Formulele pentru sumă și diferență: sin(a±b), cos(a±b), tg(a±b)

Știi să calculezi exact $\sin 45^{\circ }$ și $\sin 30^{\circ }$. Poți calcula, tot exact, $\sin 75^{\circ }$? La prima vedere pare simplu: $75=45+30$, deci $\sin 75^{\circ }$ ar trebui să fie $\sin 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }$. Să verificăm: $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\approx 0,707+0,5=1,207$. Dar sinusul nu depășește niciodată $1$! Regula „evidentă" e falsă — și e falsă spectaculos.

Adevărul e că sinusul, cosinusul și tangenta nu sunt funcții aditive: ele nu descompun o sumă în sumă. Legea corectă există, dar e mai subtilă și mult mai frumoasă: sinusul sumei amestecă sinusul unuia cu cosinusul celuilalt. Formulele pe care le deducem în această lecție — $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$, $\mathrm{tg}(a\pm b)$ — sunt inima trigonometriei de liceu. Din ele vor curge, în lecțiile următoare, formulele unghiului dublu, ale unghiului pe jumătate, transformările sumelor în produse, ecuațiile trigonometrice și o bună parte din trigonometria examenului de Bacalaureat. Merită învățate temeinic, o singură dată, dar bine.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce $\sin (a+b)\ne \sin a+\sin b$ și vei putea da un contraexemplu numeric în zece secunde.
• Vei ști să demonstrezi formula $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ folosind coarda cercului trigonometric.
• Vei ști să deduci, în cascadă, celelalte trei formule pentru sinus și cosinus, folosind paritatea și formulele cu $\frac{\pi }{2}$.
• Vei ști să obții $\mathrm{tg}(a\pm b)$ prin împărțire și să precizezi condițiile în care formula are sens.
• Vei ști să calculezi valori exacte pentru $15^{\circ }$, $75^{\circ }$, $105^{\circ }$ și pentru argumente compuse de forma $x\pm \frac{\pi }{6}$.
• Vei ști să demonstrezi identități și să determini un unghi din valorile tangentelor a două unghiuri.

Hai să descoperim împreună

1. Capcana din deschidere, pe cifre

Fixăm ideea cu un contraexemplu pe care să-l poți reproduce oricând: pentru $a=30^{\circ }$ și $b=60^{\circ }$,

$$\sin (a+b)=\sin 90^{\circ }=1,\text{dar}\sin a+\sin b=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 1,366.$$

La fel, $\cos (a+b)=\cos 90^{\circ }=0$, în timp ce $\cos a+\cos b\approx 1,366$. Concluzia: funcțiile trigonometrice nu se distribuie peste sumă. Ele au însă o lege proprie de compunere, pe care o deducem riguros mai jos.

2. Coarda cercului: pregătirea demonstrației

Toată demonstrația se bazează pe o observație simplă: într-un cerc, arce de aceeași măsură sunt subîntinse de coarde de aceeași lungime.

Fie $a$ și $b$ două numere reale și fie $M=M(a)$, $N=M(b)$ punctele asociate lor pe cercul trigonometric. Din lecția despre sinusul și cosinusul pe cerc știm că $M=(\cos a,\sin a)$ și $N=(\cos b,\sin b)$.

Calculăm lungimea coardei $MN$ cu teorema lui Pitagora. Construim triunghiul dreptunghic cu ipotenuza $MN$ și cu catetele paralele cu axele: cateta orizontală are lungimea $|\cos a-\cos b|$, iar cea verticală $|\sin a-\sin b|$. Atunci

$$M{N}^2=(\cos a-\cos b{)}^2+(\sin a-\sin b{)}^2.$$

Desfacem pătratele și grupăm inteligent:

$$M{N}^2=\underset{=1}{\underbrace{{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a}}+\underset{=1}{\underbrace{{\cos }^{2}b+{\sin }^{2}b}}-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b),$$

folosind de două ori formula fundamentală. Am obținut deci prima expresie a coardei:

$$M{N}^2=2-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b).\text{\hspace{1em}(1)}$$

3. Aceeași coardă, altă poziție: formula pentru cos(a − b)

Arcul dintre $M(a)$ și $N(b)$ are măsura $a-b$. Rotim acum figura astfel încât capătul $N$ să ajungă în punctul $A(1,0)$: celălalt capăt ajunge în punctul $P=M(a-b)=(\cos (a-b),\sin (a-b))$. Rotația păstrează lungimile, deci coarda $PA$ are exact aceeași lungime cu $MN$.

Calculăm $P{A}^2$ prin același procedeu:

$$P{A}^2=(\cos (a-b)-1{)}^2+{\sin }^2(a-b)={\cos }^2(a-b)-2\cos (a-b)+1+{\sin }^2(a-b),$$

adică, folosind din nou formula fundamentală,

$$P{A}^2=2-2\cos (a-b).\text{\hspace{1em}(2)}$$

Egalând $(1)$ și $(2)$ și simplificând prin $-2$ după ce scădem $2$ din ambii membri, obținem prima și cea mai importantă formulă a lecției:

$$\boxed{\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b}■$$

Observație pentru mai târziu. Relația $M{N}^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos (a-b)$ nu este altceva decât teorema cosinusului aplicată în triunghiul $OMN$, care are două laturi egale cu raza $1$ și unghiul dintre ele de măsură $a-b$. Vei studia teorema mai târziu; demonstrația de aici nu depinde de ea, se sprijină doar pe Pitagora.

4. Celelalte trei formule, în cascadă

Odată obținută formula pentru $\cos (a-b)$, restul vin aproape gratuit.

Cosinusul sumei. Scriem $a+b=a-(-b)$ și folosim paritatea funcțiilor, cunoscută din lecția despre formulele cu $\pi +x$ și $2\pi -x$: $\cos (-b)=\cos b$, $\sin (-b)=-\sin b$. Atunci

$$\cos (a+b)=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.$$

Sinusul sumei. Folosim relația dintre cofuncții din lecția despre formulele cu $\pi /2$, $\sin t=\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$, și grupăm cu grijă:

$$\sin (a+b)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a-b\right)=\cos \left((\frac{\pi }{2}-a)-b\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\cos b+\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)\sin b,$$

adică, înlocuind $\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\sin a$ și $\sin \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\cos a$:

$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

Sinusul diferenței. Înlocuim $b$ cu $-b$ în formula precedentă: $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$.

Iată tabloul complet, de memorat ca un tot:

$$\boxed{\begin{array}{rl}\sin (a+b)& =\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ \sin (a-b)& =\sin a\cos b-\cos a\sin b\\ \cos (a+b)& =\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \cos (a-b)& =\cos a\cos b+\sin a\sin b\end{array}}$$

Mnemonica. La sinus, funcțiile se amestecă ($\sin \cos +\cos \sin$) și semnul din formulă este același cu cel din paranteză. La cosinus, funcțiile rămân pereche ($\cos \cos$, $\sin \sin$), iar semnul se schimbă. Cine reține doar aceste două propoziții reconstruiește instantaneu toate patru formulele.

5. Tangenta sumei și a diferenței

Pornim de la definiție și folosim formulele tocmai obținute:

$$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\sin (a+b)}{\cos (a+b)}=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}.$$

Împărțim numărătorul și numitorul la $\cos a\cos b$ (nenul, prin ipoteză) și recunoaștem tangentele:

$$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{1-\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\sin b}{\cos b}}=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}.$$

Înlocuind $b$ cu $-b$ și folosind imparitatea tangentei (din lecția despre formulele pentru tangentă):

$$\boxed{\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\mathrm{tg}a+\mathrm{tg}b}{1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b},\mathrm{tg}(a-b)=\frac{\mathrm{tg}a-\mathrm{tg}b}{1+\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}.}$$

Condițiile de existență nu sunt un detaliu de manual, ci parte din formulă. Pentru $\mathrm{tg}(a+b)$ avem nevoie ca:

• $\cos a\ne 0$ și $\cos b\ne 0$ (altfel $\mathrm{tg}a$ sau $\mathrm{tg}b$ nu există);
• $\cos (a+b)\ne 0$, condiție echivalentă cu $1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b\ne 0$ (altfel se anulează numitorul).

Analog pentru diferență, cu $1+\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b\ne 0$. Pentru cotangentă, un calcul asemănător (împărțind la $\sin a\sin b$) dă $\mathrm{ctg}(a+b)=\frac{\mathrm{ctg}a\mathrm{ctg}b-1}{\mathrm{ctg}a+\mathrm{ctg}b}$ — formulă utilă, dar mai rar cerută; o poți oricând reconstitui ca inversul tangentei.

6. Valori exacte noi: 15°, 75°, 105°

Aici formulele își arată puterea imediată: îmbogățesc tabelul de valori remarcabile cu unghiuri pe care nu le puteai atinge înainte.

Pentru $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$, adică $\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}$:

$$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

Pentru $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$, adică $\frac{\pi }{12}$:

$$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$

Nu e o coincidență că valorile se „încrucișează": $15^{\circ }$ și $75^{\circ }$ sunt unghiuri complementare, deci $\sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }$.

Pentru tangentă, cu $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$ și $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\mathrm{tg}75^{\circ }=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{(3+\sqrt{3}{)}^2}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3},$$

și, analog, $\mathrm{tg}15^{\circ }=2-\sqrt{3}$. Verificare rapidă: produsul lor este $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$ — exact ce trebuie, fiindcă unghiurile sunt complementare, deci tangentele lor sunt inverse una alteia.

Pentru $105^{\circ }=60^{\circ }+45^{\circ }$, adică $\frac{7\pi }{12}$:

$$\sin 105^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\cos 105^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$$

Cosinusul iese negativ — corect, $105^{\circ }$ e în cadranul II. Iar $\sin 105^{\circ }=\sin 75^{\circ }$, așa cum cer formulele de reducere la primul cadran, de vreme ce $105^{\circ }=180^{\circ }-75^{\circ }$. Aceste verificări încrucișate sunt cel mai bun antidot împotriva greșelilor de semn.

7. Formule derivate pe care merită să le recunoști

Din tabloul de bază se desprind, prin particularizare, câteva relații care apar constant:

$$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x},\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

Două identități-cheie, obținute prin adunarea sau înmulțirea formulelor:

$$\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b,\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b.$$

Prima se obține adunând formulele pentru $\sin (a+b)$ și $\sin (a-b)$ — termenii $\cos a\sin b$ se anulează reciproc. Ea este poarta de intrare către lecția despre transformarea sumelor în produse. A doua se obține înmulțind cele două formule: $(\sin a\cos b{)}^2-(\cos a\sin b{)}^2={\sin }^{2}a{\cos }^{2}b-{\cos }^{2}a{\sin }^{2}b$, iar înlocuind ${\cos }^{2}b=1-{\sin }^{2}b$ și ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a$ rămâne exact ${\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$.

8. Când formulele determină un unghi

Aplicația cea mai elegantă: din valorile tangentelor a două unghiuri afli unghiul sumă. Fie $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\mathrm{tg}a=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}b=\frac{1}{3}$. Atunci

$$\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1.$$

Cum $a+b\in (0,\pi )$ și tangenta este $1$, singura posibilitate este $a+b=\frac{\pi }{4}$. Este o „identitate cu numere întregi" surprinzătoare: două unghiuri aparent oarecare se însumează la fix $45^{\circ }$. Astfel de rezultate stau la baza unor probleme frumoase de geometrie pe caiet de matematică — și apar des în subiectele de concurs.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valoarea exactă a lui sin 75°

Calculați $\sin 75^{\circ }$ și verificați rezultatul cu o aproximare zecimală.

Rezolvare. $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$, deci

$$\sin 75^{\circ }=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$

Verificare: $\sqrt{6}\approx 2,449$, $\sqrt{2}\approx 1,414$, deci rezultatul este $\approx \frac{3,863}{4}\approx 0,966$ — plauzibil pentru un unghi apropiat de $90^{\circ }$, unde sinusul e aproape de $1$. $■$

Exemplul 2 — Tangenta unui unghi nou

Calculați $\mathrm{tg}15^{\circ }$ sub formă exactă.

Rezolvare. $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$, iar $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$, $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$:

$$\mathrm{tg}15^{\circ }=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{(3-\sqrt{3}{)}^2}{9-3}=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}=2-\sqrt{3}\approx 0,268.$$

Am raționalizat numitorul înmulțind cu expresia conjugată. Rezultatul e mic și pozitiv, cum se cuvine pentru un unghi mic din cadranul I. $■$

Exemplul 3 — Sinusul și cosinusul unei sume, din date parțiale

Se știe că $\sin a=\frac{3}{5}$ cu $a$ în cadranul I și $\cos b=\frac{5}{13}$ cu $b$ în cadranul I. Calculați $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$, apoi precizați cadranul lui $a+b$.

Rezolvare. Completăm datele: $\cos a=\frac{4}{5}$ (pozitiv, cadranul I) și $\sin b=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$. Atunci

$$\sin (a+b)=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65},$$

$$\cos (a+b)=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{20-36}{65}=-\frac{16}{65}.$$

Sinus pozitiv și cosinus negativ înseamnă cadranul II. Verificare: ${\left(\frac{63}{65}\right)}^2+{\left(\frac{16}{65}\right)}^2=\frac{3969+256}{4225}=\frac{4225}{4225}=1$ ✓ $■$

Exemplul 4 — O sumă care se simplifică

Simplificați expresia $E=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

Rezolvare. Dezvoltăm ambii termeni:

$$E=\left(\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}\right)+\left(\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}\right)=2\sin x\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\sin x.$$

Termenii cu $\cos x$ s-au anulat reciproc — exact mecanismul identității $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$. $■$

Exemplul 5 — Determinarea unui unghi din două tangente

Fie $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\mathrm{tg}a=2$ și $\mathrm{tg}b=3$. Calculați $a+b$.

Rezolvare. $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}=\frac{5}{-5}=-1$. Deoarece $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, suma lor este în $(0,\pi )$; singurul număr din acest interval cu tangenta $-1$ este $\frac{3\pi }{4}$. Deci $a+b=\frac{3\pi }{4}$.

Observă rolul intervalului: fără el, răspunsul ar fi fost o infinitate de valori $\frac{3\pi }{4}+k\pi$. Tangenta determină unghiul doar modulo $\pi$. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Arătați că $(1+\mathrm{tg}20^{\circ })(1+\mathrm{tg}25^{\circ })=2$.

Rezolvare. Cheia este observația $20^{\circ }+25^{\circ }=45^{\circ }$. Din formula tangentei sumei:

$$1=\mathrm{tg}45^{\circ }=\frac{\mathrm{tg}20^{\circ }+\mathrm{tg}25^{\circ }}{1-\mathrm{tg}20^{\circ }\mathrm{tg}25^{\circ }}⟹\mathrm{tg}20^{\circ }+\mathrm{tg}25^{\circ }=1-\mathrm{tg}20^{\circ }\mathrm{tg}25^{\circ }.$$

Desfacem acum produsul cerut:

$$(1+\mathrm{tg}20^{\circ })(1+\mathrm{tg}25^{\circ })=1+\mathrm{tg}20^{\circ }+\mathrm{tg}25^{\circ }+\mathrm{tg}20^{\circ }\mathrm{tg}25^{\circ }.$$

Înlocuim suma cu $1-\mathrm{tg}20^{\circ }\mathrm{tg}25^{\circ }$ și obținem $1+1-\mathrm{tg}20^{\circ }\mathrm{tg}25^{\circ }+\mathrm{tg}20^{\circ }\mathrm{tg}25^{\circ }=2$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi formula folosită, apoi înlocuiește — greșelile de semn apar aproape întotdeauna când sari peste primul pas.

1. Se știe că $\sin a=\frac{3}{5}$, $\cos a=\frac{4}{5}$, $\sin b=\frac{5}{13}$, $\cos b=\frac{12}{13}$. Calculează $\sin (a+b)$ și $\cos (a+b)$.

2. Calculează valoarea exactă a lui $\cos 15^{\circ }$.

3. Calculează valoarea exactă a lui $\sin 105^{\circ }$ și explică de ce este egală cu $\sin 75^{\circ }$.

4. Simplifică expresia $E=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$.

5. Demonstrează formula $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x}$ și precizează condițiile de existență.

6. Demonstrează identitatea $\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice numere reale $a$ și $b$ avem $\cos (a-b)=\cos a-\cos b$."

8. Calculează valoarea exactă a lui $\mathrm{tg}75^{\circ }$.

9. Fie $a,b\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ cu $\mathrm{tg}a=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}b=\frac{1}{3}$. Determină $a+b$.

10. Folosind formula sinusului sumei, deduce $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ și compară rezultatul cu formula cunoscută din lecția despre cofuncții.

11. (Problemă aplicată.) Un braț robotic are două segmente de lungime $1$ fiecare. Primul face unghiul de $30^{\circ }$ cu orizontala, iar al doilea încă $30^{\circ }$ față de direcția primului. Calculează coordonatele vârfului brațului, știind că ele sunt $x=\cos 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }$ și $y=\sin 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }$.

12. Calculează $\cos (a-b)$ știind că $\sin a=\frac{4}{5}$ cu $a$ în cadranul II, iar $\sin b=-\frac{5}{13}$ cu $b$ în cadranul IV.

13. Scrie $\sin 3x$ în funcție de $\sin 2x$, $\cos 2x$, $\sin x$ și $\cos x$, folosind descompunerea $3x=2x+x$.

14. Demonstrează identitatea $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arată că $(1+\mathrm{tg}{1}^{\circ })(1+\mathrm{tg}44^{\circ })=2$.

16. Calculează $E=\sin 40^{\circ }\cos 20^{\circ }+\cos 40^{\circ }\sin 20^{\circ }$.

17. (Raționament.) Pornind de la formula pentru $\cos (a-b)$ și de la paritatea funcțiilor trigonometrice, demonstrează formula pentru $\cos (a+b)$. Explică de ce nu e nevoie de o demonstrație geometrică separată.

18. (Provocare.) Fie $A$, $B$, $C$ măsurile unghiurilor unui triunghi, toate diferite de $\frac{\pi }{2}$. Demonstrează că $\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B+\mathrm{tg}C=\mathrm{tg}A\cdot \mathrm{tg}B\cdot \mathrm{tg}C$.

Răspunsuri și explicații

1. $\sin (a+b)=\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{36+20}{65}=\frac{56}{65}$; $\cos (a+b)=\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}-\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{48-15}{65}=\frac{33}{65}$. Verificare: $56^2+33^2=3136+1089=4225=65^2$ ✓

2. $\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,966$.

3. $\sin 105^{\circ }=\sin (60^{\circ }+45^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Egalitatea cu $\sin 75^{\circ }$ vine din reducerea la primul cadran: $105^{\circ }=180^{\circ }-75^{\circ }$, iar $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$.

4. $E=2\cos x\cos \frac{\pi }{3}=2\cos x\cdot \frac{1}{2}=\cos x$. Termenii cu $\sin x$ se anulează reciproc, pentru că apar cu semne opuse.

5. $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{4}+x\right)=\frac{\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\mathrm{tg}x}=\frac{1+\mathrm{tg}x}{1-\mathrm{tg}x}$. Condiții: $\cos x\ne 0$ (pentru ca $\mathrm{tg}x$ să existe) și $\mathrm{tg}x\ne 1$ (adică $x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$), ca numitorul să nu se anuleze.

6. $\sin (a+b)\sin (a-b)=(\sin a\cos b+\cos a\sin b)(\sin a\cos b-\cos a\sin b)={\sin }^{2}a{\cos }^{2}b-{\cos }^{2}a{\sin }^{2}b$. Înlocuim ${\cos }^{2}b=1-{\sin }^{2}b$ și ${\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a$: ${\sin }^{2}a-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b-{\sin }^{2}b+{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$ ✓

7. Fals. Contraexemplu: pentru $a=b=0$ avem $\cos (a-b)=\cos 0=1$, dar $\cos a-\cos b=1-1=0$. Formula corectă este $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

8. $\mathrm{tg}75^{\circ }=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{(3+\sqrt{3}{)}^2}{6}=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3}\approx 3,732$.

9. $\mathrm{tg}(a+b)=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{5/6}{5/6}=1$. Cum $a+b\in (0,\pi )$, rezultă $a+b=\frac{\pi }{4}$.

10. $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\sin \frac{\pi }{2}\cos x+\cos \frac{\pi }{2}\sin x=1\cdot \cos x+0\cdot \sin x=\cos x$. Coincide cu formula cunoscută — un test bun că formula generală e corectă: ea trebuie să conțină, ca și cazuri particulare, toate formulele învățate anterior.

11. $x=\cos 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx 1,366$ și $y=\sin 30^{\circ }+\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\approx 1,366$. Coordonatele sunt egale, deci vârful se află pe bisectoarea primului cadran — brațul „privește" exact la $45^{\circ }$, media unghiurilor $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ ale celor două segmente.

12. Din $\sin a=\frac{4}{5}$ în cadranul II: $\cos a=-\frac{3}{5}$. Din $\sin b=-\frac{5}{13}$ în cadranul IV: $\cos b=\frac{12}{13}$. Atunci $\cos (a-b)=\left(-\frac{3}{5}\right)\frac{12}{13}+\frac{4}{5}\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{36}{65}-\frac{20}{65}=-\frac{56}{65}$.

13. $\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x$. (În lecția următoare vom înlocui $\sin 2x$ și $\cos 2x$ cu expresii în $\sin x$ și $\cos x$ și vom ajunge la formula compactă $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$.)

14. Adunăm: $\sin (a+b)+\sin (a-b)=(\sin a\cos b+\cos a\sin b)+(\sin a\cos b-\cos a\sin b)=2\sin a\cos b$. Termenii $\cos a\sin b$ apar cu semne opuse și dispar.

15. $1^{\circ }+44^{\circ }=45^{\circ }$, deci $\mathrm{tg}{1}^{\circ }+\mathrm{tg}44^{\circ }=1-\mathrm{tg}{1}^{\circ }\mathrm{tg}44^{\circ }$. Desfăcând produsul: $(1+\mathrm{tg}{1}^{\circ })(1+\mathrm{tg}44^{\circ })=1+(\mathrm{tg}{1}^{\circ }+\mathrm{tg}44^{\circ })+\mathrm{tg}{1}^{\circ }\mathrm{tg}44^{\circ }=1+1-\mathrm{tg}{1}^{\circ }\mathrm{tg}44^{\circ }+\mathrm{tg}{1}^{\circ }\mathrm{tg}44^{\circ }=2$. Rezultatul e valabil pentru orice pereche de unghiuri care însumează $45^{\circ }$.

16. Recunoaștem structura $\sin a\cos b+\cos a\sin b$ cu $a=40^{\circ }$ și $b=20^{\circ }$, deci $E=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Citirea „de la dreapta la stânga" a formulelor este la fel de importantă ca cea directă.

17. $\cos (a+b)=\cos (a-(-b))=\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b)$. Cum cosinusul este funcție pară ($\cos (-b)=\cos b$), iar sinusul impară ($\sin (-b)=-\sin b$), obținem $\cos a\cos b-\sin a\sin b$. Nu e nevoie de o nouă demonstrație geometrică pentru că suma $a+b$ se scrie ca diferență, $a-(-b)$, iar formula diferenței a fost deja demonstrată pentru orice numere reale, inclusiv negative.

18. Din $A+B+C=\pi$ rezultă $C=\pi -(A+B)$, deci $\mathrm{tg}C=-\mathrm{tg}(A+B)=-\frac{\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B}{1-\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B}$. Notăm $S=\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B$ și $P=\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B$. Atunci $\mathrm{tg}A+\mathrm{tg}B+\mathrm{tg}C=S-\frac{S}{1-P}=S\cdot \frac{(1-P)-1}{1-P}=\frac{-SP}{1-P}=P\cdot \left(-\frac{S}{1-P}\right)=P\cdot \mathrm{tg}C=\mathrm{tg}A\mathrm{tg}B\mathrm{tg}C$ ✓ (Ipoteza că niciun unghi nu e drept garantează existența tuturor tangentelor, iar $1-P\ne 0$ rezultă din faptul că $A+B\ne \frac{\pi }{2}$ când $C\ne \frac{\pi }{2}$.)

De reținut

• Sinusul amestecă, cosinusul păstrează perechile: $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b$, iar $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$. La sinus semnul se păstrează, la cosinus se schimbă.
• Formula-mamă este $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$, demonstrată cu coarda cercului trigonometric și teorema lui Pitagora; celelalte trei se obțin din ea prin paritate și prin trecerea la cofuncții.
• Tangenta: $\mathrm{tg}(a\pm b)=\frac{\mathrm{tg}a\pm \mathrm{tg}b}{1\mp \mathrm{tg}a\mathrm{tg}b}$, cu condițiile $\cos a\ne 0$, $\cos b\ne 0$ și $\cos (a\pm b)\ne 0$.
• Valori exacte noi: $\sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$, $\mathrm{tg}15^{\circ }=2-\sqrt{3}$, $\mathrm{tg}75^{\circ }=2+\sqrt{3}$.
• Formulele se citesc și invers: când vezi structura $\sin a\cos b+\cos a\sin b$, scrie imediat $\sin (a+b)$. Această citire inversă rezolvă jumătate din exercițiile de examen.

Greșeli frecvente

• Distribuirea peste sumă. Se scrie $\sin (a+b)=\sin a+\sin b$. Un contraexemplu de zece secunde ($a=b=45^{\circ }$, unde membrul stâng e $1$, iar cel drept $\sqrt{2}$) închide discuția definitiv.
• Semnul inversat la cosinus. Se scrie $\cos (a+b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$. Reține regula: la cosinus, semnul din formulă este opus celui din paranteză.
• Condițiile omise la tangentă. Se aplică formula fără a verifica dacă numitorul $1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b$ e nenul. Când el se anulează, $a+b$ este chiar un punct în care tangenta nu există — cazul $a=b=45^{\circ }$, unde $a+b=90^{\circ }$.
• Radicalii lăsați neraționalizați. Rezultatul $\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$ nu este forma finală; amplificarea cu conjugata dă $2-\sqrt{3}$, formă în care rezultatul e recunoscut la barem.
• Cadranul ignorat la determinarea unghiului. Din $\mathrm{tg}(a+b)=-1$ nu rezultă automat $a+b=-\frac{\pi }{4}$; trebuie folosit intervalul în care se află suma. Tangenta determină unghiul doar modulo $\pi$.

Aplică acasă

1. Tabelul îmbogățit. Refă pe o foaie tabelul valorilor trigonometrice, adăugând coloanele pentru $15^{\circ }$, $75^{\circ }$ și $105^{\circ }$ pe care le-ai calculat în lecție. Verifică fiecare valoare cu un calculator științific (sau cu aplicația de pe telefon, în mod „grade") și notează alături aproximarea cu trei zecimale. Păstrează foaia — o vei folosi tot anul.

2. Vânătoarea de unghiuri care se adună la 45°. Verifică pe calculator identitatea $(1+\mathrm{tg}x)(1+\mathrm{tg}y)=2$ pentru trei perechi la alegere cu $x+y=45^{\circ }$ (de exemplu $10^{\circ }$ și $35^{\circ }$, $5^{\circ }$ și $40^{\circ }$, $22,5^{\circ }$ și $22,5^{\circ }$). Apoi încearcă o pereche cu $x+y=30^{\circ }$: mai iese $2$? De ce nu?

3. Brațul din carton. Decupează două fâșii de carton egale și prinde-le cu o pioneză, ca un braț robotic. Fixează primul segment la $30^{\circ }$ față de marginea mesei și al doilea la încă $30^{\circ }$. Măsoară cu rigla poziția vârfului față de articulația de la bază și compar-o cu valorile calculate din formule. Repetă pentru $45^{\circ }$ și $45^{\circ }$: unde ajunge vârful și de ce e răspunsul previzibil?

Pentru părinți și profesori

Lecția este nucleul întregii unități „Formule trigonometrice avansate" din segmentul de specialitate (CS) al programei de matematică-informatică. Programa cere explicit deducerea formulelor pentru $\sin (a\pm b)$, $\cos (a\pm b)$ și $\mathrm{tg}(a\pm b)$, nu simpla lor enunțare — de aceea demonstrația prin coarda cercului trigonometric ocupă un loc central. Ea folosește doar teorema lui Pitagora și formula fundamentală, deci este complet autonomă și accesibilă. Din aceste patru formule se vor deduce, în lecțiile imediat următoare, formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate, apoi transformările sumelor în produse.

Întrebări bune de control: „De ce $\sin (a+b)$ nu e $\sin a+\sin b$?" (contraexemplu numeric imediat); „Care e formula-mamă, cea demonstrată geometric?" ($\cos (a-b)$); „Cum obții $\cos (a+b)$ din ea?" (înlocuind $b$ cu $-b$ și folosind paritatea); „Ce condiții trebuie verificate înainte de a aplica formula tangentei?" (existența celor trei tangente). Semne că a înțeles: reconstituie oricare dintre formule din mnemonica „sinusul amestecă, cosinusul păstrează perechile"; recunoaște structura formulelor și în sens invers, comprimând $\sin 40^{\circ }\cos 20^{\circ }+\cos 40^{\circ }\sin 20^{\circ }$ în $\sin 60^{\circ }$; adaugă de la sine condițiile de existență.

La Bacalaureat M1, formulele apar în toate cele trei subiecte: la subiectul I ca simplu calcul de valoare exactă ($\sin 75^{\circ }$, $\mathrm{tg}15^{\circ }$), la subiectul II în probleme de geometrie analitică sau de trigonometrie, iar la subiectul III în demonstrarea unor identități — tipul „arătați că $(1+\mathrm{tg}a)(1+\mathrm{tg}b)=2$ dacă $a+b=45^{\circ }$" fiind un clasic care se reia an de an. Recomandarea practică: elevul să scrie formulele din memorie, pe o foaie, la începutul fiecărei ședințe de lucru, până când reproducerea devine automată.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele pentru sinusul și cosinusul sumei? $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ și $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$. Pentru diferență se schimbă semnul din mijloc: la sinus devine minus, la cosinus devine plus.

De ce sin(a+b) nu este egal cu sin a + sin b? Pentru că sinusul nu este o funcție liniară, ci descrie o rotație pe cerc, iar rotațiile nu se adună la fel ca numerele. Verificarea e imediată: pentru $a=b=45^{\circ }$, membrul stâng este $\sin 90^{\circ }=1$, iar cel drept $\sqrt{2}\approx 1,414$.

Cum se demonstrează formula cos(a − b)? Se calculează în două moduri lungimea aceleiași coarde a cercului trigonometric: o dată ca distanță între punctele $M(a)$ și $M(b)$ (cu teorema lui Pitagora), a doua oară după ce coarda a fost rotită astfel încât un capăt să ajungă în $A(1,0)$. Egalând cele două expresii rezultă $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Cât este sin 75° exact? $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 0,966$. Se obține din $\sin (45^{\circ }+30^{\circ })$. Aceeași valoare o are și $\cos 15^{\circ }$, pentru că unghiurile sunt complementare.

Cât este tg 15°? $\mathrm{tg}15^{\circ }=2-\sqrt{3}\approx 0,268$, obținut din $\mathrm{tg}(45^{\circ }-30^{\circ })$ după raționalizarea numitorului. Complementarul său, $\mathrm{tg}75^{\circ }=2+\sqrt{3}$, este exact inversul acestei valori.

Ce condiții trebuie respectate la formula tangentei sumei? Trebuie ca $\cos a\ne 0$, $\cos b\ne 0$ (ca tangentele să existe) și $\cos (a+b)\ne 0$, ceea ce se traduce prin $1-\mathrm{tg}a\mathrm{tg}b\ne 0$. Dacă numitorul se anulează, suma $a+b$ este un punct în care tangenta nu e definită.

Cum aflu un unghi știind tangentele a două unghiuri? Calculezi $\mathrm{tg}(a+b)$ cu formula, apoi identifici unghiul din intervalul precizat în enunț. Intervalul e esențial: tangenta ia aceeași valoare din $\pi$ în $\pi$, deci fără el ai o infinitate de răspunsuri.

La ce folosesc formulele de sumă și diferență mai departe? Din ele se deduc formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate, transformările sumelor în produse, metoda unghiului auxiliar pentru ecuațiile de tip $a\sin x+b\cos x=c$ și, în clasele următoare, înmulțirea numerelor complexe scrise sub formă trigonometrică. Sunt cele mai „productive" formule din toată trigonometria.