bx+c$ se obține din el printr-o translație care mută vârful, deci este aceeași curbă, așezată altundeva.

Cât de lată este parabola în dreptul focarului?

Exact $2p$. Dreapta perpendiculară pe axă dusă prin focar taie curba în punctele $\left(\frac{p}{2},p\right)$ și $\left(\frac{p}{2},-p\right)$, deci coarda determinată de ea are lungimea $2p$. Este cea mai rapidă măsură a deschiderii curbei și cel mai bun control al desenului.

Unde se pune receptorul unei antene parabolice?

În focar, la distanța $\frac{p}{2}=\frac{D^2}{16h}$ de vârf, unde $D$ este diametrul la gură și $h$ adâncimea antenei. Motivul este proprietatea focarului: toate razele sosite paralel cu axa se reflectă pe curbă și trec prin acel punct. Pentru $D=80$ cm și $h=10$ cm, receptorul stă la $40$ de centimetri de vârf.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Cerințele previzibile la parabolă sunt determinarea elementelor dintr-o ecuație dată, scrierea ecuației din focar sau din directoare și calculul unei raze focale, toate rezolvabile cu tabelul din această lecție.