Comportament asimptotic citit pe grafic

Pui o cană cu ceai fierbinte pe masă și, din cinci în cinci minute, îi măsori temperatura. Notezi: $85$, $60$, $45$, $35$, $29$, apoi $24$ după o jumătate de oră, $21,5$ după trei sferturi de oră și $21$ după o oră. Dacă desenezi punctele, obții o curbă care coboară repede la început, apoi din ce în ce mai lin, până când pare că se culcă pe o linie orizontală. Linia aceea are un nume în camera ta: temperatura încăperii, $20$ de grade. Ceaiul se apropie de ea oricât de mult, dar nu coboară niciodată sub ea și, riguros vorbind, nici nu o atinge.

Iar acum o situație opusă: costul unei convorbiri internaționale scade cu cât vorbești mai mult, dar prețul pe minut nu poate coborî sub tariful operatorului; sau, în lecția despre câtul a două funcții, valorile funcției $\frac{1}{x-2}$ cresc peste orice margine când $x$ se apropie de $2$. În ambele cazuri graficul „se apropie de o dreaptă". Acest tip de comportament — spre capetele graficului sau lângă o valoare interzisă — se numește comportament asimptotic, iar în clasa a IX-a îl studiem exact așa cum îl vezi: pe grafic și pe tabele de valori, fără aparat de calcul complicat.

Ce vei învăța

• Vei ști să pui unui grafic cele două întrebări de capăt: ce se întâmplă când $x$ crește mult, respectiv când se apropie de o valoare interzisă.
• Vei ști să construiești un tabel de valori care arată clar comportamentul și să tragi din el concluzia corectă.
• Vei ști să recunoști pe desen o dreaptă verticală de care graficul se apropie fără să o atingă și una orizontală spre care valorile se așază.
• Vei ști să folosești rescrierea unei fracții, de tipul $\frac{2x-1}{x-3}=2+\frac{5}{x-3}$, ca să prevezi comportamentul fără să desenezi.
• Vei ști să compari ritmuri de creștere și să explici de ce unele funcții cresc nemărginit fără să aibă vreo dreaptă orizontală asociată.
• Vei ști să deosebești o ruptură adevărată de o simplă „gaură" în grafic.

Hai să descoperim împreună

1. Cele două întrebări de capăt

Când ai în față graficul unei funcții, îl citești mai întâi „la mijloc": intersecții cu axele, monotonie, puncte de extrem — tot ce ai exersat în lecția despre lectura grafică. Mai rămân însă două întrebări, pe care mulți elevi le sar:

1. Ce se întâmplă la capete? Adică: încotro se duc valorile funcției când $x$ crește foarte mult sau când scade foarte mult (spre stânga)?
2. Ce se întâmplă lângă valorile interzise? Adică: cum se comportă funcția în vecinătatea punctelor scoase din domeniu?

Răspunsurile la aceste două întrebări formează comportamentul asimptotic al funcției. Ele nu spun nimic despre o valoare anume, ci despre o tendință — despre încotro se îndreaptă lucrurile.

2. Lângă o valoare interzisă: valorile o iau razna

Luăm funcția $f(x)=\frac{2}{x-1}$, cu valoarea interzisă $1$, și facem un tabel dublu, apropiindu-ne din stânga și din dreapta:

Ce citim? Numitorul devine oricât de mic, deci fracția devine oricât de mare în valoare absolută. Formulăm precis, în limbajul potrivit clasei a IX-a:

Când $x$ se apropie de $1$ dinspre dreapta, valorile lui $f$ cresc peste orice prag; când $x$ se apropie de $1$ dinspre stânga, valorile scad sub orice prag.

„Peste orice prag" înseamnă exact ce spune: alege orice număr, oricât de mare — un milion, un miliard — și vei găsi valori ale funcției care îl depășesc, luând $x$ suficient de aproape de $1$.

Pe grafic, cele două ramuri urcă și coboară de-a lungul dreptei verticale $x=1$, apropiindu-se de ea oricât de mult, fără să o atingă vreodată. Dreapta aceasta se numește asimptotă verticală a graficului.

Atenție la o confuzie clasică. Nu orice valoare interzisă produce o asimptotă verticală. Funcția $g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ are valoarea interzisă $3$, dar pe domeniul ei $g(x)=x+3$: lângă $3$ valorile se apropie liniștit de $6$, fără nicio explozie. Graficul are doar o gaură în $(3,6)$, nu o ruptură. Ca să știi în care caz ești, verifică dacă fracția se simplifică.

3. La capete: valorile se așază pe un nivel

A doua întrebare. Luăm $f(x)=\frac{1}{x}$ și mergem cu $x$ spre valori mari:

Valorile se apropie de $0$ — oricât de mult, dar fără să ajungă la $0$ (o fracție cu numărătorul $1$ nu poate fi niciodată nulă). Dreapta orizontală $y=0$, adică axa $Ox$, se numește asimptotă orizontală a graficului.

Un exemplu mai interesant, cu un nivel diferit de zero: $g(x)=\frac{2x+1}{x-1}$.

Valorile se strâng în jurul lui $2$: de deasupra, când venim dinspre valori mari pozitive, de dedesubt, când venim dinspre valori mari negative. Dreapta $y=2$ este asimptota orizontală.

De unde vine $2$? Din raportul coeficienților dominanți, $\frac{2}{1}$ — dar nu învăța asta ca formulă. Învață explicația, care e mai simplă și îți dă și direcția de apropiere.

4. Trucul rescrierii: separă partea constantă

Pentru un cât de funcții afine, există o rescriere care face totul evident. Împărțim, ca la numere:

$$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.$$

Verificare: $2(x-1)+3=2x-2+3=2x+1$ ✓. Acum citim direct, fără tabel:

• Lângă $x=1$: termenul $\frac{3}{x-1}$ crește peste orice prag în valoare absolută, iar $2$ nu contează pe lângă el $\Rightarrow$ asimptotă verticală $x=1$.
• La capete: când $x$ crește mult, $\frac{3}{x-1}$ devine oricât de mic, deci $g(x)$ se apropie de $2$ $\Rightarrow$ asimptotă orizontală $y=2$. Mai mult: pentru $x>1$ termenul adăugat e pozitiv, deci graficul stă deasupra dreptei $y=2$; pentru $x<1$ e negativ, deci graficul stă dedesubt.

Alt exemplu: $\frac{4x-1}{x+2}=4-\frac{9}{x+2}$, pentru că $4(x+2)-9=4x+8-9=4x-1$ ✓. Asimptote: $x=-2$ (verticală) și $y=4$ (orizontală).

Aceeași rescriere explică și costul mediu din lecția precedentă: $C(x)=\frac{1800+12x}{x}=12+\frac{1800}{x}$. Nivelul spre care coboară costul, $12$ lei, se citește pur și simplu din formă.

5. Cum citești comportamentul direct de pe grafic

Dacă ai desenul, nu ai nevoie de niciun calcul. Procedezi așa:

Un detaliu de vocabular: spunem că graficul se apropie „oricât de mult" de asimptotă, nu că „ajunge la ea". Instrumentul matematic riguros care descrie această apropiere se numește limită și se studiază în clasa a XI-a; în clasa a IX-a descriem comportamentul cu tabele de valori și cu cuvinte, ceea ce este exact ce cere programa.

6. Ritmuri de creștere: nemărginit, dar nu la fel

Nu orice funcție care crește are o asimptotă orizontală. Compară trei funcții cunoscute, la valori din ce în ce mai mari:

Toate trei cresc peste orice prag, deci niciuna nu are asimptotă orizontală. Dar ritmurile diferă enorm: funcția radical urcă tot mai lent, funcția afină urcă în ritm constant, iar funcția de gradul al doilea urcă tot mai repede. La $x=10000$, radicalul e la $100$, iar pătratul la o sută de milioane.

Reține deci distincția: „valorile cresc nemărginit" și „valorile se apropie de un nivel" sunt două comportamente diferite, iar comportamentul asimptotic al unei funcții înseamnă a spune, corect, în care dintre ele te afli.

7. Patru situații practice, citite corect

• Ceaiul care se răcește. Temperatura coboară spre temperatura camerei; nivelul $20$ de grade este o asimptotă orizontală. Nu va coborî sub ea și nici nu o va atinge exact.
• Costul mediu. $C(x)=12+\frac{1800}{x}$ coboară spre $12$ lei: partea fixă se împarte la tot mai mulți, dar partea variabilă rămâne.
• Concentrația unui medicament. Dacă $c(t)=\frac{120}{t+4}$ (miligrame pe litru, la $t$ ore de la administrare), atunci $c(0)=30$, $c(8)=10$, $c(20)=5$, $c(56)=2$: concentrația scade spre $0$, dar teoretic nu ajunge la zero.
• Timpul de parcurs. $t(v)=\frac{300}{v}$ scade spre $0$ când viteza crește — fizica pune limite pe care matematica formulei nu le cunoaște. Aici, ca peste tot, modelul se citește în contextul lui.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Comportamentul lângă o valoare interzisă

Descrieți comportamentul funcției $f(x)=\frac{1}{x-5}$ în apropierea valorii $5$.

Rezolvare. Valoarea interzisă este $5$. Calculăm: $f(4,9)=\frac{1}{-0,1}=-10$; $f(4,99)=-100$; $f(5,01)=100$; $f(5,1)=10$.

Deci: venind dinspre stânga, valorile scad sub orice prag; venind dinspre dreapta, cresc peste orice prag. Graficul are asimptota verticală $x=5$: cele două ramuri se apropie de această dreaptă fără să o atingă.

Exemplul 2 — Comportamentul la capete

Ce se întâmplă cu valorile funcției $f(x)=\frac{3x}{x+2}$ când $x$ crește foarte mult?

Rezolvare. Tabel: $f(10)=\frac{30}{12}=2,5$; $f(100)=\frac{300}{102}\approx 2,941$; $f(1000)=\frac{3000}{1002}\approx 2,994$.

Valorile se apropie de $3$. Confirmăm prin rescriere: $\frac{3x}{x+2}=\frac{3(x+2)-6}{x+2}=3-\frac{6}{x+2}$, iar termenul $\frac{6}{x+2}$ devine oricât de mic când $x$ crește. Asimptotă orizontală: $y=3$, cu graficul situat sub ea pentru $x>-2$.

Lângă valoarea interzisă $-2$: $f(-1,9)=\frac{-5,7}{0,1}=-57$ și $f(-2,1)=\frac{-6,3}{-0,1}=63$ — valorile o iau razna, deci $x=-2$ este asimptotă verticală.

Exemplul 3 — Costul care nu poate coborî oricât

Excursia costă $2400$ de lei transportul și $9$ lei de persoană masa. Studiați costul pe participant.

Rezolvare. $C(x)=\frac{2400+9x}{x}=9+\frac{2400}{x}$.

Valori: $C(100)=33$ lei; $C(600)=\frac{7800}{600}=13$ lei; $C(2400)=\frac{24000}{2400}=10$ lei.

Cu cât cresc participanții, cu atât termenul $\frac{2400}{x}$ se micșorează, deci costul coboară spre $9$ lei — nivelul cheltuielii variabile. Nu se atinge niciodată: oricâți ați fi, mai rămâne ceva de plătit din transport. Graficul are asimptota orizontală $y=9$ (și, matematic, asimptota verticală $x=0$, fără sens practic).

Exemplul 4 — Când NU există asimptotă orizontală

Are graficul funcției $f(x)=x^2-4x$ vreo asimptotă orizontală?

Rezolvare. Nu. Valorile cresc nemărginit la ambele capete: $f(100)=10000-400=9600$, $f(1000)=1000000-4000=996000$, iar la stânga $f(-100)=10000+400=10400$.

Nicio dreaptă orizontală $y=m$ nu poate fi „urmărită" de grafic: oricare ar fi $m$, valorile funcției îl depășesc de la un moment încolo. Parabolele nu au niciodată asimptote — nici verticale (sunt definite peste tot), nici orizontale. $■$

Exemplul 5 — Gaură, nu asimptotă

Studiați comportamentul funcției $g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ în apropierea lui $3$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Simplificăm: $g(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ pentru $x\ne 3$.

Valori de probă: $g(2,9)=5,9$; $g(2,99)=5,99$; $g(3,01)=6,01$. Valorile nu explodează — se apropie liniștit de $6$ din ambele părți.

Concluzie: nu există asimptotă verticală în $3$; graficul este dreapta $y=x+3$ cu un punct lipsă în $(3,6)$. Regula practică: dacă fracția se simplifică și valoarea interzisă dispare din numitor, ai o gaură; dacă rămâne, ai o asimptotă verticală. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră $f(x)=\frac{2x-1}{x-3}$. a) Determinați domeniul. b) Arătați că $f(x)=2+\frac{5}{x-3}$ pentru orice $x$ din domeniu. c) Descrieți comportamentul graficului lângă $x=3$ și la capete.

Rezolvare. a) Din $x-3=0$ rezultă $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

b) $2+\frac{5}{x-3}=\frac{2(x-3)+5}{x-3}=\frac{2x-6+5}{x-3}=\frac{2x-1}{x-3}$ ✓.

c) Lângă $3$: termenul $\frac{5}{x-3}$ devine oricât de mare în valoare absolută — pozitiv la dreapta lui $3$, negativ la stânga. Deci valorile cresc peste orice prag venind din dreapta și scad sub orice prag venind din stânga: asimptotă verticală $x=3$. Probe: $f(3,01)=2+500=502$; $f(2,99)=2-500=-498$.

La capete: când $x$ crește sau scade mult, $\frac{5}{x-3}$ devine oricât de mic, deci valorile se apropie de $2$: asimptotă orizontală $y=2$. Probe: $f(100)\approx 2,0515$; $f(1000)\approx 2,005$. Graficul stă deasupra dreptei $y=2$ pentru $x>3$ și sub ea pentru $x<3$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie concluzia în cuvinte („valorile cresc peste orice prag", „valorile se apropie de …"), nu doar un număr.

1. Determină valoarea interzisă a funcției $f(x)=\frac{1}{x-5}$ și descrie comportamentul graficului în apropierea ei.

2. Completează tabelul de valori pentru $f(x)=\frac{1}{x+1}$ în punctele $-0,9$; $-0,99$; $-1,1$; $-1,01$ și trage concluzia.

3. Pentru $f(x)=\frac{3}{x}$, calculează valorile în $10$, $100$, $1000$ și $-10$. Spre ce nivel se îndreaptă valorile când $x$ crește?

4. Arată că $\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}$ și precizează asimptota orizontală a graficului.

5. Arată că $\frac{4x-1}{x+2}=4-\frac{9}{x+2}$ și determină ambele asimptote.

6. Care dintre funcțiile $f(x)=x^2$ și $g(x)=5x$ ia valori mai mari pentru $x$ foarte mare? Susține răspunsul cu un tabel pentru $x\in \{1,5,10,100\}$.

7. Compară creșterea funcțiilor $\sqrt{x}$ și $x$ pe valorile $1$, $4$, $16$, $100$, $10000$. Are vreuna asimptotă orizontală?

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție ale cărei valori cresc nemărginit are o asimptotă orizontală."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice valoare interzisă din domeniul unei funcții dă o asimptotă verticală."

10. (Problemă aplicată.) Temperatura unui ceai, măsurată din $5$ în $5$ minute, este: $85$, $60$, $45$, $35$, $29$, apoi $24$ la $30$ de minute și $21$ la $60$ de minute. Camera are $20$ de grade. a) Descrie comportamentul șirului de valori. b) Va ajunge ceaiul la $19$ grade? Argumentează.

11. (Problemă aplicată.) Costul pe participant este $C(x)=\frac{2400+9x}{x}$. a) Calculează $C(100)$, $C(600)$, $C(2400)$. b) Rescrie formula ca sumă și precizează nivelul spre care coboară costul.

12. (Problemă aplicată.) Timpul de parcurs al unei distanțe de $300$ km este $t(v)=\frac{300}{v}$. Calculează $t(50)$, $t(100)$, $t(150)$ și explică de ce timpul nu poate ajunge la zero.

13. Un grafic are o dreaptă verticală punctată în $x=-4$, de care se apropie două ramuri, și se turtește la dreapta pe dreapta $y=1$. Descrie în cuvinte ambele comportamente și scrie ce valoare este exclusă din domeniu.

14. Arată că $\frac{x+3}{x-1}=1+\frac{4}{x-1}$ și precizează cele două asimptote, indicând și de care parte a asimptotei orizontale se află graficul pentru $x>1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră $f(x)=\frac{5x+2}{x+1}$. a) Determină domeniul. b) Arată că $f(x)=5-\frac{3}{x+1}$. c) Descrie comportamentul la capete și lângă valoarea interzisă.

16. (Problemă aplicată.) Numărul de utilizatori ai unei aplicații, în mii, a fost: $12$, $27$, $38$, $44$, $47$, $48,5$, $49,3$, $49,7$ în opt luni consecutive. Ce comportament observi și ce prognoză rezonabilă faci pentru luna a douăsprezecea?

17. Compară comportamentul funcțiilor $\frac{1}{x}$ și $\frac{1}{x^2}$ pentru $x=10$ și $x=100$. Ambele se apropie de același nivel — care se apropie mai repede?

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât graficul funcției $f(x)=\frac{ax+b}{x-2}$ să aibă asimptota orizontală $y=3$ și să taie axa $Ox$ în punctul de abscisă $1$.

Răspunsuri și explicații

1. Valoarea interzisă este $5$. Probe: $f(4,9)=-10$, $f(4,99)=-100$, $f(5,01)=100$, $f(5,1)=10$. Venind din stânga, valorile scad sub orice prag; venind din dreapta, cresc peste orice prag. Graficul are asimptota verticală $x=5$.

2. $f(-0,9)=\frac{1}{0,1}=10$; $f(-0,99)=100$; $f(-1,1)=\frac{1}{-0,1}=-10$; $f(-1,01)=-100$. Concluzie: lângă $-1$, valorile cresc peste orice prag dinspre dreapta și scad sub orice prag dinspre stânga — asimptotă verticală $x=-1$.

3. $f(10)=0,3$; $f(100)=0,03$; $f(1000)=0,003$; $f(-10)=-0,3$. Valorile se apropie de $0$ atât la dreapta (de sus), cât și la stânga (de jos): asimptota orizontală este $y=0$.

4. $1+\frac{5}{x}=\frac{x+5}{x}$ ✓. Când $x$ crește mult, termenul $\frac{5}{x}$ devine oricât de mic, deci valorile se apropie de $1$: asimptotă orizontală $y=1$. (Asimptota verticală este $x=0$.)

5. $4-\frac{9}{x+2}=\frac{4(x+2)-9}{x+2}=\frac{4x+8-9}{x+2}=\frac{4x-1}{x+2}$ ✓. Asimptotă verticală: $x=-2$ (acolo termenul $\frac{9}{x+2}$ crește nemărginit în valoare absolută). Asimptotă orizontală: $y=4$. Probe: $f(10)=3,25$; $f(100)\approx 3,912$.

6. Tabel: la $x=1$, $x^2=1$ și $5x=5$; la $x=5$, ambele dau $25$; la $x=10$, $x^2=100$ și $5x=50$; la $x=100$, $x^2=10000$ și $5x=500$. Pentru $x$ mare, $x^2$ ia valori mult mai mari — deși pe intervalul $(0,5)$ funcția liniară era în față. Ritmul de creștere, nu valoarea de start, decide comportamentul la capete.

7. $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{10000}=100$, față de $1$, $4$, $16$, $100$, $10000$. Radicalul crește tot mai lent, dar nemărginit: nicio dreaptă orizontală nu îl oprește. Niciuna dintre cele două funcții nu are asimptotă orizontală.

8. Fals. Asimptota orizontală apare doar când valorile se stabilizează în jurul unui nivel. Dacă valorile cresc nemărginit, ele depășesc de la un moment încolo orice dreaptă orizontală $y=m$, deci nicio astfel de dreaptă nu poate fi asimptotă. Contraexemple: $f(x)=x^2$, $f(x)=2x+1$, $f(x)=\sqrt{x}$.

9. Fals. Contraexemplu: $g(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ are valoarea interzisă $3$, dar pe domeniu $g(x)=x+3$, iar lângă $3$ valorile se apropie liniștit de $6$ (de exemplu $g(2,99)=5,99$). Graficul are doar o gaură în $(3,6)$, nu o asimptotă. Asimptota verticală apare când fracția nu se simplifică.

10. a) Temperatura scade repede la început, apoi din ce în ce mai lent, iar valorile se apropie de $20$ de grade: $85\to 60\to 45\to 35\to 29\to 24\to 21$. Diferențele față de $20$ se micșorează de fiecare dată. b) Nu. Ceaiul cedează căldură camerei doar cât timp este mai cald decât ea; la $20$ de grade schimbul se oprește. Nivelul $20$ funcționează ca asimptotă orizontală: se apropie oricât de mult de el, dar nu coboară sub el.

11. a) $C(100)=\frac{2400+900}{100}=33$ lei; $C(600)=\frac{7800}{600}=13$ lei; $C(2400)=\frac{24000}{2400}=10$ lei. b) $C(x)=9+\frac{2400}{x}$: costul coboară spre $9$ lei, nivelul cheltuielii de persoană, fără să îl atingă vreodată.

12. $t(50)=6$ ore; $t(100)=3$ ore; $t(150)=2$ ore. Cu cât viteza crește, cu atât timpul scade și se apropie de $0$, dar o fracție cu numărătorul $300$ nu poate fi niciodată nulă: pentru orice viteză finită rămâne un timp strict pozitiv. Nivelul $0$ este asimptotă orizontală.

13. Lângă $x=-4$, valorile funcției cresc sau scad peste orice prag, iar graficul se apropie de dreapta verticală $x=-4$ fără să o atingă — deci $-4$ este scoasă din domeniu. La dreapta, valorile se așază pe nivelul $1$: dreapta $y=1$ este asimptotă orizontală.

14. $1+\frac{4}{x-1}=\frac{(x-1)+4}{x-1}=\frac{x+3}{x-1}$ ✓. Asimptote: $x=1$ (verticală) și $y=1$ (orizontală). Pentru $x>1$, termenul $\frac{4}{x-1}$ este pozitiv, deci graficul se află deasupra dreptei $y=1$. Probe: $f(10)\approx 1,444$; $f(100)\approx 1,040$.

15. a) $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. b) $5-\frac{3}{x+1}=\frac{5(x+1)-3}{x+1}=\frac{5x+5-3}{x+1}=\frac{5x+2}{x+1}$ ✓. c) Lângă $-1$: termenul $\frac{3}{x+1}$ crește nemărginit în valoare absolută, deci $x=-1$ este asimptotă verticală (valorile scad sub orice prag venind din dreapta, cresc peste orice prag venind din stânga). La capete: $\frac{3}{x+1}$ devine oricât de mic, deci valorile se apropie de $5$ — asimptotă orizontală $y=5$. Probe: $f(10)\approx 4,727$; $f(100)\approx 4,970$.

16. Creșterea este rapidă la început și tot mai lentă apoi, iar valorile se apropie de $50$ de mii: diferențele față de $50$ sunt $38$, $23$, $12$, $6$, $3$, $1,5$, $0,7$, $0,3$ — se înjumătățesc aproximativ la fiecare pas. O prognoză rezonabilă pentru luna a douăsprezecea este ceva sub $50$ de mii, foarte aproape de această valoare (de exemplu $49,9$–$50$). Comportamentul este de tip saturație: nivelul $50$ joacă rol de asimptotă orizontală, adică de piață maximă.

17. La $x=10$: $\frac{1}{x}=0,1$ și $\frac{1}{x^2}=0,01$. La $x=100$: $\frac{1}{x}=0,01$ și $\frac{1}{x^2}=0,0001$. Ambele se apropie de $0$ (aceeași asimptotă orizontală, $y=0$), dar a doua se apropie mult mai repede: la $x=100$ este deja de o sută de ori mai mică decât prima.

18. Rescriem, ca să vedem nivelul: $\frac{ax+b}{x-2}=\frac{a(x-2)+(b+2a)}{x-2}=a+\frac{b+2a}{x-2}$. Când $x$ crește mult, al doilea termen devine oricât de mic, deci valorile se apropie de $a$. Condiția „asimptotă orizontală $y=3$" dă $a=3$.

Condiția „taie axa $Ox$ în $x=1$" cere ca numărătorul să se anuleze acolo: $a+b=0$, deci $b=-3$. Funcția este $f(x)=\frac{3x-3}{x-2}=3+\frac{3}{x-2}$.

Verificare: $f(1)=\frac{0}{-1}=0$ ✓; $f(10)=3,375$ și $f(100)\approx 3,031$, valori care se apropie de $3$ ✓. Bonus: asimptota verticală este $x=2$.

De reținut

• Comportamentul asimptotic răspunde la două întrebări: ce se întâmplă cu valorile la capete (când $x$ crește sau scade mult) și ce se întâmplă lângă valorile interzise.
• Asimptotă verticală: lângă o valoare interzisă, valorile cresc peste orice prag sau scad sub orice prag, iar graficul se apropie de o dreaptă verticală fără să o atingă.
• Asimptotă orizontală: la capete, valorile se așază pe un nivel; dreapta orizontală corespunzătoare este urmărită de grafic oricât de aproape, dar nivelul nu se atinge la funcțiile studiate aici.
• Rescrierea $\frac{ax+b}{cx+d}=k+\frac{r}{cx+d}$ arată imediat ambele asimptote: $k$ dă nivelul orizontal, iar zeroul numitorului dă dreapta verticală.
• Nu orice creștere are asimptotă orizontală (funcțiile afine, de gradul al doilea și radical cresc nemărginit) și nu orice valoare interzisă dă asimptotă verticală (dacă fracția se simplifică, apare doar o gaură în grafic).

Greșeli frecvente

• Spui că graficul „atinge" asimptota. Corect este „se apropie oricât de mult de ea". La funcțiile din această lecție, valoarea de pe asimptotă nu este atinsă niciodată.
• Confunzi asimptota verticală cu gaura. Verifică întâi dacă fracția se simplifică: dacă da, valorile se comportă liniștit și lipsește doar un punct.
• Cauți asimptotă orizontală la o parabolă. O funcție de gradul al doilea crește nemărginit la ambele capete; nicio dreaptă orizontală nu îi poate ține pasul.
• Tragi concluzia dintr-o singură valoare. Ca să descrii o tendință, ai nevoie de mai multe valori, tot mai apropiate de punctul critic sau tot mai mari — altfel nu vezi direcția, ci doar un număr.
• Uiți partea de stânga. Comportamentul la capete se cercetează în ambele sensuri, iar lângă o valoare interzisă se cercetează atât venind din stânga, cât și din dreapta: semnele pot fi diferite.

Aplică acasă

1. Experimentul cu ceaiul. Măsoară din $5$ în $5$ minute temperatura unei căni cu apă fierbinte lăsate pe masă (dacă nu ai termometru, folosește datele din lecție). Notează și temperatura camerei. Desenează punctele pe hârtie milimetrică, trage cu linie punctată nivelul camerei și scrie sub desen o propoziție care descrie comportamentul asimptotic.

2. Nivelul din tarif. Ia un abonament real (telefon, transport, sală) cu o parte fixă și una variabilă și construiește funcția „cost mediu pe unitate". Rescrie-o sub forma „constantă plus fracție" și verifică, cu trei valori, că se apropie de constantă. Explică în cuvinte ce reprezintă acea constantă în viața reală.

3. Vânătoarea de asimptote pe ecran. Într-o aplicație de grafice, trasează pe rând $y=\frac{1}{x}$, $y=\frac{2x+1}{x-1}$, $y=x^2$ și $y=\sqrt{x}$. Pentru fiecare, mărește fereastra până la $x=1000$ și notează dacă graficul se așază pe o orizontală sau continuă să urce. Fă un tabel cu patru rânduri: funcție, asimptotă verticală, asimptotă orizontală, observație.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă cerința explicită a programei de a extrage din reprezentări grafice informații privind comportamentul asimptotic, la nivel intuitiv și descriptiv. Nu se introduce nicio formalizare: elevul lucrează cu tabele de valori și cu formulări de tipul „valorile cresc peste orice prag" sau „valorile se apropie de nivelul $k$". Instrumentul riguros aparține clasei a XI-a și este menționat aici doar ca reper, fără definiție.

Trei deprinderi merită urmărite: alcătuirea unui tabel de valori cu pași din ce în ce mai mici lângă valoarea interzisă (respectiv din ce în ce mai mari la capete); rescrierea unui cât de funcții afine sub forma „constantă plus fracție", care face nivelul vizibil fără calcule; și distincția dintre ruptură și gaură. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că graficul are o asimptotă verticală în $x=3$?"; „Are $y=x^2$ asimptotă orizontală? De ce nu?"; „De ce costul mediu nu poate coborî sub partea variabilă?".

Semne că a înțeles: descrie comportamentul în cuvinte, nu doar prin numere; verifică ambele sensuri de apropiere; nu spune că graficul „atinge" asimptota; și recunoaște singur, într-o problemă practică, nivelul de saturație. La Bacalaureat, sarcina apare în forma din Exemplul 6 — domeniu, rescriere, descrierea comportamentului — și pregătește direct studiul funcțiilor din clasele următoare.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă comportament asimptotic? Înseamnă modul în care se comportă valorile unei funcții „la margini": când $x$ crește sau scade foarte mult și când $x$ se apropie de o valoare scoasă din domeniu. Nu descrie o valoare anume, ci o tendință.

Ce este o asimptotă verticală? O dreaptă verticală de care graficul se apropie oricât de mult, fără să o atingă, pentru că lângă abscisa ei valorile funcției cresc peste orice prag sau scad sub orice prag. Ea trece printr-o valoare interzisă din domeniu.

Ce este o asimptotă orizontală? O dreaptă orizontală spre care se așază valorile funcției când $x$ crește sau scade foarte mult. De exemplu, la costul mediu $C(x)=9+\frac{2400}{x}$, dreapta $y=9$ este asimptotă orizontală.

Cum aflu asimptotele unui cât de funcții afine fără să desenez? Rescrii fracția sub forma „constantă plus fracție cu numitorul dat", de exemplu $\frac{2x-1}{x-3}=2+\frac{5}{x-3}$. Constanta îți dă nivelul orizontal, iar zeroul numitorului îți dă dreapta verticală.

Poate graficul să atingă asimptota? La funcțiile studiate în clasa a IX-a, nu: apropierea este oricât de mare, dar valoarea nu se atinge. De aceea formularea corectă este „se apropie oricât de mult", nu „ajunge la".

Orice funcție are asimptote? Nu. Funcțiile afine, cele de gradul al doilea și funcția radical nu au asimptote: sunt definite peste tot pe domeniul lor și valorile lor cresc nemărginit, depășind orice dreaptă orizontală.

Cum deosebesc o asimptotă verticală de o „gaură" în grafic? Verifici dacă fracția se simplifică. Dacă factorul care se anula la numitor dispare prin simplificare, lângă acel punct valorile se comportă liniștit și lipsește doar un punct din grafic; dacă nu dispare, valorile o iau razna și ai o asimptotă verticală.

Unde întâlnesc comportament asimptotic în viața de zi cu zi? La răcirea unui obiect spre temperatura camerei, la costul mediu care coboară spre partea variabilă, la concentrația unui medicament care scade spre zero, la numărul de utilizatori ai unei aplicații care se apropie de piața maximă disponibilă.