Formula lui Moivre. Puteri cu exponent întreg

Încearcă, doar ca experiment, să calculezi $(1+i{)}^{20}$ desfăcând paranteza. Ai nevoie de dezvoltarea binomului lui Newton cu $21$ de termeni, fiecare cu puterea lui $i$ calculată separat, apoi de o adunare lungă în care o singură eroare de semn strică tot. Un elev harnic termină în douăzeci de minute. Un elev care cunoaște formula din această lecție termină în douăzeci de secunde și obține $-1024$.

Diferența nu vine din viteza de calcul, ci din alegerea limbajului. În lecția precedentă am văzut că la înmulțire modulele se înmulțesc și argumentele se adună. Dacă înmulțim un număr cu el însuși de $n$ ori, modulul se înmulțește cu el însuși de $n$ ori — adică se ridică la puterea $n$ — iar argumentul se adună cu el însuși de $n$ ori — adică se înmulțește cu $n$. Această observație, scrisă îngrijit și demonstrată riguros, poartă numele matematicianului francez Abraham de Moivre și este cel mai eficient instrument din tot capitolul.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți formula lui Moivre și să o demonstrezi prin inducție matematică.
• Vei ști să o extinzi la exponenți întregi negativi și să justifici extinderea.
• Vei ști să calculezi puteri mari ale unui număr complex, scriindu-l întâi trigonometric.
• Vei ști să reduci argumentul $n\phi$ la intervalul $[0,2\pi )$, prin scăderea multiplilor de $2\pi$.
• Vei ști să determini cel mai mic exponent pentru care o putere devine reală sau pur imaginară.
• Vei ști să deduci din Moivre formulele unghiului dublu și triplu pentru sinus și cosinus.

Hai să descoperim împreună

1. De la înmulțire repetată la formulă

Fie $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$. Aplicând teorema înmulțirii de câteva ori, obținem:

$$z^2=r\cdot r(\cos (\phi +\phi )+i\sin (\phi +\phi ))=r^2(\cos 2\phi +i\sin 2\phi ),$$

$$z^3=z^2\cdot z=r^2\cdot r(\cos (2\phi +\phi )+i\sin (2\phi +\phi ))=r^3(\cos 3\phi +i\sin 3\phi ).$$

Tiparul se vede cu ochiul liber: modulul se ridică la putere, argumentul se înmulțește cu exponentul. Dar „se vede cu ochiul liber" nu este o demonstrație, iar la mate-info diferența contează. O verificăm riguros, prin inducție.

2. Formula lui Moivre pentru exponent natural

Teoremă (Moivre). Pentru orice $\phi \in \mathbb{R}$ și orice $n\in \mathbb{N}$,

$$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi .$$

Demonstrație prin inducție matematică.

Verificarea: pentru $n=0$, membrul stâng este $1$, iar membrul drept este $\cos 0+i\sin 0=1$ ✓. Pentru $n=1$, ambii membri sunt $\cos \phi +i\sin \phi$ ✓.

Pasul inductiv: presupunem afirmația adevărată pentru un $k\in \mathbb{N}$, adică $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^k=\cos k\phi +i\sin k\phi$, și o demonstrăm pentru $k+1$:

$$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^{k+1}=(\cos \phi +i\sin \phi {)}^k(\cos \phi +i\sin \phi )=(\cos k\phi +i\sin k\phi )(\cos \phi +i\sin \phi ).$$

Aplicăm teorema înmulțirii pentru două numere de modul $1$:

$$=\cos (k\phi +\phi )+i\sin (k\phi +\phi )=\cos (k+1)\phi +i\sin (k+1)\phi .$$

Afirmația se transmite de la $k$ la $k+1$, deci, conform principiului inducției, este adevărată pentru orice $n\in \mathbb{N}$. $■$

Corolar (forma folosită în probleme). Pentru $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$ și $n\in \mathbb{N}$,

$$z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi ).$$

Într-adevăr, $z^n=r^n(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n$, iar parantezei i se aplică teorema.

3. Extinderea la exponenți întregi negativi

Programa cere puterea cu exponent întreg, deci trebuie să acoperim și $n<0$. Fie $z\ne 0$ și $n=-m$, cu $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Prin definiție, $z^{-m}=\frac{1}{z^m}$. Din corolarul de mai sus, $z^m=r^m(\cos m\phi +i\sin m\phi )$, iar din formula inversului,

$$z^{-m}=\frac{1}{r^m}(\cos (-m\phi )+i\sin (-m\phi ))=r^{-m}(\cos (-m\phi )+i\sin (-m\phi )).$$

Cum $-m=n$, aceasta este exact $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$. Prin urmare:

Formula lui Moivre este valabilă pentru orice exponent întreg $n\in \mathbb{Z}$, cu condiția $z\ne 0$ atunci când $n\le 0$.

Exemplu. Fie $z=1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. Atunci

$$z^{-3}=2^{-3}\left(\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)\right)=\frac{1}{8}(\cos \pi +i\sin \pi )=-\frac{1}{8},$$

unde am înlocuit argumentul $-\pi$ cu argumentul redus $-\pi +2\pi =\pi$. Verificare: $z^3=8(\cos \pi +i\sin \pi )=-8$, deci $z^{-3}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$ ✓.

4. Algoritmul de calcul al unei puteri

Pentru a calcula $z^n$, unde $z$ este dat în formă algebrică:

1. Scrie $z$ trigonometric: calculează $r=|z|$, stabilește cadranul, identifică $\phi \in [0,2\pi )$.
2. Aplică Moivre: modulul devine $r^n$, argumentul devine $n\phi$.
3. Redu argumentul: scade din $n\phi$ cel mai mare multiplu de $2\pi$ care încape, până ajungi în $[0,2\pi )$.
4. Revino la forma algebrică, dacă enunțul o cere, înlocuind valorile funcțiilor trigonometrice.

Pasul 3 este cel care se uită. Un argument de tipul $5\pi$ sau $\frac{22\pi }{3}$ este corect matematic, dar nu este redus, iar baremele cer forma standard.

5. Reducerea argumentului, în practică

Fie $n\phi$ argumentul obținut. Împarte $n\phi$ la $2\pi$ și păstrează restul; concret, dacă $n\phi =2k\pi +t$ cu $t\in [0,2\pi )$, atunci $t$ este argumentul redus.

Exemplu 1. $z=1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$, iar $n=20$. Modulul: ${\left(\sqrt{2}\right)}^{20}=2^{10}=1024$. Argumentul: $20\cdot \frac{\pi }{4}=5\pi$. Reducem: $5\pi -4\pi =\pi$. Deci

$$(1+i{)}^{20}=1024(\cos \pi +i\sin \pi )=-1024.$$

Verificare independentă: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^{20}=(2i{)}^{10}=2^{10}\cdot i^{10}=1024\cdot (i^2{)}^5=1024\cdot (-1)=-1024$ ✓.

Exemplu 2. $z=\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$, iar $n=12$. Modulul: $2^{12}=4096$. Argumentul: $12\cdot \frac{\pi }{6}=2\pi$, care se reduce la $0$. Deci $(\sqrt{3}+i{)}^{12}=4096(\cos 0+i\sin 0)=4096$, un număr real pozitiv.

Exemplu 3. $z=-1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$, iar $n=9$. Modulul: $2^9=512$. Argumentul: $9\cdot \frac{2\pi }{3}=6\pi$, care se reduce la $0$. Deci ${\left(-1+i\sqrt{3}\right)}^9=512$.

6. Când devine puterea reală sau pur imaginară?

Formula transformă o întrebare grea într-una despre unghiuri. Numărul $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$ este:

• real exact când $\sin n\phi =0$, adică $n\phi$ este multiplu de $\pi$;
• real pozitiv când $n\phi$ este multiplu par de $\pi$, adică multiplu de $2\pi$;
• real negativ când $n\phi$ este multiplu impar de $\pi$;
• pur imaginar exact când $\cos n\phi =0$, adică $n\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$.

Exemplu. Care este cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^n$ este real? Aici $\phi =\frac{\pi }{6}$, deci cerem ca $\frac{n\pi }{6}$ să fie multiplu de $\pi$, adică $n$ să fie multiplu de $6$. Cel mai mic este $n=6$, iar

$${\left(\sqrt{3}+i\right)}^6=2^6(\cos \pi +i\sin \pi )=-64.$$

Am verificat și că pentru $n\in \{1,2,3,4,5\}$ rezultatul nu este real, deci $6$ este într-adevăr minimul.

7. Moivre ca fabrică de formule trigonometrice

Formula are și un al doilea folos, la fel de important: leagă puterile de formulele unghiului multiplu. Ideea este să scrii aceeași expresie în două feluri și să identifici părțile reale și imaginare.

Cazul $n=2$. Din Moivre, $(\cos x+i\sin x{)}^2=\cos 2x+i\sin 2x$. Pe de altă parte, dezvoltând pătratul,

$$(\cos x+i\sin x{)}^2={\cos }^{2}x+2i\sin x\cos x+i^2{\sin }^{2}x=\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)+i\left(2\sin x\cos x\right).$$

Două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară, deci

$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x,\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Sunt exact formulele unghiului dublu, obținute acum într-un mod nou, cu trei rânduri de calcul.

Cazul $n=3$. Dezvoltăm cu binomul lui Newton, notând $c=\cos x$ și $s=\sin x$:

$$(c+is{)}^3=c^3+3c^2(is)+3c(is{)}^2+(is{)}^3=c^3+3i{c}^{2}s-3c{s}^2-i{s}^3=\left(c^3-3c{s}^2\right)+i\left(3c^{2}s-s^3\right).$$

Egalând cu $\cos 3x+i\sin 3x$ și folosind $s^2=1-c^2$, respectiv $c^2=1-s^2$, obținem formele standard:

$$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x,\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x.$$

Control numeric: pentru $x=\frac{\pi }{6}$, membrul drept al primei formule dă $4\cdot {\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=0=\cos \frac{\pi }{2}$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aplicare directă pe cercul unitate

Calculați ${\left(\cos \frac{\pi }{5}+i\sin \frac{\pi }{5}\right)}^{10}$.

Rezolvare. Modulul este $1$, deci rămâne $1$ la orice putere. Argumentul devine $10\cdot \frac{\pi }{5}=2\pi$, care se reduce la $0$. Prin urmare

$${\left(\cos \frac{\pi }{5}+i\sin \frac{\pi }{5}\right)}^{10}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1.$$

Geometric: zece rotiri de câte $36^{\circ }$ înseamnă exact o tură completă, deci punctul revine în $1$.

Exemplul 2 — Puterea a douăzecea a lui $1+i$

Calculați $(1+i{)}^{20}$.

Rezolvare. Pasul 1: $r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$; semnele $(+,+)$ dau cadranul I; $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{4}$ și $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

Pasul 2: ${\left(\sqrt{2}\right)}^{20}=2^{10}=1024$ și $20\cdot \frac{\pi }{4}=5\pi$.

Pasul 3: $5\pi -2\cdot 2\pi =\pi$.

Pasul 4: $(1+i{)}^{20}=1024(\cos \pi +i\sin \pi )=-1024$.

Verificare: $(1+i{)}^2=2i$, iar $(2i{)}^{10}=1024\cdot i^{10}=-1024$ ✓.

Exemplul 3 — Un exponent care „se închide"

Calculați ${\left(\sqrt{3}-i\right)}^{12}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{3+1}=2$; semnele $(+,-)$ dau cadranul IV; $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{11\pi }{6}$.

Modulul puterii: $2^{12}=4096$. Argumentul: $12\cdot \frac{11\pi }{6}=22\pi$, care este multiplu de $2\pi$, deci se reduce la $0$. Așadar

$${\left(\sqrt{3}-i\right)}^{12}=4096(\cos 0+i\sin 0)=4096.$$

Observă simetria cu Exemplul din secțiunea 5: și ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^{12}$ dădea $4096$. Explicația: cele două numere sunt conjugate, iar conjugatul unei puteri este puterea conjugatului — dacă rezultatul este real, cele două coincid.

Exemplul 4 — Exponent negativ

Calculați ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^{-5}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{1+3}=2$; cadranul I; $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{3}$.

Aplicăm Moivre cu $n=-5$: modulul devine $2^{-5}=\frac{1}{32}$, iar argumentul $-5\cdot \frac{\pi }{3}=-\frac{5\pi }{3}$, negativ; adunăm $2\pi$: $-\frac{5\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$. Deci

$${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^{-5}=\frac{1}{32}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{32}\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{1}{64}+\frac{\sqrt{3}}{64}i.$$

Verificare: ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^5=32\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)=16-16i\sqrt{3}$, iar inversul acestui număr este $\frac{16+16i\sqrt{3}}{16^2+{\left(16\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{16+16i\sqrt{3}}{1024}=\frac{1}{64}+\frac{\sqrt{3}}{64}i$ ✓.

Exemplul 5 — Deducerea formulelor pentru $\cos 3x$ și $\sin 3x$

Folosind formula lui Moivre, exprimați $\cos 3x$ în funcție de $\cos x$ și $\sin 3x$ în funcție de $\sin x$.

Rezolvare. Scriem aceeași expresie în două feluri. Din Moivre:

$$(\cos x+i\sin x{)}^3=\cos 3x+i\sin 3x.$$

Din binomul lui Newton, cu $c=\cos x$, $s=\sin x$:

$$(c+is{)}^3=c^3+3i{c}^{2}s+3c(is{)}^2+(is{)}^3=\left(c^3-3c{s}^2\right)+i\left(3c^{2}s-s^3\right).$$

Identificăm părțile reale, apoi pe cele imaginare:

$$\cos 3x=c^3-3c{s}^2=c^3-3c\left(1-c^2\right)=4c^3-3c=4{\cos }^{3}x-3\cos x,$$

$$\sin 3x=3c^{2}s-s^3=3\left(1-s^2\right)s-s^3=3s-4s^3=3\sin x-4{\sin }^{3}x.$$

Control: pentru $x=\frac{\pi }{6}$ obținem $\sin \frac{\pi }{2}=3\cdot \frac{1}{2}-4\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră numărul complex $z=-1+i$. a) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. b) Calculați $z^8$. c) Determinați cel mai mic număr natural nenul $n$ pentru care $z^n$ este real pozitiv.

Rezolvare. a) $r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$; semnele $(-,+)$ dau cadranul II, deci $\phi \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$; $\cos \phi =-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\phi =\frac{3\pi }{4}$ și

$$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right).$$

b) Modulul: ${\left(\sqrt{2}\right)}^8=2^4=16$. Argumentul: $8\cdot \frac{3\pi }{4}=6\pi$, multiplu de $2\pi$, deci se reduce la $0$. Prin urmare $z^8=16(\cos 0+i\sin 0)=16$.

Verificare: $(-1+i{)}^2=1-2i+i^2=-2i$, iar $(-2i{)}^4=16i^4=16$ ✓.

c) $z^n$ este real pozitiv exact când $n\cdot \frac{3\pi }{4}$ este multiplu de $2\pi$, adică $\frac{3n}{4}=2k$ cu $k$ întreg, deci $3n=8k$. Cum $3$ și $8$ sunt prime între ele, $n$ trebuie să fie multiplu de $8$; cel mai mic este $n=8$, iar valoarea corespunzătoare, calculată la punctul b), este $16>0$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare putere parcurge cei patru pași: forma trigonometrică, aplicarea formulei, reducerea argumentului, revenirea la forma algebrică. Acolo unde poți, verifică rezultatul pe o cale a doua (de exemplu, ridicând la pătrat de mai multe ori).

1. Calculează ${\left(\cos \frac{\pi }{7}+i\sin \frac{\pi }{7}\right)}^{14}$.

2. Calculează ${\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)}^3$.

3. Calculează ${\left[2\left(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12}\right)\right]}^6$.

4. Calculează $(1+i{)}^8$.

5. Calculează $(1-i{)}^6$.

6. Calculează ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^6$.

7. Calculează ${\left(-1-i\sqrt{3}\right)}^6$.

8. Calculează ${\left(1+i\sqrt{3}\right)}^{10}$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Egalitatea $(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx$ are loc pentru orice număr întreg $n$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din formula lui Moivre rezultă că $[2(\cos x+i\sin x){]}^n=2(\cos nx+i\sin nx)$."

11. Calculează $(1+i{)}^{-4}$.

12. Calculează $z^{-2}$ pentru $z=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$.

13. Determină cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^n$ este număr real.

14. Determină cel mai mic $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ pentru care $(1+i{)}^n$ este număr real.

15. (Problemă aplicată.) Un punct luminos pornește din poziția de afix $3$ și, la fiecare secundă, afixul lui este înmulțit cu $\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$. a) După câte secunde revine, pentru prima dată, în punctul de plecare? b) Unde se află după $5$ secunde?

16. Calculează ${\left(\cos 20^{\circ }+i\sin 20^{\circ }\right)}^9$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $z=1-i\sqrt{3}$. a) Scrieți $z$ sub formă trigonometrică. b) Calculați $z^6$. c) Calculați $z^{-3}$.

18. (Provocare.) Folosind formula lui Moivre pentru $n=4$ și dezvoltarea binomului, deduceți formulele pentru $\cos 4x$ și $\sin 4x$ în funcție de $\cos x$ și $\sin x$.

Răspunsuri și explicații

1. Modulul rămâne $1$; argumentul devine $14\cdot \frac{\pi }{7}=2\pi$, redus la $0$. Rezultat: $\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$.

2. Argumentul devine $3\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$. Rezultat: $\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$.

3. Modulul: $2^6=64$; argumentul: $6\cdot \frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{2}$. Rezultat: $64\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=64i$.

4. $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$; modulul: ${\left(\sqrt{2}\right)}^8=16$; argumentul: $8\cdot \frac{\pi }{4}=2\pi$, redus la $0$. Rezultat: $16$. Verificare: $(1+i{)}^8=(2i{)}^4=16$ ✓.

5. $1-i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$; modulul: ${\left(\sqrt{2}\right)}^6=8$; argumentul: $6\cdot \frac{7\pi }{4}=\frac{42\pi }{4}=\frac{21\pi }{2}$; reducem scăzând $10\pi$: $\frac{21\pi }{2}-\frac{20\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$. Rezultat: $8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=8i$. Verificare: $(1-i{)}^2=-2i$, iar $(-2i{)}^3=-8i^3=8i$ ✓.

6. $\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$; modulul: $2^6=64$; argumentul: $6\cdot \frac{\pi }{6}=\pi$. Rezultat: $64(\cos \pi +i\sin \pi )=-64$.

7. $-1-i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$ (cadranul III); modulul: $2^6=64$; argumentul: $6\cdot \frac{4\pi }{3}=8\pi$, multiplu de $2\pi$, redus la $0$. Rezultat: $64$.

8. $1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$; modulul: $2^{10}=1024$; argumentul: $10\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$; reducem scăzând $2\pi =\frac{6\pi }{3}$: $\frac{4\pi }{3}$. Rezultat: $1024\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-512-512i\sqrt{3}$.

9. Adevărat. Pentru $n\in \mathbb{N}$ se demonstrează prin inducție; pentru $n$ negativ se folosește $z^{-m}=\frac{1}{z^m}$ și formula inversului, care schimbă semnul argumentului. Singura condiție este ca numărul să fie nenul când exponentul este negativ, iar $\cos x+i\sin x$ are modulul $1$, deci nu este niciodată $0$.

10. Fals. Modulul se ridică și el la puterea $n$: corect este $[2(\cos x+i\sin x){]}^n=2^n(\cos nx+i\sin nx)$. Contraexemplu: pentru $n=3$ și $x=0$ membrul stâng este $8$, iar cel din enunț ar da $2$.

11. $1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$; modulul: ${\left(\sqrt{2}\right)}^{-4}=\frac{1}{4}$; argumentul: $-4\cdot \frac{\pi }{4}=-\pi$, deci, adunând $2\pi$, obținem $\pi$. Rezultat: $\frac{1}{4}(\cos \pi +i\sin \pi )=-\frac{1}{4}$. Verificare: $(1+i{)}^4=-4$, iar $\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}$ ✓.

12. Modulul: $2^{-2}=\frac{1}{4}$; argumentul: $-2\cdot \frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{3}$, negativ; adunăm $2\pi$: $-\frac{4\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Rezultat: $\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{8}i$. Verificare: $z=-1+i\sqrt{3}$, $z^2=-2-2i\sqrt{3}$, iar inversul lui este $\frac{-2+2i\sqrt{3}}{16}=-\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{8}i$ ✓.

13. Argumentul lui $\sqrt{3}+i$ este $\frac{\pi }{6}$, iar $z^n$ este real când $\frac{n\pi }{6}$ este multiplu de $\pi$, adică $n$ este multiplu de $6$. Cel mai mic este $n=6$, cu ${\left(\sqrt{3}+i\right)}^6=-64$.

14. Argumentul lui $1+i$ este $\frac{\pi }{4}$, iar condiția este ca $\frac{n\pi }{4}$ să fie multiplu de $\pi$, adică $n$ multiplu de $4$. Cel mai mic este $n=4$, cu $(1+i{)}^4=-4$.

15. a) După $k$ secunde afixul este $3\left(\cos \frac{k\pi }{6}+i\sin \frac{k\pi }{6}\right)$. Punctul revine în $3$ când $\frac{k\pi }{6}$ este multiplu de $2\pi$, adică $k$ este multiplu de $12$; prima dată la $k=12$ secunde (fiecare pas este o rotire de $30^{\circ }$, iar $12\cdot 30^{\circ }=360^{\circ }$). b) După $5$ secunde: $3\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$.

16. Modulul rămâne $1$; argumentul devine $9\cdot 20^{\circ }=180^{\circ }$. Rezultat: $\cos 180^{\circ }+i\sin 180^{\circ }=-1$.

17. a) $r=\sqrt{1+3}=2$; semnele $(+,-)$ dau cadranul IV; $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{5\pi }{3}$ și $z=2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$. b) Modulul: $2^6=64$; argumentul: $6\cdot \frac{5\pi }{3}=10\pi$, multiplu de $2\pi$, redus la $0$; deci $z^6=64$. c) Modulul: $2^{-3}=\frac{1}{8}$; argumentul: $-3\cdot \frac{5\pi }{3}=-5\pi$; adunăm $6\pi$ și obținem $\pi$; deci $z^{-3}=\frac{1}{8}(\cos \pi +i\sin \pi )=-\frac{1}{8}$. Verificare: $z^3=8(\cos 5\pi +i\sin 5\pi )=-8$, iar $\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8}$ ✓.

18. Din Moivre, $(\cos x+i\sin x{)}^4=\cos 4x+i\sin 4x$. Dezvoltând cu binomul lui Newton, unde $c=\cos x$ și $s=\sin x$:

$$(c+is{)}^4=c^4+4c^3(is)+6c^2(is{)}^2+4c(is{)}^3+(is{)}^4=\left(c^4-6c^2{s}^2+s^4\right)+i\left(4c^{3}s-4c{s}^3\right).$$

Identificând părțile reale și pe cele imaginare:

$$\cos 4x={\cos }^{4}x-6{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x,\sin 4x=4{\cos }^{3}x\sin x-4\cos x{\sin }^{3}x.$$

Control pentru $x=\frac{\pi }{4}$: prima formulă dă $\frac{1}{4}-6\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=-1=\cos \pi$ ✓, iar a doua dă $0=\sin \pi$ ✓.

De reținut

• Formula lui Moivre: $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$, pentru orice $n\in \mathbb{Z}$ (cu $n\le 0$ doar pentru numere nenule).
• Forma folosită în probleme: $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$ — modulul se ridică la putere, argumentul se înmulțește cu exponentul.
• Argumentul $n\phi$ se reduce obligatoriu la $[0,2\pi )$, scăzând (sau adunând, la exponenți negativi) multipli de $2\pi$.
• Natura rezultatului se citește din unghi: $z^n$ este real când $n\phi$ este multiplu de $\pi$ și pur imaginar când $n\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$.
• Moivre produce formule trigonometrice: egalând dezvoltarea binomială a lui $(\cos x+i\sin x{)}^n$ cu $\cos nx+i\sin nx$ obții formulele unghiului dublu, triplu și așa mai departe.

Greșeli frecvente

• Se uită ridicarea modulului la putere. Din $z=2\left(\cos \frac{\pi }{5}+i\sin \frac{\pi }{5}\right)$ și $n=3$ nu iese modulul $2$, ci $2^3=8$.
• Argumentul rămâne neredus. Valori ca $5\pi$, $\frac{21\pi }{2}$ sau $-\frac{5\pi }{3}$ sunt argumente corecte, dar nu reduse; scade sau adună $2\pi$ până intri în $[0,2\pi )$.
• Se aplică formula unui număr scris incorect trigonometric. Dacă în paranteză apare minus între cosinus și sinus, sau dacă modulul din față este negativ, formula dă un rezultat greșit; corectează scrierea mai întâi.
• Se confundă exponentul negativ cu schimbarea semnului rezultatului. $z^{-3}$ nu este $-z^3$; înseamnă $\frac{1}{z^3}$, adică modul inversat și argument cu semn schimbat.
• Se calculează puterea lui $i$ separat, la dezvoltarea binomială. La deducerea formulelor pentru $\cos nx$, greșeala tipică este ${\left(is\right)}^2=i{s}^2$; corect este $-s^2$, pentru că $i^2=-1$.

Aplică acasă

1. Cronometrul complex. Ia numărul $z=\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}$ și calculează $z^1,z^2,\dots ,z^{12}$, marcând de fiecare dată punctul pe cercul unitate. Ce figură geometrică au format cele douăsprezece puncte? Compară cu cadranul unui ceas.

2. Cursa celor două metode. Cronometrează-te calculând $(1+i{)}^{10}$ în două feluri: o dată prin ridicări succesive la pătrat în formă algebrică, o dată prin formula lui Moivre. Notează timpii și numărul de operații. Vei vedea unde își merită formula numele.

3. Fabrica de formule. Repetă procedeul din secțiunea 7 pentru $n=5$: dezvoltă $(\cos x+i\sin x{)}^5$ cu binomul lui Newton și scrie formulele pentru $\cos 5x$ și $\sin 5x$. Verifică-le numeric pentru $x=\frac{\pi }{10}$, unde $\cos 5x=0$.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri: aplicarea corectă a formulei, disciplina reducerii argumentului și — la mate-info, cel mai important — capacitatea de a redacta o demonstrație prin inducție. Pasul inductiv de aici este scurt și transparent, ceea ce îl face un exercițiu excelent de redactare: elevul are ocazia să scrie o demonstrație completă în șase rânduri, fără artificii.

Puncte de verificat în lucrare: (1) numărul este scris trigonometric înainte de aplicarea formulei; (2) modulul apare la puterea $n$, nu neschimbat; (3) argumentul $n\phi$ este redus la $[0,2\pi )$, cu calculul reducerii scris explicit; (4) rezultatul este verificat pe o a doua cale, de obicei prin ridicări succesive la pătrat. Întrebări bune de control: „De ce este valabilă formula și pentru exponenți negativi?"; „Cum afli, fără să calculezi, dacă $z^n$ este real?"; „Ce ai obține dacă ai dezvolta $(\cos x+i\sin x{)}^2$ în două feluri?".

La Bacalaureat M1, formula lui Moivre este una dintre cele mai frecvente apariții ale capitolului: fie direct („calculați $z^{2026}$"), fie ca subpunct într-un exercițiu care cere și forma trigonometrică, și puterea, și un exponent minim cu o proprietate dată. Elevul care stăpânește cei patru pași rezolvă aceste subpuncte aproape mecanic, ceea ce îi eliberează timp pentru problemele grele din a doua parte a subiectului.

Întrebări frecvente

Ce spune formula lui Moivre? Că, pentru orice număr real $\phi$ și orice număr întreg $n$, are loc $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$. Pentru un număr oarecare $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, formula devine $z^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$.

Cum demonstrez formula lui Moivre? Prin inducție matematică după $n$: verificarea pentru $n=0$ și $n=1$ este imediată, iar pasul de la $k$ la $k+1$ se face înmulțind încă o dată cu $\cos \phi +i\sin \phi$ și aplicând regula „modulele se înmulțesc, argumentele se adună". Pentru exponenți negativi se folosește definiția $z^{-m}=\frac{1}{z^m}$ și formula inversului.

Cum calculez o putere mare a unui număr complex? În patru pași: scrii numărul sub formă trigonometrică; ridici modulul la puterea $n$; înmulțești argumentul cu $n$; reduci argumentul obținut la intervalul $[0,2\pi )$ scăzând multipli de $2\pi$. La final, dacă se cere, revii la forma algebrică.

Ce fac dacă argumentul obținut este mai mare decât $2\pi$? Scazi din el cel mai mare multiplu de $2\pi$ care încape, până ajungi în $[0,2\pi )$. De exemplu, $\frac{21\pi }{2}$ devine $\frac{21\pi }{2}-10\pi =\frac{\pi }{2}$. Rezultatul numeric nu se schimbă, dar scrierea devine cea standard.

Formula lui Moivre merge și pentru exponenți negativi? Da, cu condiția ca numărul să fie nenul. Modulul devine $r^n$ (adică se inversează și se ridică la putere), iar argumentul devine $n\phi$, cu $n$ negativ; apoi se adună $2\pi$ până când argumentul intră în $[0,2\pi )$.

Cum aflu cel mai mic exponent pentru care $z^n$ este real? Scrii condiția ca $n\phi$ să fie multiplu de $\pi$ și rezolvi în numere naturale nenule. De exemplu, pentru $\phi =\frac{\pi }{6}$ condiția este ca $n$ să fie multiplu de $6$, deci cel mai mic exponent este $6$.

La ce mai folosește formula lui Moivre, în afară de puteri? La deducerea formulelor trigonometrice pentru unghiul multiplu (dublu, triplu, cvadruplu) și, mai ales, la extragerea rădăcinilor de ordinul $n$ dintr-un număr complex — subiectul lecției următoare, unde formula se citește „invers".