Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți

Un producător de rulmenți garantează că diametrul pieselor nu depășește $20,05$ mm. Un client meticulos întreabă altceva: care este cea mai mică garanție pe care o puteți da? Poate că $20,05$ e o barieră comodă, dar prea largă; poate că adevărul e $20,013$. Diferența dintre „o barieră" și „cea mai bună barieră" pare un moft, dar este exact pasul care desparte lecția trecută de lecția de azi — și, mai departe, algebra de analiză.

În lecția Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite ai învățat ce e un majorant. Aici afli că, dintre toți majoranții, există întotdeauna unul cel mai mic — și că această afirmație, care sună banal, este proprietatea fundamentală a mulțimii $\mathbb{R}$. Apoi adăugăm axei două simboluri, $-\infty$ și $+\infty$, și învățăm să lucrăm cu ele. La final construim noțiunea de vecinătate, adică felul riguros de a spune „aproape de". Cu ea vei defini, în lecțiile următoare, limita.

Ce vei învăța

• Vei ști să determini marginea superioară $\sup A$ și marginea inferioară $\inf A$ ale unei mulțimi și să le demonstrezi prin cele două condiții din definiție.
• Vei ști să distingi maximul de marginea superioară (și minimul de marginea inferioară), cu exemple în care una există și cealaltă nu.
• Vei ști să enunți proprietatea de completitudine a lui $\mathbb{R}$ (axioma lui Cantor) și să explici de ce $\mathbb{Q}$ nu o are.
• Vei ști să lucrezi pe dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$ și să aplici corect operațiile permise cu $\pm \infty$.
• Vei ști să recunoști cele șapte cazuri de nedeterminare și să explici de ce nu sunt „rezultate".
• Vei ști să decizi dacă o mulțime este vecinătate a unui punct dat, inclusiv a lui $-\infty$ sau $+\infty$.

Hai să descoperim împreună

1. De la „un majorant" la „cel mai mic majorant"

Reluăm mulțimea $A=\left\{\frac{n}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}=\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots \right\}$.

Majoranți are câți vrei: $1$, $2$, $10$. Dar $2$ și $10$ sunt bariere leneșe — mulțimea nici nu se apropie de ele. Bariera $1$ e altceva: elementele urcă spre ea și o ating „la infinit", fără să treacă de ea. Mai mult, niciun număr mai mic decât $1$ nu mai e majorant: dacă $M<1$, notăm $\epsilon =1-M>0$ și căutăm $n$ cu $\frac{n}{n+1}>1-\epsilon$, adică $\frac{1}{n+1}<\epsilon$, adică $n+1>\frac{1}{\epsilon }$ — și un asemenea $n$ există mereu.

Deci mulțimea majoranților lui $A$ este $[1,+\infty )$, iar $1$ este cel mai mic dintre ei. Acesta e obiectul pe care îl numim margine superioară.

2. Marginea superioară și marginea inferioară

Definiție. Fie $A\subseteq \mathbb{R}$ nevidă și majorată. Se numește margine superioară a lui $A$, notată $\sup A$, cel mai mic majorant al lui $A$. Analog, dacă $A$ e minorată, marginea inferioară $\inf A$ este cel mai mare minorant.

În practică folosești caracterizarea desfăcută în două condiții, pentru că ea se verifică punct cu punct:

$$s=\sup A⟺\text{(i) }x\le s\text{pentru orice }x\in A;\text{(ii) pentru orice }\epsilon >0\text{ exista˘ }{x}_{\epsilon }\in A\text{ cu }{x}_{\epsilon }>s-\epsilon .$$

Condiția (i) spune „$s$ e majorant"; condiția (ii) spune „niciun număr mai mic decât $s$ nu mai e majorant", adică $s$ e cel mai mic. Analog: $$i=\inf A⟺\text{(i) }i\le x\text{pentru orice }x\in A;\text{(ii) pentru orice }\epsilon >0\text{ exista˘ }{x}_{\epsilon }\in A\text{ cu }{x}_{\epsilon }<i+\epsilon .$$

Reține imaginea condiției (ii): oricât de puțin ai coborî de la $\sup A$, dai peste elemente ale mulțimii. Marginea superioară e lipită de mulțime, chiar dacă nu-i aparține.

3. Maxim și minim: când marginea aparține mulțimii

Definiție. Dacă $\sup A\in A$, atunci $\sup A$ se numește maximul mulțimii, notat $\max A$. Dacă $\inf A\in A$, se numește minimul, notat $\min A$.

Deci: marginea superioară există întotdeauna pentru o mulțime nevidă majorată (vezi secțiunea următoare), pe când maximul poate să lipsească. Tabelul separă cele patru situații:

Din tabel se citește regula de aur a capitolului: capătul închis dă maxim sau minim; capătul deschis dă doar margine. Aceeași distincție apare la mulțimile date prin formulă: pentru $A=\left\{\frac{n}{n+1}\right\}$ avem $\min A=\frac{1}{2}$ (se atinge la $n=1$), dar $\sup A=1$ fără ca maximul să existe.

4. Completitudinea lui $\mathbb{R}$ — proprietatea care ține tot capitolul

Axioma lui Cantor (proprietatea de completitudine). Orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are margine superioară în $\mathbb{R}$. (Se admite fără demonstrație — este chiar proprietatea care definește $\mathbb{R}$.)

Consecința simetrică: orice mulțime nevidă și minorată are margine inferioară în $\mathbb{R}$ (se obține trecând la mulțimea numerelor opuse).

De ce e o axiomă și nu o evidență? Pentru că $\mathbb{Q}$ nu o are. Ia mulțimea $$F=\left\{x\in \mathbb{Q}|x>0,x^2<2\right\}.$$ Ea e nevidă ($1\in F$) și majorată în $\mathbb{Q}$ (de $\frac{3}{2}$, fiindcă ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}>2$). Dar cel mai mic majorant al ei este $\sqrt{2}$, care nu e rațional: în $\mathbb{Q}$ mulțimea $F$ pur și simplu nu are margine superioară. Încercările succesive $\frac{3}{2}$, $\frac{141}{100}$, $\frac{1415}{1000}$ coboară la nesfârșit, fără să se oprească pe un număr rațional.

Aici se vede de ce am avut nevoie de $\mathbb{R}$: nu ca să scriem radicali, ci ca fiecare barieră să aibă un cel mai bun reprezentant. Pe această proprietate se sprijină, în lecția Teorema lui Weierstrass: monotonie, mărginire, convergență, faptul că orice șir monoton și mărginit este convergent.

5. Dreapta reală încheiată

Pentru mulțimile nemărginite formularea „nu are margine superioară" este corectă, dar incomodă. Se preferă o convenție care unifică discuția.

Definiție. Se numește dreapta reală încheiată mulțimea $$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}.$$ Relația de ordine se prelungește: $-\infty <x<+\infty$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Cu această convenție se scrie:

• $\sup A=+\infty$ dacă $A$ nu este majorată;
• $\inf A=-\infty$ dacă $A$ nu este minorată.

Astfel orice mulțime nevidă de numere reale are $\sup$ și $\inf$ în $\overline{\mathbb{R}}$: de pildă $\sup \mathbb{N}=+\infty$ și $\inf \mathbb{N}=0$, iar $\sup \mathbb{Z}=+\infty$, $\inf \mathbb{Z}=-\infty$.

Atenție la statutul simbolurilor. $-\infty$ și $+\infty$ nu sunt numere reale: nu se adună la ele „ca la numere", nu se simplifică, nu apar niciodată ca soluții ale unei ecuații. Sunt elemente adăugate lui $\mathbb{R}$ pentru a descrie comportamente, iar operațiile cu ele sunt doar cele din tabelul următor.

6. Operațiile permise în $\overline{\mathbb{R}}$

Ultimele trei rânduri sunt versiunea „la capăt de axă" a comportamentului funcției exponențiale, studiată la Funcția exponențială: definiție și reprezentare grafică: o bază supraunitară ridicată la puteri tot mai mari crește nemărginit, iar una subunitară se stinge.

Atenție: $\frac{a}{0}$ nu este operație în $\overline{\mathbb{R}}$. La limite, când numitorul tinde la $0$, se studiază semnul lui prin limite laterale și se scrie $\frac{a}{0^{+}}=+\infty$ (pentru $a>0$) sau $\frac{a}{0^{-}}=-\infty$; notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$ se folosesc doar în acest context de calcul al semnului.

7. Cele șapte cazuri de nedeterminare

Tabelul de mai sus are găuri: nu spune cât face $(+\infty )+(-\infty )$, nici $0\cdot (+\infty )$. Nu din lene, ci pentru că răspunsul nu există ca regulă.

Lista canonică a celor șapte nedeterminări este: $$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$

Ele nu sunt „rezultate", ci cazuri în care rezultatul nu se poate decide fără o prelucrare.

Iată de ce, pe cazul $\infty -\infty$, cu trei expresii care „arată la fel":

Toate trei sunt diferențe de mărimi care cresc nemărginit, dar dau trei răspunsuri diferite. De aceea $\infty -\infty$ nu poate primi o valoare; trebuie întâi prelucrată expresia, abia apoi se decide. Aceleași verificări arată la fel pentru $0\cdot \infty$: produsul $\frac{1}{n}\cdot n$ face mereu $1$, produsul $\frac{1}{n^2}\cdot n=\frac{1}{n}$ se micșorează spre $0$, iar $\frac{1}{n}\cdot n^2=n$ crește nemărginit.

Tehnicile de eliminare a nedeterminărilor se învață la lecțiile Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit și Cazurile de nedeterminare zero ori infinit, zero supra zero și unu la infinit.

8. Vecinătăți — felul riguros de a spune „aproape de"

Definiție. O mulțime $V\subseteq \mathbb{R}$ este vecinătate a punctului $x_0\in \mathbb{R}$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ cu $x_0\in (a,b)\subseteq V$.

Vecinătatea canonică, cea folosită în demonstrații, este intervalul simetric $$V=(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon ),\epsilon >0,$$ adică exact mulțimea punctelor aflate la distanță mai mică decât $\epsilon$ de $x_0$: condiția $|x-x_0|<\epsilon$.

Cuvântul-cheie al definiției este deschis: $x_0$ trebuie să stea în interiorul mulțimii, cu loc în jur, nu pe margine.

Exemple, verificate pe numere:

• $(2,4)$ este vecinătate a lui $3$: chiar el conține intervalul deschis $(3-1,3+1)=(2,4)$;
• $[0,1]$ nu este vecinătate a lui $0$: orice interval deschis care îl conține pe $0$ conține și numere negative, care nu sunt în $[0,1]$;
• $[0,1]$ este vecinătate a lui $\frac{1}{2}$: intervalul $\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right)$ îl conține pe $\frac{1}{2}$ și e inclus în $[0,1]$;
• $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ este vecinătate a lui $1$: intervalul $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ nu conține $0$;
• $\mathbb{Q}$ nu este vecinătate a niciunui punct: orice interval deschis conține și iraționale (densitatea din lecția precedentă).

Două proprietăți pe care le vei folosi des:

1. Orice vecinătate a lui $x_0$ conține o vecinătate simetrică. Dacă $x_0\in (a,b)\subseteq V$, luăm $\epsilon =\min \{x_0-a,b-x_0\}>0$ și obținem $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subseteq V$. De aceea, în demonstrații, e suficient să lucrezi cu intervale simetrice.
2. Două puncte distincte au vecinătăți disjuncte. Dacă $x_0\ne y_0$, luăm $\epsilon =\frac{|x_0-y_0|}{2}$; intervalele $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ și $(y_0-\epsilon ,y_0+\epsilon )$ nu au niciun punct comun. Verificare pe numere: pentru $x_0=1$ și $y_0=2$, $\epsilon =\frac{1}{2}$, iar $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ și $\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)$ sunt disjuncte. Din această proprietate va decurge unicitatea limitei, în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente.

Vecinătățile lui $\pm \infty$. Definiția se prelungește firesc pe $\overline{\mathbb{R}}$: vecinătățile lui $+\infty$ sunt mulțimile care conțin un interval $(a,+\infty ]$; ale lui $-\infty$, cele care conțin $[-\infty ,a)$.

Tradus: „aproape de $+\infty$" înseamnă „mai mare decât un prag $a$". Astfel $(100,+\infty ]$ este vecinătate a lui $+\infty$ și conține $10^6$, dar nu conține $5$. Cu acest vocabular, în lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți, afirmațiile „$a_n$ se apropie de $\ell$" și „$a_n$ crește nemărginit" se vor scrie la fel: orice vecinătate a punctului conține toți termenii șirului, de la un rang încolo.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Margini pentru un interval

Determinați $\inf$, $\min$, $\sup$ și $\max$ pentru $A=(-3,5]$.

Rezolvare. Orice $x\in A$ verifică $-3<x\le 5$, deci $-3$ e minorant și $5$ e majorant.

$\sup A=5$: e majorant, iar $5\in A$, deci este chiar $\max A=5$.

$\inf A=-3$: e minorant. Pentru condiția (ii), fie $\epsilon >0$. Dacă $\epsilon \le 16$, elementul $-3+\frac{\epsilon }{2}$ aparține lui $A$ (fiindcă $-3<-3+\frac{\epsilon }{2}\le 5$) și e mai mic decât $-3+\epsilon$; dacă $\epsilon >16$, atunci deja orice element al lui $A$, de pildă $0$, este mai mic decât $-3+\epsilon >13$. În ambele cazuri găsim în $A$ un element sub $-3+\epsilon$, deci niciun număr mai mare decât $-3$ nu e minorant. Cum $-3\notin A$, minimul nu există.

Exemplul 2 — Margini pentru o mulțime dată prin formulă

Determinați $\sup$ și $\inf$ pentru $B = \left{ \dfrac{3n-1}{n+2} \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$ și precizați dacă sunt atinse.*

Rezolvare. Rescriem: $\frac{3n-1}{n+2}=3-\frac{7}{n+2}$. Elementele sunt $\frac{2}{3},\frac{5}{4},\frac{8}{5},\frac{11}{6},2,\dots$

Marginea inferioară. Fracția $\frac{7}{n+2}$ e cea mai mare la $n=1$, deci cel mai mic element este $\frac{2}{3}$. Cum $\frac{2}{3}\in B$, avem $\inf B=\min B=\frac{2}{3}$.

Marginea superioară. (i) $3-\frac{7}{n+2}<3$ pentru orice $n$, deci $3$ e majorant. (ii) Fie $\epsilon >0$; căutăm $n$ cu $3-\frac{7}{n+2}>3-\epsilon$, adică $\frac{7}{n+2}<\epsilon$, adică $n>\frac{7}{\epsilon }-2$ — un asemenea $n$ natural există mereu. Deci $\sup B=3$, iar maximul nu există, fiindcă $3\notin B$.

Verificare pentru $\epsilon =0,01$: condiția dă $n>698$; pentru $n=699$ obținem $3-\frac{7}{701}\approx 2,9900$, într-adevăr mai mare decât $3-\epsilon =2,99$. ✓

Exemplul 3 — Margini infinite

Determinați $\sup$ și $\inf$, în $\overline{\mathbb{R}}$, pentru $C = \left{ n - \dfrac{1}{n} \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$.*

Rezolvare. Primele elemente: $0$, $\frac{3}{2}$, $\frac{8}{3}$, $\frac{15}{4}$, …

Marginea inferioară: pentru orice $n\ge 1$ avem $\frac{1}{n}\le 1$, deci $n-\frac{1}{n}\ge 1-1=0$, cu egalitate la $n=1$. Așadar $\inf C=\min C=0$.

Marginea superioară: mulțimea nu e majorată, fiindcă pentru orice $M$ alegem $n$ natural mai mare decât $|M|+1$ și obținem $n-\frac{1}{n}>n-1\ge |M|\ge M$. Prin convenția de pe dreapta reală încheiată, $\sup C=+\infty$.

Exemplul 4 — Este sau nu vecinătate?

Decideți, cu justificare, dacă fiecare dintre mulțimile următoare este vecinătate a punctului $2$: $V_1=(1,3)$, $V_2=[2,7)$, $V_3=(0,10)\setminus \{5\}$, $V_4=\{2\}$.

Rezolvare.

$V_1=(1,3)$: da. Este el însuși un interval deschis care îl conține pe $2$.

$V_2=[2,7)$: nu. Orice interval deschis $(a,b)$ cu $2\in (a,b)$ are $a<2$, deci conține numere mai mici decât $2$, care nu aparțin lui $V_2$.

$V_3=(0,10)\setminus \{5\}$: da. Intervalul deschis $(1,3)$ îl conține pe $2$ și nu conține $5$, deci $2\in (1,3)\subseteq V_3$.

$V_4=\{2\}$: nu. O mulțime cu un singur element nu poate conține niciun interval deschis, fiindcă orice interval deschis nevid are o infinitate de elemente (densitatea).

Reține tiparul: întrebarea nu e „conține punctul?", ci „are punctul loc în jur, în toate direcțiile?"

Exemplul 5 — Operații pe dreapta reală încheiată

Precizați, folosind tabelul operațiilor, valoarea fiecărei expresii sau faptul că este caz de nedeterminare: a) $7+(+\infty )$; b) $(-3)\cdot (+\infty )$; c) $\frac{5}{-\infty }$; d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{+\infty }$; e) $(+\infty )+(-\infty )$; f) $0\cdot (+\infty )$; g) $3^{-\infty }$.

Rezolvare.

a) $+\infty$ (rândul $a+(+\infty )$, cu $a=7\in \mathbb{R}$).

b) $-\infty$: produsul cu $+\infty$ păstrează regula semnelor, iar $-3<0$.

c) $0$ (rândul $\frac{a}{\pm \infty }$, cu $a=5\in \mathbb{R}$).

d) $0$: baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci $a^{+\infty }=0$.

e) Caz de nedeterminare $\infty -\infty$ — nu are valoare; expresia trebuie prelucrată.

f) Caz de nedeterminare $0\cdot \infty$; observă că rândul din tabel cere explicit $a\ne 0$.

g) $0$: baza $3$ este supraunitară, deci $a^{-\infty }=0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $A = \left{ 2 - \dfrac{5}{n+3} \ \middle|\ n \in \mathbb{N}^{} \right}$.* a) Calculați primele trei elemente ale mulțimii $A$. b) Arătați că $\frac{3}{4}\le x<2$ pentru orice $x\in A$. c) Determinați $\inf A$ și $\sup A$ și precizați care dintre ele este atins.

Rezolvare.

a) Pentru $n=1,2,3$: $2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$, $2-1=1$, $2-\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$.

b) Din $n\ge 1$ rezultă $n+3\ge 4$, deci $0<\frac{5}{n+3}\le \frac{5}{4}$. Scăzând din $2$ (inegalitățile își schimbă sensul): $$2-\frac{5}{4}\le 2-\frac{5}{n+3}<2,\text{adica˘}\frac{3}{4}\le x<2.$$

c) Din b), $\frac{3}{4}$ e minorant și aparține mulțimii (pentru $n=1$), deci $\inf A=\min A=\frac{3}{4}$.

Tot din b), $2$ e majorant. Este cel mai mic: fie $\epsilon >0$; condiția $2-\frac{5}{n+3}>2-\epsilon$ înseamnă $\frac{5}{n+3}<\epsilon$, adică $n>\frac{5}{\epsilon }-3$, iar un asemenea $n$ natural există întotdeauna. Deci $\sup A=2$ și nu este atins, fiindcă $\frac{5}{n+3}>0$ pentru orice $n$.

Verificare pentru $\epsilon =0,1$: condiția dă $n>47$; pentru $n=48$, elementul este $2-\frac{5}{51}\approx 1,902>1,9$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare margine superioară cerută, scrie explicit cele două condiții — baremul de la Bacalaureat M1 punctează separat „e majorant" și „e cel mai mic majorant".

1. Determină $\inf$, $\min$, $\sup$, $\max$ pentru mulțimea $A=[-1,4)$.

2. Determină $\inf$, $\min$, $\sup$, $\max$ pentru mulțimea finită $B=\{-2,0,3,7\}$.

3. Arată că $\sup \left\{1-\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}=1$ și că maximul nu există.

4. Determină $\inf$ și $\sup$ pentru $C=\left\{\frac{2}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Care dintre ele este atins?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Marginea superioară a unei mulțimi aparține întotdeauna mulțimii."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o mulțime nevidă de numere reale este majorată, atunci ea are margine superioară."

7. Scrie $\sup$ și $\inf$, în $\overline{\mathbb{R}}$, pentru mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ și $(-\infty ,6]$.

8. Decide dacă mulțimea $(3,8)$ este vecinătate a punctelor $3$, $4$ și $8$. Justifică în fiecare caz.

9. Găsește un $\epsilon >0$ pentru care intervalul $(5-\epsilon ,5+\epsilon )$ este inclus în $(4,5;6)$.

10. Arată că mulțimea $\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$ este vecinătate a lui $0$, dar nu este vecinătate a lui $1$.

11. Calculează, pe dreapta reală încheiată: $-4+(-\infty )$; $\frac{-7}{+\infty }$; $2\cdot (-\infty )$; $5^{+\infty }$; $(+\infty {)}^{-2}$.

12. Care dintre expresiile următoare sunt cazuri de nedeterminare: $(+\infty )\cdot (+\infty )$; $0\cdot (-\infty )$; $(+\infty )-(+\infty )$; $1^{+\infty }$; $\frac{3}{+\infty }$?

13. (Problemă aplicată.) Un lift are afișată sarcina maximă de $600$ kg, dar producătorul a testat cabina până la $750$ kg fără deformare. Care număr joacă rolul de majorant al mulțimii sarcinilor admise și care ar fi, tehnic, marginea superioară? Explică de ce cele două nu coincid.

14. Determină $\sup$ și $\inf$ pentru $D=\left\{\frac{n+4}{n+1}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, rescriind mai întâi termenul general.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $E=\left\{3-\frac{2}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$. Arătați că $1\le x<3$ pentru orice $x\in E$, apoi determinați $\inf E$ și $\sup E$, precizând care dintre ele este atins.

16. Scrie lista celor șapte cazuri de nedeterminare, în ordinea canonică, și dă pentru fiecare o expresie care îl produce.

17. Fie $A\subseteq B$ două mulțimi nevide și mărginite. Arată că $\sup A\le \sup B$ și $\inf A\ge \inf B$.

18. (Provocare.) Fie $A$ nevidă și majorată, iar $-A=\{-x\mid x\in A\}$. Arată că $\inf (-A)=-\sup A$.

Răspunsuri și explicații

1. $\inf A=\min A=-1$ (capăt închis, aparține). $\sup A=4$, dar $4\notin A$, deci maximul nu există.

2. Mulțimea e finită: $\inf B=\min B=-2$ și $\sup B=\max B=7$. La mulțimile finite, marginile sunt întotdeauna atinse.

3. (i) $1-\frac{1}{n}<1$ pentru orice $n$, deci $1$ e majorant. (ii) Fie $\epsilon >0$; din $\frac{1}{n}<\epsilon$, adică $n>\frac{1}{\epsilon }$, obținem un element mai mare decât $1-\epsilon$. Deci $\sup =1$. Maximul nu există, fiindcă $\frac{1}{n}>0$, deci niciun element nu e egal cu $1$.

4. $\sup C=\max C=2$ (atins la $n=1$). $\inf C=0$: e minorant, fiindcă $\frac{2}{n}>0$; și e cel mai mare minorant, fiindcă pentru orice $\epsilon >0$ există $n$ cu $\frac{2}{n}<\epsilon$. Nu e atins.

5. Fals. Pentru $(0,1)$, marginea superioară este $1$, care nu aparține mulțimii. Marginea aparține mulțimii doar când este maxim.

6. Adevărat. Este exact axioma lui Cantor (completitudinea lui $\mathbb{R}$). Afirmația ar fi falsă în $\mathbb{Q}$ — contraexemplul este mulțimea numerelor raționale pozitive cu pătratul mai mic decât $2$.

7. $\sup \mathbb{N}=+\infty$, $\inf \mathbb{N}=\min \mathbb{N}=0$. $\sup \mathbb{Z}=+\infty$, $\inf \mathbb{Z}=-\infty$. Pentru $(-\infty ,6]$: $\sup =\max =6$, $\inf =-\infty$.

8. Pentru $4$: da, fiindcă $(3,8)$ e deschis și îl conține. Pentru $3$ și pentru $8$: nu — aceste puncte nici măcar nu aparțin mulțimii, deci nu poate exista un interval deschis care să le conțină și să fie inclus în $(3,8)$.

9. Trebuie $5-\epsilon \ge 4,5$ și $5+\epsilon \le 6$, deci $\epsilon \le 0,5$ și $\epsilon \le 1$. Merge orice $\epsilon \in (0;0,5]$, de exemplu $\epsilon =\frac{1}{4}$: intervalul $\left(\frac{19}{4},\frac{21}{4}\right)$ este inclus în $(4,5;6)$.

10. Pentru $0$: intervalul $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ îl conține pe $0$ și nu conține nici $1$, nici $2$, deci mulțimea e vecinătate a lui $0$. Pentru $1$: punctul $1$ nici nu aparține mulțimii, deci nu poate fi vorba de vecinătate.

11. $-4+(-\infty )=-\infty$; $\frac{-7}{+\infty }=0$; $2\cdot (-\infty )=-\infty$; $5^{+\infty }=+\infty$ (bază supraunitară); $(+\infty {)}^{-2}=0$ (exponent negativ).

12. Sunt nedeterminări: $0\cdot (-\infty )$, $(+\infty )-(+\infty )$ și $1^{+\infty }$. Nu sunt: $(+\infty )\cdot (+\infty )=+\infty$ și $\frac{3}{+\infty }=0$.

13. Majorantul „oficial", cel scris pe plăcuță, este $600$: nicio sarcină admisă nu îl depășește. Marginea superioară tehnică, adică cea mai mică barieră reală, ar fi $750$ — dar producătorul lasă intenționat o rezervă de siguranță. Exemplul arată exact diferența dintre „o barieră" și „cea mai bună barieră": prima e mai comodă și mai sigură, a doua e mai informativă.

14. $\frac{n+4}{n+1}=\frac{(n+1)+3}{n+1}=1+\frac{3}{n+1}$. Din $n\ge 1$ rezultă $n+1\ge 2$, deci $0<\frac{3}{n+1}\le \frac{3}{2}$ și $1<x\le \frac{5}{2}$. Așadar $\sup D=\max D=\frac{5}{2}$ (atins la $n=1$), iar $\inf D=1$, neatins.

15. Din $n\ge 1$ rezultă $0<\frac{2}{n}\le 2$, deci $3-2\le 3-\frac{2}{n}<3$, adică $1\le x<3$. Prin urmare $\inf E=\min E=1$ (atins la $n=1$), iar $\sup E=3$: e majorant, și e cel mai mic, fiindcă pentru orice $\epsilon >0$ condiția $\frac{2}{n}<\epsilon$ se realizează pentru $n>\frac{2}{\epsilon }$. Maximul nu există.

16. $\frac{0}{0}$ (de exemplu $\frac{x}{x}$ când ambele se micșorează spre $0$); $\frac{\infty }{\infty }$ ($\frac{2n}{n}$); $\infty -\infty$ ($2n-n$); $0\cdot \infty$ ($\frac{1}{n}\cdot n^2$); $1^{\infty }$ (baza $1+\frac{1}{n}$ la puterea $n$); ${\infty }^0$ (baza $n$ la puterea $\frac{1}{n}$); $0^0$ (baza $\frac{1}{n}$ la puterea $\frac{1}{n}$).

17. Fie $s=\sup B$. Cum $A\subseteq B$, orice $x\in A$ este și în $B$, deci $x\le s$: prin urmare $s$ e majorant și pentru $A$. Dar $\sup A$ este cel mai mic majorant al lui $A$, deci $\sup A\le s=\sup B$. Raționamentul cu minoranți dă $\inf A\ge \inf B$. Reține imaginea: o mulțime mai mică stă într-o „ramă" mai strâmtă.

18. Notăm $s=\sup A$. Pasul 1 — $-s$ e minorant pentru $-A$: pentru orice $x\in A$ avem $x\le s$, deci $-x\ge -s$; cum elementele lui $-A$ sunt exact numerele $-x$, toate sunt $\ge -s$. Pasul 2 — e cel mai mare minorant: fie $\epsilon >0$; din caracterizarea lui $\sup$, există $x_{\epsilon }\in A$ cu $x_{\epsilon }>s-\epsilon$, deci $-x_{\epsilon }<-s+\epsilon$, adică în $-A$ există un element mai mic decât $-s+\epsilon$. Prin urmare $\inf (-A)=-s=-\sup A$.

De reținut

• $\sup A$ = cel mai mic majorant, caracterizat de două condiții: (i) e majorant; (ii) pentru orice $\epsilon >0$ există în $A$ un element mai mare decât $\sup A-\epsilon$; analog pentru $\inf A$. Marginea nu e totuna cu maximul: $\max A$ există doar când $\sup A\in A$ — capătul închis dă maxim, capătul deschis doar margine.
• Axioma lui Cantor: orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are margine superioară în $\mathbb{R}$. $\mathbb{Q}$ nu are această proprietate — acolo e diferența esențială dintre cele două mulțimi.
• Dreapta reală încheiată este $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, cu $-\infty <x<+\infty$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$; pe ea, orice mulțime nevidă are $\sup$ și $\inf$. Operațiile permise sunt doar cele din tabel; $\frac{a}{0}$ nu este operație.
• Cele șapte nedeterminări, în ordine: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. Nu sunt rezultate, ci cazuri care cer prelucrarea expresiei.
• $V$ e vecinătate a lui $x_0$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ cu $x_0\in (a,b)\subseteq V$; vecinătățile lui $+\infty$ conțin un interval $(a,+\infty ]$, cele ale lui $-\infty$ conțin $[-\infty ,a)$.

Greșeli frecvente

• Spui că marginea superioară aparține mulțimii. Pentru $(0,1)$, $\sup =1\notin (0,1)$. Verifică întotdeauna separat apartenența, înainte de a scrie „$\max$".
• Demonstrezi doar jumătate. Arăți că $s$ e majorant și te oprești. Asta dovedește doar $\sup A\le s$; mai trebuie condiția (ii), altfel orice număr mare ar fi „margine superioară".
• Tratezi $+\infty$ ca pe un număr. Scrii $(+\infty )-(+\infty )=0$ „prin reducere". Este cazul de nedeterminare $\infty -\infty$: cele trei exemple din secțiunea $7$ dau $3$, $+\infty$ și $0$.
• Scrii $\frac{5}{0}=+\infty$. Împărțirea la $0$ nu e operație nici în $\mathbb{R}$, nici în $\overline{\mathbb{R}}$. Se studiază semnul numitorului și se scrie $\frac{5}{0^{+}}=+\infty$, respectiv $\frac{5}{0^{-}}=-\infty$ — și numai în contextul limitelor.
• Crezi că „vecinătate" înseamnă „conține punctul". Mulțimea $[2,7)$ îl conține pe $2$, dar nu e vecinătate a lui: punctul stă pe margine, fără loc în stânga. Condiția e ca punctul să fie în interiorul mulțimii.

Aplică acasă

1. Cel mai mic majorant din casă. Alege o mărime măsurabilă zilnic (durata dușului, minutele de mers pe jos, temperatura din cameră la ora $8$). Notează-i valorile o săptămână, apoi scrie: un majorant comod, un majorant „strâns" și maximul efectiv observat. Discută diferența dintre ele — e exact diferența dintre $M$ oarecare, $\sup$ și $\max$.

2. Vecinătăți cu rigla. Desenează o axă și marchează punctul $3$. Colorează pe rând mulțimile $(2,4)$, $[3,5)$, $(1,10)\setminus \{3\}$ și decide, pentru fiecare, dacă e vecinătate a lui $3$. Ultima e capcana: conține puncte oricât de apropiate de $3$, dar nu îl conține pe $3$ însuși.

3. Tabelul de operații, pe cartonașe. Scrie pe șapte cartonașe cele șapte nedeterminări și pe alte șapte rândurile tabelului operațiilor permise. Amestecă-le și sortează-le în două teancuri, „se poate calcula" și „trebuie prelucrat". Repetă până sortezi fără ezitare — e o distincție pe care o vei folosi la fiecare limită din acest an.

Pentru părinți și profesori

Lecția este piesa teoretică cea mai densă a începutului de analiză: ea introduce, într-o singură oră, trei obiecte noi (marginile unei mulțimi, dreapta reală încheiată, vecinătățile) care nu au corespondent în anii anteriori. Nu produce calcule spectaculoase, dar fără ea definiția limitei nu poate fi nici scrisă, nici înțeleasă.

Ce verifică lecția: (1) demonstrarea unei margini superioare prin ambele condiții din definiție; (2) distincția $\sup$ față de $\max$, cu exemple în care maximul lipsește; (3) aplicarea corectă a tabelului de operații cu $\pm \infty$ și recunoașterea cazurilor de nedeterminare; (4) decizia „este sau nu vecinătate", care se ia uitându-te dacă punctul are loc în jur. Întrebări bune de control: „Dă-mi o mulțime cu $\sup =5$ care nu are maxim", „De ce $\infty -\infty$ nu face $0$?", „De ce $[0,1]$ nu e vecinătate a lui $0$?".

La BAC M1, noțiunile apar aproape întotdeauna împachetate în probleme de șiruri: se cere încadrarea $m\le a_n\le M$, apoi identificarea celei mai bune bariere. Cele șapte nedeterminări sunt însă folosite la fiecare subiect de limite, deci lista trebuie știută pe de rost, în ordine. Semne că elevul a înțeles: nu confundă bariera cu valoarea atinsă și nu „calculează" cu infinitul în afara tabelului.

Întrebări frecvente

Ce este marginea superioară a unei mulțimi? Este cel mai mic majorant al mulțimii, notat $\sup A$. Se verifică prin două condiții: mai întâi că niciun element nu îl depășește, apoi că orice număr mai mic decât el este depășit de un element al mulțimii. A doua condiție este cea care spune că bariera e „lipită" de mulțime.

Care e diferența dintre $\sup A$ și $\max A$? Marginea superioară există pentru orice mulțime nevidă majorată, dar poate să nu aparțină mulțimii; maximul este marginea superioară atunci când ea aparține mulțimii. Intervalul $[2,5)$ are $\sup =5$ și nu are maxim, pe când $[2,5]$ are $\sup =\max =5$.

Ce spune axioma lui Cantor? Spune că orice mulțime nevidă și majorată de numere reale are margine superioară în mulțimea numerelor reale. Este proprietatea de completitudine, cea care deosebește $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$: mulțimea raționalelor pozitive cu pătratul sub $2$ e majorată, dar cel mai mic majorant al ei, $\sqrt{2}$, lipsește din $\mathbb{Q}$.

Ce este dreapta reală încheiată? Este mulțimea $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, cu ordinea prelungită prin $-\infty <x<+\infty$ pentru orice număr real $x$. Pe ea, o mulțime nemajorată primește $\sup =+\infty$, iar una neminorată primește $\inf =-\infty$, deci orice mulțime nevidă are margini.

Care sunt cele șapte cazuri de nedeterminare? În ordinea canonică: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. Ele nu sunt rezultate, ci situații în care răspunsul nu se poate decide fără o prelucrare prealabilă a expresiei.

Ce înseamnă că o mulțime este vecinătate a unui punct? Înseamnă că punctul stă în interiorul ei, cu loc în jur: există un interval deschis $(a,b)$ astfel încât punctul aparține lui $(a,b)$ și $(a,b)$ este inclus în mulțime. Nu e suficient ca mulțimea să conțină punctul — $[0,1]$ îl conține pe $0$, dar nu e vecinătate a lui $0$.

Ce sunt vecinătățile lui $+\infty$? Sunt mulțimile care conțin un interval de forma $(a,+\infty ]$, adică mulțimile care conțin toate numerele mai mari decât un anumit prag. Analog, vecinătățile lui $-\infty$ sunt cele care conțin un interval $[-\infty ,a)$. Cu ele se scrie, unitar, și „șirul se apropie de un număr", și „șirul crește nemărginit".

De ce am nevoie de vecinătăți dacă tot voi calcula limite cu formule? Pentru că formulele de calcul sunt consecințe ale definiției, iar definiția se scrie cu vecinătăți. Practic, ele îți dau limbajul în care se demonstrează unicitatea limitei, trecerea la limită în inegalități și criteriile de convergență — adică exact rezultatele pe care apoi le aplici mecanic.