Cercul trigonometric și punctele asociate numerelor reale

Un alergător pornește de pe linia de start a unei piste circulare și fuge fără oprire. După $400$ de metri e din nou la start. După $900$ de metri e undeva pe la trei sferturi de tură. După $10$ kilometri… tot pe pistă e, dar unde exact? Întrebarea are un răspuns precis, și el nu depinde de câte ture a făcut: poziția lui pe cerc e determinată de distanța parcursă, dar mai multe distanțe diferite dau aceeași poziție. Aceasta este, în esență, ideea pe care se sprijină toată trigonometria.

În lecția trecută am învățat să măsurăm arcele în grade și în radiani. Acum facem pasul decisiv: construim un cerc special, așezat într-un reper cartezian, și îi asociem fiecărui număr real un punct de pe el. Numărul $\frac{\pi }{2}$ va avea un punct, numărul $5$ va avea un punct, numărul $-2026$ va avea un punct. Cercul acesta se numește cercul trigonometric și, din lecția următoare, coordonatele punctelor de pe el vor deveni sinusul și cosinusul. Practic, transformăm o dreaptă infinită într-un cerc — și tot ce e periodic în lume (rotații, anotimpuri, maree, curent alternativ) devine dintr-odată descriptibil matematic.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești cercul trigonometric și să-i scrii ecuația în reperul cartezian.
• Vei ști ce înseamnă sensul trigonometric (pozitiv) și cel negativ, și de ce alegerea nu e întâmplătoare.
• Vei ști să determini punctul asociat unui număr real, pozitiv sau negativ.
• Vei ști să folosești periodicitatea: numerele $t$ și $t+2k\pi$ au același punct asociat.
• Vei ști să reduci orice număr real la intervalul $[0,2\pi )$ și să precizezi cadranul punctului.
• Vei ști să recunoști simetriile dintre punctele asociate numerelor $t$, $-t$, $\pi -t$ și $\pi +t$.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția cercului trigonometric

Pornim de la reperul cartezian $xOy$ cunoscut.

Definiție. Se numește cerc trigonometric cercul cu centrul în originea $O$ a reperului și cu raza egală cu $1$, pe care s-a fixat ca punct de plecare $A(1,0)$ și un sens de parcurgere.

Trei detalii, toate importante:

• Raza este $1$. Nu $2$, nu $R$ oarecare. Vom vedea imediat de ce această alegere e cea care simplifică totul.
• Centrul este în origine. Astfel, coordonatele punctelor de pe cerc se citesc direct pe axe.
• Punctul de plecare este $A(1,0)$, cel din dreapta, pe axa $Ox$. Toate arcele se măsoară pornind din $A$.

Un punct $M(x,y)$ se află pe cercul trigonometric exact atunci când distanța de la $O$ la $M$ este $1$. Cu formula distanței dintre două puncte, $OM=\sqrt{x^2+y^2}$, deci condiția $OM=1$ se scrie:

$$x^2+y^2=1.$$

Aceasta este ecuația cercului trigonometric. Reține-o: din ea va rezulta, peste câteva lecții, cea mai folosită formulă din trigonometrie.

Patru puncte de pe cerc merită nume proprii, fiindcă sunt intersecțiile cu axele:

$$A(1,0),B(0,1),A^{\prime }(-1,0),B^{\prime }(0,-1).$$

2. Sensul trigonometric

Pe un cerc te poți învârti în două feluri. Matematica a ales unul ca fiind pozitiv:

Sensul trigonometric (numit și sens pozitiv sau direct) este sensul invers acelor de ceasornic: de la $A(1,0)$ spre $B(0,1)$, adică „în sus" prin cadranul I.

Sensul opus, cel al acelor de ceasornic, se numește sens negativ și corespunde numerelor negative.

De ce tocmai așa? Pentru că în reperul cartezian mergem de la axa $Ox$ spre axa $Oy$ rotind în acest sens: unghiul de la semiaxa pozitivă $Ox$ la semiaxa pozitivă $Oy$ măsoară $+\frac{\pi }{2}$. Convenția păstrează astfel coerența cu ordinea axelor. Ceasurile merg invers dintr-un motiv complet diferit — imită umbra unui cadran solar din emisfera nordică — deci nu-i lăsa să te încurce: pe cercul trigonometric, „înainte" înseamnă în sens invers acelor de ceas.

Cele patru cadrane se numerotează tot în sens trigonometric: cadranul I este cel dintre $A$ și $B$ (ambele coordonate pozitive), cadranul II între $B$ și $A^{\prime }$, cadranul III între $A^{\prime }$ și $B^{\prime }$, cadranul IV între $B^{\prime }$ și $A$.

3. Punctul asociat unui număr real

Acum vine construcția centrală a lecției. Ia un număr real oarecare $t$ și fă următorul lucru:

• pornește din punctul $A(1,0)$;
• dacă $t>0$, mergi pe cerc, în sens trigonometric, o distanță egală cu $t$;
• dacă $t<0$, mergi în sens negativ (orar) o distanță egală cu $|t|$;
• dacă $t=0$, rămâi pe loc.

Punctul în care ajungi se numește punctul asociat numărului real $t$ și îl notăm $M(t)$.

Aici se vede de ce raza a fost aleasă egală cu $1$. Pe un cerc de rază $R$, lungimea arcului de măsură $t$ radiani este $\ell =R\cdot t$; pentru $R=1$ rămâne pur și simplu

$$\ell =t.$$

Pe cercul trigonometric, lungimea arcului parcurs coincide cu măsura lui în radiani. Nu mai trebuie să distingem între „cât de lung e drumul" și „cât de deschis e unghiul" — sunt același număr. De aceea putem spune, fără ambiguitate, „punctul asociat numărului $t$" în loc de „punctul asociat unghiului de $t$ radiani".

O imagine care ajută enorm: ia axa numerelor reale, o dreaptă infinită, și înfășoar-o pe cerc ca pe o ață pe o mosorel, cu originea $0$ lipită de punctul $A$. Partea pozitivă a axei se înfășoară în sens trigonometric, partea negativă în sens orar. Fiecare număr real de pe ață ajunge, astfel, deasupra unui punct de pe cerc — punctul lui asociat.

4. Periodicitatea: mai multe numere, același punct

Din construcție rezultă imediat un fapt esențial: dacă mergi pe cerc o tură completă în plus, ajungi în același loc. O tură completă înseamnă o lungime de $2\pi$ (circumferința cercului de rază $1$). Prin urmare:

$$M(t)=M(t+2\pi )=M(t-2\pi )=M(t+4\pi )=\dots$$

Proprietate. Numerele reale $t$ și $t+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$, au același punct asociat pe cercul trigonometric. Reciproc, dacă $M(t_1)=M(t_2)$, atunci $t_1-t_2=2k\pi$ pentru un întreg $k$.

Aceasta este periodicitatea cercului trigonometric și e sursa tuturor proprietăților periodice din trigonometrie. Consecința practică: pentru a lucra cu un număr oricât de mare, îl reducem scăzând (sau adunând) multipli de $2\pi$ până ajungem în intervalul $[0,2\pi )$. Numărul obținut se numește uneori reprezentantul principal.

Exemplu. Pentru $t=\frac{17\pi }{4}$: scădem $2\pi =\frac{8\pi }{4}$ de două ori, adică $4\pi =\frac{16\pi }{4}$, și rămâne $\frac{\pi }{4}$. Deci $M\left(\frac{17\pi }{4}\right)=M\left(\frac{\pi }{4}\right)$ — punctul de la mijlocul cadranului I.

Tehnica pentru fracții cu $\pi$: aduci $2\pi$ la același numitor și scazi cât se poate. Pentru $\frac{25\pi }{6}$, cum $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, scădem $\frac{24\pi }{6}$ și rămâne $\frac{\pi }{6}$.

Pentru numere negative, aduni: $-\frac{7\pi }{3}+4\pi =-\frac{7\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$, un punct din cadranul IV.

5. În ce cadran cade punctul?

După reducerea în $[0,2\pi )$, cadranul se citește comparând cu sferturile de cerc:

Capetele intervalelor nu aparțin niciunui cadran: ele sunt chiar punctele $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, situate pe axe.

Cea mai rapidă metodă de lucru, la fracții cu $\pi$: transformă în grade. Numărul $\frac{7\pi }{6}$ devine $210^{\circ }$, iar $210^{\circ }$ e între $180^{\circ }$ și $270^{\circ }$, deci cadranul III. E o traducere pe care ai exersat-o în lecția trecută și care aici se plătește la fiecare exercițiu.

La numerele fără $\pi$ folosim reperele aproximative: $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$. De exemplu, $t=2$ e între $1,57$ și $3,14$, deci $M(2)$ e în cadranul II; $t=5$ e între $4,71$ și $6,28$, deci $M(5)$ e în cadranul IV.

6. Simetriile de pe cerc

Patru puncte legate de același $t$ formează, pe cerc, o figură perfect simetrică. Presupunem $t$ în cadranul I:

• $M(t)$ și $M(-t)$ sunt simetrice față de axa $Ox$ — ai parcurs același drum, dar în sensuri opuse.
• $M(t)$ și $M(\pi -t)$ sunt simetrice față de axa $Oy$ — al doilea se obține pornind din $A^{\prime }$ înapoi cu $t$.
• $M(t)$ și $M(\pi +t)$ sunt simetrice față de origine, adică diametral opuse — jumătate de tură le desparte.

De exemplu, pentru $t=\frac{\pi }{6}$ ($30^{\circ }$) obținem punctele asociate numerelor $\frac{\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{6}$ (echivalent $\frac{11\pi }{6}$), $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{7\pi }{6}$ — vârfurile unui dreptunghi înscris în cerc, câte unul în fiecare cadran.

Aceste simetrii nu sunt un ornament: din ele vor ieși, peste câteva lecții, toate formulele de reducere la primul cadran. Merită să le desenezi acum, o dată, cu mâna ta.

7. La ce folosește: mișcarea circulară

Modelul are o traducere fizică directă. Un punct care se rotește uniform pe un cerc — o cabină de roată mare, un satelit, o piesă pe un disc, capătul unui ac de ceas — parcurge arce proporționale cu timpul. Dacă face o tură completă în $T$ secunde, atunci după $s$ secunde a parcurs arcul

$$t=\frac{2\pi }{T}\cdot s.$$

Poziția lui e $M(t)$, iar periodicitatea $M(t)=M(t+2k\pi )$ spune exact ceea ce vede oricine se uită: mișcarea se repetă la fiecare $T$ secunde. În lecția următoare vom afla și coordonatele acestui punct, iar atunci vom putea descrie prin formule înălțimea cabinei la fiecare moment — adică vom modela matematic un fenomen periodic. Este exact drumul pe care se construiesc modelele pentru maree, pentru curentul alternativ sau pentru variația zilnică a temperaturii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cadranul unui punct

Precizați cadranul în care se află punctele asociate numerelor $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{6}$ și $\frac{5\pi }{3}$.

Rezolvare. Transformăm în grade, cea mai sigură cale:

$$\frac{3\pi }{4}=135^{\circ },\frac{7\pi }{6}=210^{\circ },\frac{5\pi }{3}=300^{\circ }.$$

Cum $135^{\circ }\in (90^{\circ },180^{\circ })$, punctul $M\left(\frac{3\pi }{4}\right)$ e în cadranul II. Cum $210^{\circ }\in (180^{\circ },270^{\circ })$, $M\left(\frac{7\pi }{6}\right)$ e în cadranul III. Cum $300^{\circ }\in (270^{\circ },360^{\circ })$, $M\left(\frac{5\pi }{3}\right)$ e în cadranul IV. $■$

Exemplul 2 — Reducerea unui număr mare

Determinați punctul asociat numărului $t=\frac{25\pi }{6}$ și cadranul în care se află.

Rezolvare. Scădem multipli de $2\pi =\frac{12\pi }{6}$:

$$\frac{25\pi }{6}-\frac{24\pi }{6}=\frac{\pi }{6},\text{adica˘}t=\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{\pi }{6}+2\cdot 2\pi .$$

Deci $M\left(\frac{25\pi }{6}\right)=M\left(\frac{\pi }{6}\right)$, punct din cadranul I. Interpretare: pornind din $A$, parcurgi două ture complete și încă $30^{\circ }$. $■$

Exemplul 3 — Un număr negativ

Determinați punctul asociat numărului $t=-\frac{7\pi }{3}$.

Rezolvare. Adunăm multipli de $2\pi$ până intrăm în $[0,2\pi )$. Cu $4\pi =\frac{12\pi }{3}$:

$$-\frac{7\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}=300^{\circ }.$$

Punctul este cel din cadranul IV, la $60^{\circ }$ „sub" axa $Ox$. Verificare intuitivă: $-\frac{7\pi }{3}=-420^{\circ }$, adică o tură întreagă înapoi ($-360^{\circ }$) și încă $60^{\circ }$ înapoi — exact poziția de la $300^{\circ }$ ✓. $■$

Exemplul 4 — Numere fără $\pi$

În ce cadrane se află $M(2)$ și $M(5)$?

Rezolvare. Folosim reperele $\frac{\pi }{2}\approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $\frac{3\pi }{2}\approx 4,71$, $2\pi \approx 6,28$.

Cum $1,57<2<3,14$, punctul $M(2)$ e în cadranul II. Cum $4,71<5<6,28$, punctul $M(5)$ e în cadranul IV.

Observație de reținut: numerele $2$ și $5$ nu sunt „unghiuri ciudate" — sunt numere reale obișnuite, cărora cercul le atribuie poziții perfect determinate. Exact asta face din trigonometrie o teorie a funcțiilor de variabilă reală. $■$

Exemplul 5 — Toate numerele cu același punct asociat

Determinați toate numerele reale al căror punct asociat este $B(0,1)$.

Rezolvare. Punctul $B$ se atinge prima dată după un sfert de tură, adică pentru $t=\frac{\pi }{2}$. Toate celelalte numere care duc în același punct diferă de acesta prin ture complete:

$$t=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Pentru $k=1$ obținem $\frac{5\pi }{2}$, pentru $k=-1$ obținem $-\frac{3\pi }{2}$ — verifică pe desen că amândouă ajung în $B$. Mulțimea are o infinitate de elemente, dar toate se scriu cu o singură formulă. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră numărul real $t=\frac{19\pi }{6}$. a) Scrieți $t$ sub forma $t_0+2k\pi$, cu $t_0\in [0,2\pi )$ și $k\in \mathbb{Z}$. b) Precizați cadranul în care se află punctul $M(t)$. c) Determinați numărul din intervalul $(-2\pi ,0)$ care are același punct asociat ca $t$.

Rezolvare. a) Cu $2\pi =\frac{12\pi }{6}$:

$$\frac{19\pi }{6}-\frac{12\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}\in [0,2\pi ),\text{deci}t=\frac{7\pi }{6}+2\pi (k=1).$$

b) $\frac{7\pi }{6}=210^{\circ }\in (180^{\circ },270^{\circ })$, deci $M(t)$ este în cadranul III.

c) Scădem încă o tură din $t_0$:

$$\frac{7\pi }{6}-2\pi =\frac{7\pi }{6}-\frac{12\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}.$$

Cum $-2\pi <-\frac{5\pi }{6}<0$ ✓, numărul căutat este $-\frac{5\pi }{6}$. (Verificare: $-\frac{5\pi }{6}=-150^{\circ }$; pornind din $A$ înapoi cu $150^{\circ }$ ajungi exact la $210^{\circ }$ măsurat înainte ✓.) $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet și desenează de fiecare dată cercul — un cerc schițat rapid, cu cele patru puncte de pe axe, îți economisește jumătate din greșeli.

1. Precizează cadranul punctelor asociate numerelor: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{3}$.

2. Care sunt punctele asociate numerelor $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$?

3. Reduce în intervalul $[0,2\pi )$: $\frac{9\pi }{4}$, $\frac{13\pi }{3}$, $\frac{25\pi }{6}$.

4. Reduce în intervalul $[0,2\pi )$: $-\frac{\pi }{3}$, $-\frac{5\pi }{4}$, $-\frac{11\pi }{6}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctele asociate numerelor $\frac{\pi }{6}$ și $\frac{13\pi }{6}$ coincid."

6. Determină toate numerele reale al căror punct asociat este $A^{\prime }(-1,0)$.

7. În ce cadrane se află punctele $M(1)$, $M(3)$ și $M(6)$?

8. Un punct pleacă din $A(1,0)$ și parcurge pe cerc, în sens trigonometric, un arc de lungime $\frac{3\pi }{2}$. În ce punct ajunge?

9. Același punct pleacă din $A(1,0)$, dar parcurge în sens negativ un arc de lungime $\frac{\pi }{2}$. Unde ajunge? Compară cu rezultatul de la exercițiul precedent.

10. Un punct pornește din $A$ și parcurge pe cerc, în sens trigonometric, un arc de lungime $9\pi$. Câte ture complete face și în ce punct se oprește?

11. (Problemă aplicată.) Un punct se rotește uniform pe cercul trigonometric, pornind din $A$ în sens trigonometric, și face o tură completă în $12$ secunde. Unde se află după $3$ secunde? Dar după $20$ de secunde (precizează cadranul)?

12. Determină toate numerele din intervalul $[0,2\pi )$ al căror punct asociat se află în cadranul II.

13. Ce relație de simetrie există între punctele asociate numerelor $\frac{\pi }{6}$ și $-\frac{\pi }{6}$?

14. Ce relație de simetrie există între punctele asociate numerelor $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{2\pi }{3}$? Dar între $\frac{\pi }{3}$ și $\frac{4\pi }{3}$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră numărul real $t=\frac{29\pi }{6}$. a) Scrieți $t$ sub forma $t_0+2k\pi$, cu $t_0\in [0,2\pi )$. b) Precizați cadranul punctului $M(t)$. c) Determinați numărul din intervalul $(-2\pi ,0)$ cu același punct asociat.

16. Arată că punctele $M(t)$ și $M(t+\pi )$ sunt diametral opuse, oricare ar fi numărul real $t$.

17. Câte puncte distincte de pe cercul trigonometric sunt asociate numerelor de forma $\frac{k\pi }{3}$, cu $k\in \mathbb{Z}$? Ce figură geometrică formează ele?

18. (Provocare.) Arată că punctele asociate numerelor naturale $0,1,2,3,\dots$ sunt toate distincte două câte două. (Indicație: dacă două ar coincide, diferența lor, care e un număr întreg, ar trebui să fie de forma $2k\pi$. Ce ai obține atunci despre $\pi$?)

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$ — cadranul I; $\frac{3\pi }{4}=135^{\circ }$ — cadranul II; $\frac{7\pi }{6}=210^{\circ }$ — cadranul III; $\frac{5\pi }{3}=300^{\circ }$ — cadranul IV. (Câte unul din fiecare cadran, în ordine.)

2. $M(0)=A(1,0)$; $M\left(\frac{\pi }{2}\right)=B(0,1)$; $M(\pi )=A^{\prime }(-1,0)$; $M\left(\frac{3\pi }{2}\right)=B^{\prime }(0,-1)$; $M(2\pi )=A(1,0)$ — o tură completă te readuce în punctul de plecare.

3. $\frac{9\pi }{4}-\frac{8\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$; $\frac{13\pi }{3}-\frac{12\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$ (am scăzut $4\pi$); $\frac{25\pi }{6}-\frac{24\pi }{6}=\frac{\pi }{6}$ (tot $4\pi$). Toate trei cad în cadranul I.

4. $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$; $-\frac{5\pi }{4}+2\pi =\frac{3\pi }{4}$; $-\frac{11\pi }{6}+2\pi =\frac{\pi }{6}$. La numere negative se adună multipli de $2\pi$.

5. Adevărat. Diferența este $\frac{13\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{12\pi }{6}=2\pi$, adică exact o tură completă; numerele care diferă printr-un multiplu întreg de $2\pi$ au același punct asociat.

6. Punctul $A^{\prime }$ se atinge prima dată pentru $t=\pi$, deci mulțimea este $\{\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, care se mai scrie $\{(2k+1)\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ — toți multiplii impari de $\pi$.

7. $1<1,57$, deci $M(1)$ e în cadranul I; $1,57<3<3,14$, deci $M(3)$ e în cadranul II (foarte aproape de $A^{\prime }$); $4,71<6<6,28$, deci $M(6)$ e în cadranul IV.

8. Trei sferturi de tură în sens trigonometric, deci punctul $B^{\prime }(0,-1)$, căci $\frac{3\pi }{2}=270^{\circ }$.

9. Un sfert de tură în sens orar duce tot în $B^{\prime }(0,-1)$. Concluzia: numerele $\frac{3\pi }{2}$ și $-\frac{\pi }{2}$ au același punct asociat, iar diferența lor este $\frac{3\pi }{2}-\left(-\frac{\pi }{2}\right)=2\pi$ ✓, în acord cu proprietatea de periodicitate.

10. $9\pi =4\cdot 2\pi +\pi$, deci patru ture complete și încă o jumătate de tură; punctul final este $A^{\prime }(-1,0)$.

11. O tură completă în $12$ secunde înseamnă $\frac{2\pi }{12}=\frac{\pi }{6}$ radiani pe secundă. După $3$ secunde: $t=\frac{\pi }{2}$, adică punctul $B(0,1)$. După $20$ de secunde: $t=20\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{10\pi }{3}$; reducem: $\frac{10\pi }{3}-\frac{6\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}=240^{\circ }$ — cadranul III (după o tură completă și încă două treimi de tură).

12. Intervalul $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$. Capetele se exclud, pentru că $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$ dau punctele $B$ și $A^{\prime }$, situate pe axe, nu în interiorul unui cadran.

13. Sunt simetrice față de axa $Ox$: același drum parcurs, o dată în sens pozitiv și o dată în sens negativ. (Echivalent, $-\frac{\pi }{6}$ are același punct ca $\frac{11\pi }{6}$, adică $330^{\circ }$, oglinda lui $30^{\circ }$ față de $Ox$.)

14. $\frac{2\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}$, deci punctele sunt simetrice față de axa $Oy$ ($60^{\circ }$ și $120^{\circ }$). Iar $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$, deci $M\left(\frac{\pi }{3}\right)$ și $M\left(\frac{4\pi }{3}\right)$ sunt simetrice față de origine, adică diametral opuse ($60^{\circ }$ și $240^{\circ }$).

15. a) $\frac{29\pi }{6}-\frac{24\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, deci $t=\frac{5\pi }{6}+4\pi$, adică $k=2$. b) $\frac{5\pi }{6}=150^{\circ }$ — cadranul II. c) $\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}$, număr care aparține intervalului $(-2\pi ,0)$ ✓.

16. Arcul dintre $M(t)$ și $M(t+\pi )$ are lungimea $\pi$, adică jumătate din circumferința $2\pi$. Un arc egal cu jumătate de cerc are drept capete două puncte diametral opuse, deci segmentul $M(t)M(t+\pi )$ trece prin centrul $O$ și are lungimea $2$ (diametrul). $■$

17. Sunt $6$ puncte distincte: pentru $k=0,1,2,3,4,5$ obținem $0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$, adică $0^{\circ },60^{\circ },120^{\circ },180^{\circ },240^{\circ },300^{\circ }$; pentru $k=6$ ajungem la $2\pi$, deci ne întoarcem în primul punct. Fiind egal distanțate pe cerc, ele formează un hexagon regulat.

18. Presupunem prin absurd că două numere naturale distincte $m$ și $n$ ($m>n$) au același punct asociat. Atunci $m-n=2k\pi$ pentru un întreg nenul $k$, de unde $\pi =\frac{m-n}{2k}$, adică $\pi$ ar fi un număr rațional (cât de numere întregi). Or, $\pi$ este irațional — contradicție. Așadar toate punctele sunt distincte. (Mai mult, se poate arăta că ele „umplu" cercul, apropiindu-se oricât de mult de orice punct al lui; e o consecință faimoasă a iraționalității lui $\pi$, dincolo de programa clasei a IX-a. Metoda folosită aici este reducerea la absurd.)

De reținut

• Cercul trigonometric este cercul de rază $1$ cu centrul în originea reperului, cu punctul de plecare $A(1,0)$; ecuația lui este $x^2+y^2=1$.
• Sensul trigonometric (pozitiv) este cel invers acelor de ceasornic; numerele negative se citesc în sens orar.
• Punctul asociat numărului real $t$ se obține pornind din $A$ și parcurgând pe cerc un arc de lungime $|t|$, în sensul dat de semnul lui $t$. Pe cercul de rază $1$, lungimea arcului este chiar $t$.
• Periodicitate: $M(t)=M(t+2k\pi )$ pentru orice $k\in \mathbb{Z}$. Orice număr real se reduce la unul din $[0,2\pi )$.
• Simetrii: $M(-t)$ e simetricul lui $M(t)$ față de $Ox$, $M(\pi -t)$ față de $Oy$, iar $M(\pi +t)$ față de origine.

Greșeli frecvente

• Se pornește din alt punct decât $A(1,0)$. Toate arcele se măsoară din punctul din dreapta, de pe semiaxa pozitivă $Ox$. Pornirea din $B$ deplasează toate rezultatele cu un sfert de tură.
• Se confundă sensul. Sensul pozitiv e invers acelor de ceasornic. Un număr negativ nu înseamnă „un punct sub axă", ci „parcurgere în sens orar" — punctul poate ajunge în orice cadran.
• Se scade greșit la reducerea modulo $2\pi$. Trebuie scăzut un multiplu întreg de $2\pi$, nu de $\pi$: din $\frac{13\pi }{3}$ se scade $4\pi$, nu $3\pi$. Verifică mereu că rezultatul e în $[0,2\pi )$.
• Se uită că punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran. Numerele $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ dau puncte pe axe; întrebarea „în ce cadran?" nu are răspuns pentru ele.
• Se crede că un număr mare „iese de pe cerc". Oricât de mare ar fi $t$, punctul rămâne pe cerc; doar numărul de ture crește. Cercul nu are capăt.

Aplică acasă

1. Cercul tău de hârtie. Desenează pe o foaie un cerc de rază $10$ cm și marchează punctele $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$. Taie o fâșie lungă de hârtie, gradeaz-o din centimetru în centimetru și lipește-o pe cerc pornind din $A$, în sens trigonometric. Verifică experimental că gradația $62,8$ cm ajunge din nou în $A$ — adică $2\pi R$ — și marchează pe cerc unde cad numerele $1,2,3,4,5,6$ (împărțite la $10$, ele sunt chiar valorile $t$).

2. Ceasul invers. Urmărește un ceas cu ace și notează, la fiecare cinci minute, ce număr real de pe cercul trigonometric ar corespunde poziției minutarului dacă mișcarea lui ar fi în sens trigonometric. Apoi refă exercițiul ținând cont că ceasul merge, de fapt, în sens negativ: ce numere obții? Compară cele două șiruri și explică diferența de semn.

3. Roata mare din oraș. Caută o roată mare sau un carusel din orașul tău (sau folosește o înregistrare video) și măsoară cu cronometrul cât durează o tură completă, $T$. Calculează apoi, pentru trei momente diferite, arcul $t=\frac{2\pi }{T}\cdot s$ parcurs de o cabină și precizează în ce cadran s-ar afla ea pe cercul trigonometric.

Pentru părinți și profesori

Lecția construiește obiectul central al întregii trigonometrii de liceu: corespondența dintre mulțimea numerelor reale și punctele cercului de rază $1$. Competența vizată de programă este identificarea pe cercul trigonometric a punctelor asociate unor măsuri exprimate în grade sau în radiani, inclusiv determinarea cadranului pentru numere precum $\frac{3\pi }{4}$ sau $\frac{5\pi }{3}$. Elevul trebuie să înțeleagă că această corespondență nu este bijectivă: fiecărui număr real îi corespunde exact un punct, dar fiecărui punct îi corespund o infinitate de numere, care diferă între ele prin multipli de $2\pi$. Aceasta este rădăcina periodicității funcțiilor trigonometrice.

Întrebări bune de control: „Care e raza cercului trigonometric și de ce tocmai $1$?" (ca lungimea arcului să fie egală cu măsura în radiani); „În ce sens se măsoară arcele?" (invers acelor de ceas); „Ce au comun numerele $\frac{\pi }{4}$ și $\frac{17\pi }{4}$?" (același punct asociat, diferă prin $4\pi$); „Poate un număr negativ să dea un punct din cadranul I?" (da, de exemplu $-\frac{11\pi }{6}$). Semne că a înțeles: schițează cercul din reflex înainte de a răspunde, reduce corect modulo $2\pi$ și nu confundă cadranele cu axele.

La teze și la Bacalaureat, cercul trigonometric apare rareori ca subiect de sine stătător, dar este instrumentul cu care se rezolvă tot restul: reducerea la primul cadran, semnul unei funcții trigonometrice, rezolvarea ecuațiilor elementare. Un elev care „vede" cercul în minte rezolvă din desen exerciții pentru care alții caută formule. Recomandarea practică: cercul cu cele patru puncte de pe axe și cu cele trei valori uzuale din fiecare cadran să fie desenat pe prima pagină a caietului de trigonometrie și consultat la fiecare exercițiu, până devine de prisos.

Întrebări frecvente

Ce este cercul trigonometric? Este cercul cu centrul în originea reperului cartezian și cu raza egală cu $1$, pe care se fixează punctul de plecare $A(1,0)$ și sensul de parcurgere invers acelor de ceasornic. Ecuația lui este $x^2+y^2=1$.

De ce are cercul trigonometric raza $1$? Pentru că, pe un cerc de rază $1$, lungimea arcului parcurs este exact egală cu măsura lui în radiani ($\ell =R\cdot t=t$). Astfel, un număr real poate fi „citit" direct ca drum pe cerc, fără niciun factor de conversie.

Ce înseamnă punctul asociat unui număr real? Este punctul în care ajungi pornind din $A(1,0)$ și parcurgând pe cerc un arc de lungime egală cu modulul numărului: în sens trigonometric dacă numărul e pozitiv, în sens orar dacă e negativ.

Care este sensul trigonometric pozitiv? Sensul invers acelor de ceasornic, adică de la $A(1,0)$ spre $B(0,1)$, prin cadranul I. Sensul acelor de ceasornic este cel negativ.

Cum aflu în ce cadran se află un număr dat? Îl reduci întâi în intervalul $[0,2\pi )$ scăzând sau adunând multipli de $2\pi$, apoi îl transformi în grade: între $0^{\circ }$ și $90^{\circ }$ înseamnă cadranul I, între $90^{\circ }$ și $180^{\circ }$ cadranul II, între $180^{\circ }$ și $270^{\circ }$ cadranul III, între $270^{\circ }$ și $360^{\circ }$ cadranul IV.

De ce numerele $t$ și $t+2\pi$ dau același punct? Pentru că $2\pi$ este lungimea întregului cerc: a parcurge în plus $2\pi$ înseamnă a face o tură completă și a te întoarce exact de unde ai plecat. Din același motiv, orice multiplu întreg de $2\pi$ adăugat nu schimbă punctul.

Un număr negativ poate avea punct asociat în cadranul I? Da. De exemplu, $-\frac{11\pi }{6}$ înseamnă $-330^{\circ }$, adică aproape o tură completă în sens orar, iar punctul obținut coincide cu cel al numărului $\frac{\pi }{6}$, din cadranul I.

La ce folosește cercul trigonometric mai departe? Pe el se definesc sinusul și cosinusul, ca ordonată și abscisă ale punctului asociat, se deduc semnele pe cadrane, formulele de reducere la primul cadran și se rezolvă ecuațiile trigonometrice. Este harta pe care se desfășoară tot capitolul.