Cercul și dreapta: poziții relative, tangenta la cerc

Un releu de telefonie așezat în punctul $C$ acoperă exact discul de rază $5$ km din jurul lui, iar șoseaua care trece pe lângă el este, pe harta inginerului, o dreaptă. Trei întrebări apar imediat: intră șoseaua în zona acoperită, o atinge doar razant sau trece pe lângă ea? Iar dacă intră, pe ce lungime de drum ai semnal? Lecția aceasta de clasa a 12-a răspunde la toate trei cu o singură idee: compari distanța de la centru la dreaptă cu raza. Poziția unei drepte față de un cerc se stabilește comparând distanța de la centru la dreaptă cu raza: dacă distanța este mai mică decât raza, dreapta este secantă; dacă este egală, este tangentă; dacă este mai mare, dreapta este exterioară.

Este prima întâlnire dintre cele două obiecte pe care le-ai construit până acum în capitolul de conice — cercul, cu ecuația lui, și dreapta, cu ecuația din geometria analitică a clasei a XI-a. Din întâlnirea lor ies două rute complet echivalente: una geometrică, cu distanța de la un punct la o dreaptă, și una algebrică, cu sistemul format din cele două ecuații și cu semnul discriminantului. Le vei învăța pe amândouă, pentru că la Bacalaureat M1 una dintre ele este mereu mai scurtă decât cealaltă, iar cine le are pe amândouă alege.

Ce vei învăța

• Vei ști să numești cele trei poziții relative ale unei drepte față de un cerc și câte puncte comune are fiecare.
• Vei ști să decizi poziția comparând distanța de la centru la dreaptă cu raza, în două rânduri de calcul.
• Vei ști să decizi poziția și pe a doua cale, cu semnul discriminantului sistemului format din ecuația cercului și cea a dreptei, inclusiv atunci când dreapta este verticală.
• Vei ști să calculezi lungimea coardei tăiate de o dreaptă secantă, fără să afli punctele de intersecție.
• Vei ști să scrii ecuația tangentei într-un punct al cercului, ca perpendiculară pe rază, și să o confirmi prin condiția $\Delta =0$.
• Vei ști să determini cele două tangente duse dintr-un punct exterior și lungimea lor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă poziția unei drepte față de un cerc?

O dreaptă și un cerc se pot afla în trei situații, după numărul punctelor lor comune, și fiecare situație are un nume fix.

Dreapta secantă este dreapta care are două puncte comune cu cercul; segmentul determinat de ele se numește coardă. Tangenta la un cerc este dreapta care are exact un punct comun cu el, numit punct de tangență. Dreapta exterioară este dreapta care nu are niciun punct comun cu cercul. Nu există alte cazuri: o dreaptă nu poate tăia un cerc în trei puncte, pentru că sistemul format din cele două ecuații duce la o ecuație de gradul al doilea, care are cel mult două soluții.

Reține de pe acum ideea centrală a lecției: poziția nu depinde de „cum arată" desenul, ci de o singură comparație numerică. Fie $\mathcal{C}$ cercul de centru $C(a,b)$ și rază $r$, scris în forma canonică a ecuației cercului: $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2,$$ și fie $d$ o dreaptă din același plan. Totul se joacă între numărul $r$ și numărul $\mathrm{dist}(C,d)$.

2. Cum afli poziția unei drepte față de cerc cu distanța de la centru?

Prima rută folosește direct instrumentul din clasa a XI-a. Ai învățat la lecția distanța de la un punct la o dreaptă că, pentru dreapta $d:Ax+By+C=0$ și punctul $C(a,b)$, $$\mathrm{dist}(C,d)=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

Notăm această distanță cu $\delta$. Atunci criteriul este cât se poate de scurt:

Motivul geometric este simplu: $\delta$ este cea mai mică distanță de la $C$ la un punct al dreptei. Dacă cel mai apropiat punct al dreptei este mai aproape decât raza, dreapta pătrunde în disc și îl părăsește, deci taie cercul de două ori; dacă este exact la distanța $r$, atinge cercul o dată; dacă este mai departe, toate punctele dreptei sunt în afara cercului.

Ca să nu compari radicali, ridică ambii membri la pătrat și lucrează cu ${\delta }^2$ și $r^2$ — comparația se păstrează, pentru că ambele numere sunt pozitive.

Exemplu de lucru. Fie cercul $\mathcal{C}:(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$, cu $C(2,-1)$ și $r=5$, care în ecuația generală a cercului se scrie $x^2+y^2-4x+2y-20=0$. Pentru dreapta $d_1:7x+y-38=0$: $$\delta =\frac{|7\cdot 2+1\cdot (-1)-38|}{\sqrt{49+1}}=\frac{25}{\sqrt{50}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54<5,$$ deci $d_1$ este secantă.

3. Ce spune discriminantul sistemului dreaptă–cerc?

A doua rută nu se uită la desen deloc. Punctele comune ale dreptei și cercului sunt exact soluțiile sistemului format din cele două ecuații, iar sistemul se rezolvă prin substituție, ca la clasa a IX-a.

Dacă dreapta are ecuația $y=mx+n$, înlocuiești $y$ în ecuația cercului și obții o ecuație de gradul al doilea în $x$. Numărul soluțiilor ei reale este dat de discriminantul $\Delta$, cu formulele deduse la ecuația de gradul al doilea:

• $\Delta >0$: două soluții distincte, deci dreapta este secantă;
• $\Delta =0$: o soluție dublă, deci dreapta este tangentă;
• $\Delta <0$: nicio soluție reală, deci dreapta este exterioară.

Pe același exemplu, din $d_1$ scoatem $y=38-7x$ și înlocuim: $$(x-2{)}^2+(38-7x+1{)}^2=25⟺(x-2{)}^2+(39-7x{)}^2=25.$$ După desfacere și reducere rămâne $50x^2-550x+1500=0$, adică $x^2-11x+30=0$, cu $\Delta =121-120=1>0$. Soluțiile sunt $x_1=5$ și $x_2=6$, cărora le corespund $y_1=3$ și $y_2=-4$: punctele comune sunt $(5,3)$ și $(6,-4)$. Le poți verifica pe amândouă în ecuația cercului — $9+16=25$ și $16+9=25$ ✓.

Cazul dreptei verticale, tratat separat. O dreaptă verticală $x=x_0$ nu are pantă, deci nu se scrie sub forma $y=mx+n$ — este exact avertismentul din geometria analitică a clasei a XI-a. Criteriul cu discriminantul nu cade însă: substitui $x=x_0$ în ecuația cercului și obții o ecuație de gradul al doilea în $y$, pe care o discuți la fel. Pentru cercul nostru și dreapta $x=7$: $$(7-2{)}^2+(y+1{)}^2=25⟺(y+1{)}^2=0,$$ o rădăcină dublă, $y=-1$: dreapta este tangentă, în punctul $(7,-1)$. Pentru $x=5$ obținem $(y+1{)}^2=16$, cu $y\in \{3,-5\}$ — secantă; pentru $x=9$ obținem $(y+1{)}^2=-24$ — exterioară. Ce cade la verticale este parametrizarea $y=mx+n$, nu metoda.

4. De ce dau cele două criterii același răspuns?

Merită văzut o dată, pentru că explică de ce poți alege liber între ele. Luăm cercul $x^2+y^2=r^2$ și dreapta $y=mx+n$ (cazul general se obține prin mutarea originii în centru). Substituția dă $$(1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2=0,$$ cu discriminantul redus $$\frac{\Delta }{4}=m^2{n}^2-(1+m^2)(n^2-r^2)=r^2(1+m^2)-n^2=(1+m^2)\left(r^2-\frac{n^2}{1+m^2}\right).$$ Dar $\frac{n^2}{1+m^2}$ este exact ${\delta }^2$, pătratul distanței de la $O$ la dreapta $mx-y+n=0$. Prin urmare $$\frac{\Delta }{4}=(1+m^2)\left(r^2-{\delta }^2\right),$$ iar cum $1+m^2>0$, semnul lui $\Delta$ este același cu semnul lui $r^2-{\delta }^2$. Cele două criterii nu sunt două rezultate care se potrivesc din întâmplare: sunt aceeași inegalitate, scrisă în două limbaje.

5. Lungimea coardei tăiate de o dreaptă secantă

Când $\delta <r$, cele două puncte comune determină o coardă. Perpendiculara din centru pe coardă cade în mijlocul ei — proprietate de gimnaziu — și formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $r$ și catetele $\delta$ și jumătate de coardă. Din teorema lui Pitagora: $$\ell =2\sqrt{r^2-{\delta }^2}.$$

Pe exemplul de mai sus, ${\delta }^2=\frac{625}{50}=\frac{25}{2}$, deci $\ell =2\sqrt{25-\frac{25}{2}}=2\cdot \frac{5}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$. Verificare pe punctele găsite: distanța dintre $(5,3)$ și $(6,-4)$ este $\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ ✓. Formula este utilă mai ales când punctele de intersecție au coordonate urâte: lungimea coardei iese curat, chiar dacă punctele nu.

6. Cum scrii ecuația tangentei într-un punct al cercului?

Fie $M_0(x_0,y_0)$ un punct de pe cerc. Teorema de gimnaziu spune că tangenta în $M_0$ este perpendiculară pe raza $C{M}_0$, iar în geometria analitică asta se traduce imediat, cu condiția de perpendicularitate a două drepte: dacă raza are panta $m_{\text{raza˘}}$, tangenta are panta $$m_{\text{tg}}=-\frac{1}{m_{\text{raza˘}}}.$$

Cei trei pași ai tangentei la cerc, pe cercul $\mathcal{C}:(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$ și punctul $M_0(5,3)$:

1. verifici că punctul este pe cerc: $(5-2{)}^2+(3+1{)}^2=9+16=25$ ✓;
2. calculezi panta razei $C{M}_0$: $m_{\text{raza˘}}=\frac{3-(-1)}{5-2}=\frac{4}{3}$;
3. scrii tangenta prin punct și pantă, cu panta $-\frac{3}{4}$, folosind ecuația dreptei prin punct și pantă: $y-3=-\frac{3}{4}(x-5)$, adică $3x+4y-27=0$.

Controlul final durează zece secunde: $\mathrm{dist}(C,t)=\frac{|6-4-27|}{5}=\frac{25}{5}=5=r$ ✓.

Cele două situații speciale. Dacă raza este orizontală ($y_0=b$), tangenta este verticală, $x=x_0$; dacă raza este verticală ($x_0=a$), tangenta este orizontală, $y=y_0$. În ambele cazuri panta razei nu se poate răsturna, așa că le scrii direct din desen. Pe cercul nostru: în $(7,-1)$ tangenta este $x=7$, iar în $(2,4)$ tangenta este $y=4$.

A doua cale, algebrică. Aceeași tangentă se obține și fără nicio referire la perpendicularitate, punând condiția $\Delta =0$. Căutăm dreptele care trec prin $M_0(5,3)$, deci $y=m(x-5)+3$, substituim în ecuația cercului și cerem ca ecuația de gradul al doilea rezultată să aibă rădăcină dublă; singura valoare care trece este $m=-\frac{3}{4}$. Pentru dreapta găsită, substituția dă $$25x^2-250x+625=0⟺x^2-10x+25=0⟺(x-5{)}^2=0,$$ o rădăcină dublă în $x=5$ ✓. Rădăcina dublă este semnătura algebrică a tangenței: cele două puncte de intersecție s-au suprapus.

Pentru celelalte conice există și o a treia cale, mult mai rapidă, numită metoda dedublării, care dă tangenta într-un punct al conicei direct din ecuația ei, fără pante și fără discriminanți. Ea se învață mai târziu în această unitate, la lecția despre tangenta într-un punct al unei conice, unde se aplică deodată cercului, elipsei, hiperbolei și parabolei. Tot acolo se generalizează și discuția de la punctul $3$: intersecția unei conice cu o dreaptă se face după exact aceeași schemă — substituție, ecuație de gradul al doilea, semnul lui $\Delta$ —, doar că nu mai avem la îndemână comoditatea distanței față de un centru, pentru că elipsa și hiperbola nu au „rază".

7. Tangentele dintr-un punct exterior

Dintr-un punct $P$ exterior cercului se pot duce exact două tangente, iar problema se rezolvă cel mai comod cu criteriul distanței, pentru că el nu cere rezolvarea niciunui sistem.

Scrii fasciculul de drepte prin $P(x_P,y_P)$, adică $y-y_P=m(x-x_P)$, îi impui condiția $\mathrm{dist}(C,d)=r$, ridici la pătrat și obții o ecuație de gradul al doilea în $m$. Verifici la final și dreapta verticală $x=x_P$, pe care fasciculul nu o conține.

Un rezultat util: dacă $P$ este exterior, lungimea tangentei dusă din $P$ (distanța de la $P$ la punctul de tangență) este $$\mathrm{PT}=\sqrt{C{P}^2-r^2},$$ pentru că triunghiul $CTP$ este dreptunghic în $T$.

8. Cum alegi calea

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei drepte, același cerc

Stabilim poziția dreptelor $d_1:7x+y-38=0$, $d_2:3x+4y-27=0$ și $d_3:4x+3y-40=0$ față de cercul $\mathcal{C}:(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$.

Centrul este $C(2,-1)$, raza $r=5$. Calculăm pătratele distanțelor, ca să evităm radicalii: $${\delta }_1^2=\frac{25^2}{50}=\frac{25}{2}=12,5,{\delta }_2^2=\frac{(-25{)}^2}{25}=25,{\delta }_3^2=\frac{(-35{)}^2}{25}=49.$$ Comparăm cu $r^2=25$: $12,5<25$, deci $d_1$ este secantă; $25=25$, deci $d_2$ este tangentă; $49>25$, deci $d_3$ este exterioară.

Exemplul 2 — Punctele de intersecție și coarda

Determinăm punctele comune ale dreptei $d_1:7x+y-38=0$ cu cercul de mai sus și lungimea coardei.

Din $y=38-7x$ și $(x-2{)}^2+(39-7x{)}^2=25$ obținem $50x^2-550x+1500=0$, adică $x^2-11x+30=0$, cu soluțiile $5$ și $6$. Punctele sunt $A(5,3)$ și $B(6,-4)$, iar coarda are lungimea $AB=\sqrt{1+49}=5\sqrt{2}$.

Verificare cu formula: $2\sqrt{r^2-{\delta }_1^2}=2\sqrt{25-12,5}=2\sqrt{12,5}=5\sqrt{2}$ ✓.

Exemplul 3 — Drepte verticale și orizontale

Stabilim poziția dreptelor $x=5$, $x=7$, $x=9$ și $y=2$ față de același cerc.

Distanțele de la $C(2,-1)$ sunt, respectiv, $3$, $5$, $7$ și $3$ — la o verticală $x=x_0$ distanța este $|x_0-a|$, la o orizontală $y=y_0$ este $|y_0-b|$. Deci $x=5$ și $y=2$ sunt secante, $x=7$ este tangentă, $x=9$ este exterioară.

Prin substituție: pentru $y=2$ avem $(x-2{)}^2+9=25$, deci $x\in \{-2,6\}$ și coarda are lungimea $8$; formula dă $2\sqrt{25-9}=8$ ✓.

Exemplul 4 — Tangenta într-un punct al cercului, pe ambele căi

Scriem tangenta la $\mathcal{C}:(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$ în punctul $M_0(-1,3)$.

Întâi verificăm: $(-1-2{)}^2+(3+1{)}^2=9+16=25$ ✓. Panta razei este $\frac{3+1}{-1-2}=-\frac{4}{3}$, deci panta tangentei este $\frac{3}{4}$, iar tangenta este $y-3=\frac{3}{4}(x+1)$, adică $3x-4y+15=0$.

Confirmare prin distanță: $\frac{|6+4+15|}{5}=\frac{25}{5}=5=r$ ✓. Confirmare prin discriminant: substituind $y=\frac{3x+15}{4}$ în ecuația cercului se ajunge la $x^2+2x+1=0$, adică $(x+1{)}^2=0$ — rădăcină dublă în $x=-1$ ✓.

Exemplul 5 — Tangentele dintr-un punct exterior

Ducem tangentele din $P(9,0)$ la cercul $\mathcal{C}:(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$.

Verificăm mai întâi că $P$ este exterior: $C{P}^2=49+1=50>25$ ✓. Lungimea fiecărei tangente va fi $\sqrt{50-25}=5$.

Dreptele prin $P$ cu pantă sunt $y=m(x-9)$, adică $mx-y-9m=0$. Condiția de tangență: $$\frac{|2m+1-9m|}{\sqrt{m^2+1}}=5⟺(1-7m{)}^2=25(m^2+1)⟺24m^2-14m-24=0,$$ adică $12m^2-7m-12=0$, cu soluțiile $m_1=\frac{4}{3}$ și $m_2=-\frac{3}{4}$. Tangentele sunt $$t_1:4x-3y-36=0,t_2:3x+4y-27=0.$$ Verticala $x=9$ este la distanța $7\ne 5$ de centru, deci nu este tangentă — cazul special a fost verificat.

Punctele de tangență, obținute ca picioare ale perpendicularelor din $C$, sunt $(6,-4)$ pentru $t_1$ și $(5,3)$ pentru $t_2$; ambele verifică ecuația cercului. Observă și că $4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$: cele două tangente sunt perpendiculare, ceea ce se întâmplă exact pentru că $CP=5\sqrt{2}=r\sqrt{2}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră cercul $\mathcal{C}:x^2+y^2-6x+4y-12=0$.

a) Determinați centrul și raza cercului. Comparăm cu forma generală $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$: avem $2m=-6$, $2n=4$, $p=-12$, deci $m=-3$, $n=2$ și centrul este $C(3,-2)$. Raza: $r^2=m^2+n^2-p=9+4+12=25$, deci $r=5$.

b) Stabiliți poziția dreptei $d:4x+3y-19=0$ față de cerc. Distanța de la centru: $\mathrm{dist}(C,d)=\frac{|12-6-19|}{\sqrt{16+9}}=\frac{13}{5}=2,6<5$, deci dreapta este secantă. Coarda tăiată are lungimea $2\sqrt{25-\frac{169}{25}}=2\cdot \frac{\sqrt{456}}{5}=\frac{4\sqrt{114}}{5}$.

c) Scrieți ecuația tangentei la cerc în punctul $T(7,1)$. Verificăm apartenența: $49+1-42+4-12=0$ ✓. Panta razei $CT$ este $\frac{1+2}{7-3}=\frac{3}{4}$, deci panta tangentei este $-\frac{4}{3}$ și tangenta este $y-1=-\frac{4}{3}(x-7)$, adică $4x+3y-31=0$. Control: $\frac{|12-6-31|}{5}=5=r$ ✓.

Să exersăm

1. Stabiliți poziția dreptei $d:4x-3y+25=0$ față de cercul $x^2+y^2=25$ și, dacă este cazul, determinați punctul de tangență.

2. Determinați punctele comune ale dreptei $y=x+1$ cu cercul $x^2+y^2=25$ și lungimea coardei obținute.

3. Stabiliți poziția dreptei $x=6$ față de cercul $x^2+y^2=25$.

4. Scrieți ecuația tangentei la cercul $x^2+y^2=25$ în punctul $M(-3,4)$.

5. Scrieți ecuația tangentei la cercul $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ în punctul $N(-2,2)$.

6. Determinați valorile reale ale lui $k$ pentru care dreapta $3x+4y+k=0$ este tangentă cercului $x^2+y^2=25$.

7. Calculați lungimea coardei determinate de dreapta $y=3$ pe cercul $x^2+y^2=25$, în două moduri.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă discriminantul sistemului format din ecuațiile unei drepte și ale unui cerc este negativ, atunci dreapta este exterioară cercului."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Tangenta la un cerc într-un punct al său este perpendiculară pe raza dusă în acel punct."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă verticală nu poate fi tangentă unui cerc, pentru că nu are pantă."

11. Determinați ecuațiile tangentelor duse din punctul $P(1,7)$ la cercul $x^2+y^2=25$ și punctele lor de tangență.

12. Calculați lungimea tangentei duse din punctul $Q(13,0)$ la cercul $x^2+y^2=25$.

13. Stabiliți poziția dreptei $x+y-1=0$ față de cercul $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$ și calculați lungimea coardei, dacă există.

14. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $y=mx$ este tangentă cercului $(x-5{)}^2+y^2=9$.

15. (Problemă aplicată.) Un releu așezat în $C(2,-1)$ acoperă discul de rază $5$ km (coordonatele sunt în kilometri). Șoseaua urmează dreapta $7x+y-38=0$. Pe ce lungime de șosea există semnal?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră cercul $x^2+y^2-6x+4y-12=0$. a) Arătați că punctul $A(0,2)$ aparține cercului. b) Scrieți ecuația tangentei în $A$. c) Stabiliți poziția dreptei $x=8$ față de cerc.

17. Arătați că dreptele $3x+4y-27=0$ și $4x-3y-36=0$ sunt perpendiculare și că ambele sunt tangente cercului $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$.

18. (Provocare.) Fie $P$ un punct exterior cercului de centru $C$ și rază $r$. Arătați că cele două tangente duse din $P$ sunt perpendiculare dacă și numai dacă $CP=r\sqrt{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{dist}(O,d)=\frac{|25|}{\sqrt{16+9}}=5=r$, deci dreapta este tangentă. Punctul de tangență este piciorul perpendicularei din $O$, adică $(-4,3)$: verifică atât ecuația dreptei ($-16-9+25=0$), cât și pe a cercului ($16+9=25$).

2. $\mathrm{dist}(O,d{)}^2=\frac{1}{2}<25$, deci secantă. Din $x^2+(x+1{)}^2=25$ rezultă $x^2+x-12=0$, cu $x\in \{3,-4\}$: punctele sunt $(3,4)$ și $(-4,-3)$, iar coarda are lungimea $\sqrt{49+49}=7\sqrt{2}$.

3. Distanța de la $O$ la verticala $x=6$ este $6>5$, deci dreapta este exterioară. Prin substituție: $36+y^2=25$ nu are soluții reale.

4. Panta razei $OM$ este $-\frac{4}{3}$, deci panta tangentei este $\frac{3}{4}$: $y-4=\frac{3}{4}(x+3)$, adică $3x-4y+25=0$. Control: distanța de la $O$ este $\frac{25}{5}=5$ ✓.

5. Cercul are centrul $C(2,-1)$ și raza $5$; $N$ îi aparține, pentru că $16+9=25$. Panta razei $CN$ este $\frac{2+1}{-2-2}=-\frac{3}{4}$, deci tangenta are panta $\frac{4}{3}$: $4x-3y+14=0$. Control: $\frac{|8+3+14|}{5}=5$ ✓.

6. Condiția $\frac{|k|}{5}=5$ dă $|k|=25$, deci $k\in \{-25,25\}$. Cele două drepte sunt paralele și tangente în puncte diametral opuse.

7. Prin puncte: din $x^2+9=25$ rezultă $x=\pm 4$, deci coarda are capetele $(-4,3)$ și $(4,3)$ și lungimea $8$. Prin formulă: $\delta =3$ și $2\sqrt{25-9}=8$ ✓.

8. Adevărat. Punctele comune sunt soluțiile reale ale ecuației de gradul al doilea obținute prin substituție; $\Delta <0$ înseamnă că nu există soluții reale, deci niciun punct comun.

9. Adevărat. Este proprietatea pe care se sprijină toți cei trei pași ai tangentei la cerc: distanța de la centru la tangentă este minimă și egală cu raza, iar minimul se atinge pe perpendiculară.

10. Fals. Verticala $x=7$ este tangentă cercului $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=25$, în punctul $(7,-1)$. Lipsa pantei împiedică doar scrierea $y=mx+n$, nu și tangența; substituția $x=7$ dă o ecuație în $y$ cu rădăcină dublă.

11. $O{P}^2=1+49=50>25$, deci $P$ este exterior. Din $\frac{|7-m|}{\sqrt{m^2+1}}=5$ rezultă $12m^2+7m-12=0$, cu $m\in \left\{\frac{3}{4},-\frac{4}{3}\right\}$. Tangentele sunt $3x-4y+25=0$ (punct de tangență $(-3,4)$) și $4x+3y-25=0$ (punct de tangență $(4,3)$). Verticala $x=1$ are distanța $1\ne 5$, deci nu intră în discuție.

12. $O{Q}^2=169$, deci lungimea tangentei este $\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ km, respectiv unități.

13. Centrul este $(1,-2)$, raza $3$; ${\mathrm{dist}}^2=\frac{|1-2-1{|}^2}{2}=2<9$, deci secantă. Lungimea coardei: $2\sqrt{9-2}=2\sqrt{7}$.

14. Dreapta se scrie $mx-y=0$; condiția $\frac{|5m|}{\sqrt{m^2+1}}=3$ dă $25m^2=9m^2+9$, deci $16m^2=9$ și $m\in \left\{-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right\}$.

15. Distanța de la releu la șosea este $\frac{25}{\sqrt{50}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54$ km, mai mică decât raza, deci șoseaua traversează zona acoperită. Lungimea porțiunii cu semnal este coarda: $2\sqrt{25-12,5}=5\sqrt{2}\approx 7,07$ km.

16. a) $0+4-0+8-12=0$ ✓. b) Centrul este $C(3,-2)$; panta razei $CA$ este $\frac{2+2}{0-3}=-\frac{4}{3}$, deci tangenta are panta $\frac{3}{4}$: $3x-4y+8=0$. Control: $\frac{|9+8+8|}{5}=5$ ✓. c) Distanța de la $C(3,-2)$ la verticala $x=8$ este $5=r$, deci dreapta este tangentă, în punctul $(8,-2)$.

17. Produsul $3\cdot 4+4\cdot (-3)=0$ arată perpendicularitatea (criteriul cu coeficienții, echivalent cu $m_1{m}_2=-1$). Distanțele de la $C(2,-1)$: $\frac{|6-4-27|}{5}=5$ și $\frac{|8+3-36|}{5}=5$, deci ambele sunt tangente.

18. Fie $T_1$, $T_2$ punctele de tangență. Patrulaterul $C{T}_{1}P{T}_2$ are unghiuri drepte în $T_1$ și $T_2$ și $C{T}_1=C{T}_2=r$. Unghiul din $P$ este drept exact când patrulaterul este pătrat, adică atunci când $P{T}_1=P{T}_2=r$; din triunghiul dreptunghic $C{T}_{1}P$ obținem $C{P}^2=r^2+r^2=2r^2$, deci $CP=r\sqrt{2}$. Reciproc, dacă $CP=r\sqrt{2}$, atunci $P{T}_1=\sqrt{2r^2-r^2}=r$ și cele patru laturi sunt egale, deci unghiul din $P$ este drept.

De reținut

• O dreaptă are față de un cerc exact una dintre cele trei poziții — secantă, tangentă sau exterioară —, iar poziția se decide comparând distanța de la centru la dreaptă cu raza.
• Discriminantul sistemului format din ecuația cercului și cea a dreptei dă același răspuns, prin identitatea $\frac{\Delta }{4}=(1+m^2)(r^2-{\delta }^2)$: pozitiv înseamnă secantă, nul înseamnă tangentă, negativ înseamnă exterioară.
• O dreaptă verticală se studiază substituind $x=x_0$ direct în ecuația cercului și discutând ecuația de gradul al doilea obținută în $y$.
• Coarda tăiată de o secantă are lungimea $2\sqrt{r^2-{\delta }^2}$, deci se poate afla fără a calcula punctele de intersecție.
• Tangenta într-un punct al cercului este perpendiculara pe rază dusă în acel punct, iar dintr-un punct exterior aflat la distanța $CP$ se duc două tangente, fiecare de lungime $\sqrt{C{P}^2-r^2}$.

Greșeli frecvente

• Uiți modulul de la numărătorul distanței. Fără el poți obține un număr negativ și declara „dreaptă exterioară" pentru o secantă. Distanța este $\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, întotdeauna cu modul.
• Compari distanța cu $r^2$ în loc de $r$. Ori compari $\delta$ cu $r$, ori ${\delta }^2$ cu $r^2$; amestecul dă concluzii false, mai ales când $r<1$.
• Scrii tangenta cu panta razei, nu cu inversul ei cu semn schimbat. Tangenta este perpendiculară pe rază, deci $m_{\text{tg}}=-\frac{1}{m_{\text{raza˘}}}$; verifică întotdeauna la final că distanța de la centru la dreapta găsită este chiar $r$.
• Cauți tangente „într-un punct" care nu e pe cerc. Primul dintre cei trei pași este verificarea apartenenței. Dacă punctul este exterior, problema are alt răspuns — două tangente —, iar dacă este interior, nu există niciuna.
• Rezolvi cu $y=mx+n$ o problemă în care apare o verticală. Fasciculul de drepte prin $P$ nu conține dreapta $x=x_P$, așa că, la tangentele dintr-un punct exterior, verticala se verifică separat, la final.

Aplică acasă

1. Harta releului. Desenează pe hârtie milimetrică cercul de centru $C(2,-1)$ și rază $5$ și trasează dreptele din Exemplul $1$. Măsoară cu rigla distanțele de la centru la fiecare dreaptă și compară-le cu valorile calculate; abaterea nu ar trebui să treacă de o jumătate de pătrățel.

2. Fabrică de tangente. Alege cinci puncte cu coordonate întregi de pe cercul $x^2+y^2=25$ — de pildă $(3,4)$, $(4,3)$, $(-3,4)$, $(0,5)$, $(5,0)$ — și scrie tangenta în fiecare, cu cei trei pași de mai sus. Așază apoi cele cinci ecuații una sub alta și compară coeficienții lor cu coordonatele punctului de tangență: regularitatea pe care o vei observa este exact cea explicată mai târziu, la lecția despre metoda dedublării.

3. Sfoara și creionul. Cu un pahar așezat pe o foaie, conturează cercul, marchează un punct exterior și încearcă să duci din el, cu rigla, dreptele care ating cercul o singură dată. Măsoară cele două lungimi de la punct până la atingere: trebuie să iasă egale.

Pentru părinți și profesori

Lecția face prima legătură serioasă între cele două capitole de geometrie analitică pe care le are elevul: dreapta, studiată în clasa a XI-a, și cercul, introdus la începutul acestei unități. Programa cere explicit stabilirea pozițiilor relative ale unei conice față de o dreaptă și determinarea tangentei, iar aici ambele se fac în cazul cel mai simplu, cercul, unde există un instrument suplimentar — distanța până la centru — care lipsește la celelalte conice.

Ce verifică lecția: (1) alegerea corectă între cele două criterii, în funcție de ce se cere; (2) folosirea corectă a formulei distanței de la un punct la o dreaptă, cu modul; (3) tratarea separată a dreptei verticale; (4) scrierea tangentei ca perpendiculară pe rază, cu verificarea finală prin distanță; (5) discuția completă la tangentele dintr-un punct exterior, inclusiv cazul verticalei.

Întrebări bune de control: „Câte puncte comune are o dreaptă cu un cerc, cel mult, și de ce?", „Ce înseamnă geometric o rădăcină dublă a sistemului?", „De ce nu poți scrie orice dreaptă sub forma $y=mx+n$?", „Cum verifici în zece secunde că dreapta pe care ai scris-o chiar este tangentă?". Un semn sigur că elevul a înțeles: după orice tangentă scrisă, calculează singur distanța de la centru și o compară cu raza.

La BAC, profilul matematică-informatică va conține acest tip de cerință odată cu intrarea în examen a programei noi; până atunci, conicele rămân materie de clasă și bază pentru capitolul de arii de la finalul anului. Exercițiile de aici sunt gândite în formatul subpunctelor a), b), c) din Subiectul al II-lea, ca deprinderea de redactare să se formeze de pe acum.

Întrebări frecvente

Care sunt pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc? Sunt exact trei: secantă, când dreapta are două puncte comune cu cercul; tangentă, când are unul singur; exterioară, când nu are niciunul. Criteriul de recunoaștere compară distanța de la centru la dreaptă cu raza: mai mică înseamnă secantă, egală înseamnă tangentă, mai mare înseamnă exterioară. Nu există alte cazuri.

Cum se stabilește poziția unei drepte față de cerc? Cel mai rapid, cu distanța de la centrul cercului la dreaptă, calculată cu formula care conține modulul, și comparată cu raza. A doua cale, la fel de corectă, este substituirea ecuației dreptei în ecuația cercului: obții o ecuație de gradul al doilea, iar semnul discriminantului decide numărul punctelor comune.

Care este ecuația tangentei la cerc într-un punct al său? Se obține scriind dreapta care trece prin acel punct și este perpendiculară pe rază. Calculezi panta razei din coordonatele centrului și ale punctului, îi iei inversul cu semn schimbat și scrii ecuația prin punct și pantă. Dacă raza este orizontală sau verticală, tangenta este verticală, respectiv orizontală.

De ce tangenta este perpendiculară pe rază? Pentru că distanța de la centru la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară, iar în cazul tangentei această distanță minimă este chiar raza. Punctul cel mai apropiat de centru de pe tangentă este deci punctul de tangență, iar segmentul care le unește este perpendicular pe dreaptă.

Câte tangente se pot duce dintr-un punct la un cerc? Depinde de poziția punctului: dintr-un punct exterior se duc exact două tangente, de lungimi egale; dintr-un punct de pe cerc se duce una singură, perpendiculara pe rază; dintr-un punct interior nu se poate duce niciuna, pentru că orice dreaptă prin el taie cercul în două puncte.

Cum calculez lungimea coardei tăiate de o dreaptă? Cu formula care folosește doar raza și distanța de la centru la dreaptă: lungimea este dublul rădăcinii pătrate din diferența pătratelor lor. Formula vine din teorema lui Pitagora aplicată triunghiului format de rază, de jumătatea coardei și de perpendiculara din centru, care cade în mijlocul coardei.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1? În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut, pentru că ele intră în examen odată cu programa nouă. Sunt însă materie de clasa a 12-a începând din acest an și se folosesc mai departe, la calculul ariilor cu integrala definită, unde apar constant în probleme.