Sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric

O cabină de roată mare urcă și coboară la nesfârșit. Dacă privești roata din lateral și urmărești doar înălțimea cabinei — uitând complet de deplasarea ei stânga-dreapta —, vezi o mișcare care crește lin până sus, coboară lin până jos și o ia de la capăt. Dacă urmărești, în schimb, doar deplasarea orizontală, vezi altă mișcare, la fel de lină, dar decalată. Aceste două „umbre" ale unei mișcări circulare sunt, literalmente, sinusul și cosinusul.

În gimnaziu ai învățat sinusul și cosinusul ca rapoarte de laturi într-un triunghi dreptunghic, deci doar pentru unghiuri ascuțite. Ce înseamnă $\sin 200^{\circ }$? Într-un triunghi dreptunghic, un asemenea unghi nu încape. Soluția a fost inventată acum trei sute de ani și e de o simplitate dezarmantă: mutăm totul pe cercul trigonometric. Punctul asociat unui număr real are două coordonate — abscisa și ordonata. Le botezăm cosinus și sinus. Gata: definiția funcționează pentru orice număr real, coincide cu cea din gimnaziu acolo unde ambele au sens, și transformă trigonometria într-un capitol de studiu al funcțiilor.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești $\sin t$ și $\cos t$ ca ordonata, respectiv abscisa punctului asociat numărului real $t$.
• Vei ști să arăți că noua definiție prelungește pe cea din triunghiul dreptunghic, învățată în gimnaziu.
• Vei ști să scrii $M(t)=(\cos t,\sin t)$ și să citești valorile direct de pe desen.
• Vei ști pe de rost valorile pe axe: pentru $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ și $2\pi$.
• Vei ști că sinusul și cosinusul sunt mărginite, cu valori în intervalul $[-1,1]$, și vei folosi acest fapt în probleme.
• Vei ști să deduci, din ecuația cercului, relația ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce știai din gimnaziu și de ce nu mai ajunge

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi ascuțit $\alpha$, ai definit:

$$\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}},\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}.$$

Definiția e corectă, dar are o limită de netrecut: unghiurile unui triunghi dreptunghic sunt strict între $0^{\circ }$ și $90^{\circ }$. Nu poți vorbi despre $\sin 150^{\circ }$, nici despre $\cos 300^{\circ }$, cu atât mai puțin despre $\sin 5$, unde $5$ e un simplu număr real. Or, exact aceste valori apar în teorema cosinusului, în descrierea mișcării circulare sau a curentului alternativ.

Avem nevoie de o definiție care să coincidă cu cea veche pe unghiurile ascuțite și să funcționeze mai departe. Cercul trigonometric ne-o oferă.

2. Definiția pe cerc

Fie $t$ un număr real și $M(t)$ punctul asociat lui pe cercul trigonometric, construit în lecția precedentă.

Definiție. Cosinusul numărului real $t$ este abscisa punctului $M(t)$, iar sinusul numărului real $t$ este ordonata punctului $M(t)$. Cu alte cuvinte:

$$M(t)=(\cos t,\sin t).$$

Atât. Coordonatele punctului sunt cosinusul și sinusul, în această ordine — „întâi cosinusul, ca la orice pereche de coordonate: întâi $x$, apoi $y$".

Cum fiecărui număr real $t$ îi corespunde exact un punct $M(t)$, iar acesta are exact o abscisă și o ordonată, obținem două funcții bine definite:

$$\sin :\mathbb{R}\to \mathbb{R},\cos :\mathbb{R}\to \mathbb{R}.$$

Domeniul lor este toată mulțimea numerelor reale — nicio valoare interzisă, spre deosebire de ce se va întâmpla la funcția tangentă.

3. De ce definiția nouă o cuprinde pe cea veche

Verificăm coerența. Fie $t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci $M(t)$ în cadranul I, cu coordonate pozitive. Notăm $M(t)=(x,y)$ și fie $P(x,0)$ proiecția lui $M$ pe axa $Ox$.

Triunghiul $OPM$ este dreptunghic în $P$, iar unghiul din $O$ are măsura $t$ (radiani), fiind chiar unghiul la centru care subîntinde arcul. Laturile lui sunt:

$$OP=x,PM=y,OM=1(\text{raza cercului}).$$

Aplicând definițiile din gimnaziu în acest triunghi:

$$\cos t=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{OP}{OM}=\frac{x}{1}=x,\sin t=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}=\frac{PM}{OM}=\frac{y}{1}=y.$$

Exact ce voiam: pe unghiurile ascuțite, cele două definiții dau același rezultat. Raza egală cu $1$ a făcut ca împărțirea la ipotenuză să dispară — încă un motiv pentru care cercul trigonometric are raza $1$.

4. Sinusul și cosinusul ca „umbre"

Există o imagine care lipește definiția în minte pentru totdeauna. Imaginează-ți punctul $M(t)$ care se plimbă pe cerc și două surse de lumină: una foarte îndepărtată deasupra, care aruncă umbra lui $M$ pe axa $Ox$, și una din lateral, care o aruncă pe axa $Oy$.

• Umbra pe orizontală este $\cos t$.
• Umbra pe verticală este $\sin t$.

Când $M$ face o tură completă, fiecare umbră se plimbă înainte și înapoi între $-1$ și $1$, trecând prin $0$ de două ori. Aceasta e mișcarea oscilatorie pură — exact ce descrie un resort care vibrează sau un pendul cu amplitudine mică. Roata mare din deschidere: cabina are înălțimea față de centrul roții egală cu $R\sin t$, iar deplasarea orizontală egală cu $R\cos t$.

5. Valorile pe axe

Cele mai simple valori sunt cele ale punctelor de pe axe, pe care le citim direct din coordonate — fără niciun calcul, doar privind desenul:

Citirea în cuvinte: cosinusul e $1$ la dreapta, $-1$ la stânga și $0$ sus și jos; sinusul e $1$ sus, $-1$ jos și $0$ la dreapta și la stânga. Dacă ai desenul în față, nu trebuie să memorezi nimic.

Din periodicitatea punctelor asociate ($M(t)=M(t+2k\pi )$) rezultă imediat că și valorile se repetă:

$$\sin (t+2k\pi )=\sin t,\cos (t+2k\pi )=\cos t,k\in \mathbb{Z}.$$

Așa calculăm valori pentru numere mari: $\sin \frac{9\pi }{2}=\sin \left(\frac{\pi }{2}+4\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$.

6. Mărginirea: totul se petrece între $-1$ și $1$

Punctul $M(t)$ se află pe cercul de rază $1$ cu centrul în origine. Prin urmare, abscisa și ordonata lui nu pot ieși din pătratul care încadrează cercul:

$$-1\le \cos t\le 1\text{și}-1\le \sin t\le 1,\text{pentru orice }t\in \mathbb{R}.$$

Spunem că funcțiile sinus și cosinus sunt mărginite — noțiune pe care ai întâlnit-o deja la mărginirea funcțiilor. Mai mult, fiecare valoare din intervalul $[-1,1]$ chiar se atinge (punctul se plimbă pe tot cercul), deci mulțimea valorilor ambelor funcții este exact $[-1,1]$.

Consecințe imediate, foarte utile la exerciții:

• Egalități precum $\sin t=1,2$ sau $\cos t=-3$ sunt imposibile: nu există niciun număr real $t$ care să le verifice.
• O expresie de forma $a+b\sin t$ are valorile cuprinse între $a-|b|$ și $a+|b|$. De exemplu, $3+2\sin t$ ia valori în $[1,5]$.
• Din $|\sin t|\le 1$ rezultă că orice inegalitate de tipul $\sin t\ge 2$ nu are soluții — un test rapid înainte de a rezolva orice ecuație trigonometrică.

Semnul valorilor depinde de cadranul în care se află punctul: în cadranul I ambele coordonate sunt pozitive, iar în celelalte apar minusuri. Studiul sistematic al semnelor îl facem în lecția despre semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane; deocamdată e destul să știi că semnul se citește din poziția punctului.

7. Relația care iese din ecuația cercului

Punctul $M(t)=(\cos t,\sin t)$ se află pe cercul de ecuație $x^2+y^2=1$. Înlocuim coordonatele:

$${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1,\text{pentru orice }t\in \mathbb{R}.$$

(Notațiile ${\sin }^{2}t$ și ${\cos }^{2}t$ înseamnă $(\sin t{)}^2$ și $(\cos t{)}^2$; e o prescurtare consacrată.)

Am obținut, în două rânduri, cea mai folosită formulă din toată trigonometria — formula fundamentală. Ea nu e altceva decât teorema lui Pitagora aplicată în triunghiul dreptunghic $OPM$, unde ipotenuza este raza $1$. Îi vom dedica o lecție întreagă, formula fundamentală a trigonometriei, în care vom vedea cât de multe se pot calcula pornind de la ea.

O primă aplicație, imediată: dacă un punct de pe cerc are abscisa $\frac{3}{5}$, atunci ordonata lui verifică $y^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, deci $y=\pm \frac{4}{5}$ — semnul îl decide cadranul.

8. De ce contează: funcțiile care descriu ce se repetă

Cu sinusul și cosinusul definite pe toată mulțimea $\mathbb{R}$, avem în sfârșit unelte pentru fenomenele periodice. Înălțimea cabinei roții mari, nivelul mării la maree, tensiunea din priză, ora răsăritului de-a lungul anului, temperatura corpului pe parcursul zilei — toate se modelează cu expresii de forma

$$f(t)=a+b\sin (ct+d).$$

Mărginirea pe care am demonstrat-o spune că un asemenea model nu poate exploda: valorile rămân mereu între $a-|b|$ și $a+|b|$. Este exact ceea ce ne așteptăm de la un fenomen care se repetă. Graficele acestor funcții — sinusoidele — le vom studia în lecția despre graficele sinusului și cosinusului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Valori citite direct de pe cerc

Calculați $\sin 0+\cos 0+\sin \pi +\cos \pi$.

Rezolvare. Punctul asociat lui $0$ este $A(1,0)$, deci $\cos 0=1$ și $\sin 0=0$. Punctul asociat lui $\pi$ este $A^{\prime }(-1,0)$, deci $\cos \pi =-1$ și $\sin \pi =0$. Atunci:

$$\sin 0+\cos 0+\sin \pi +\cos \pi =0+1+0+(-1)=0.$$

Observație: nu am folosit nicio formulă, doar coordonatele a două puncte de pe axa $Ox$. $■$

Exemplul 2 — Un punct dat prin coordonate

Punctul $M$ de pe cercul trigonometric are coordonatele $\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$. Verificați că $M$ se află pe cerc, precizați cadranul și scrieți $\sin t$ și $\cos t$, unde $M=M(t)$.

Rezolvare. Verificarea apartenenței la cerc:

$${\left(-\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1✓$$

Abscisa e negativă, ordonata pozitivă, deci $M$ e în cadranul II. Din definiție, $\cos t=-\frac{3}{5}$ (abscisa) și $\sin t=\frac{4}{5}$ (ordonata). $■$

Exemplul 3 — Ce valori sunt posibile

Stabiliți care dintre egalitățile următoare pot fi adevărate pentru un număr real $t$: a) $\sin t=-1$; b) $\cos t=1,2$; c) $\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$; d) $\cos t=-\sqrt{3}$.

Rezolvare. Folosim mărginirea: valorile trebuie să fie în $[-1,1]$.

a) Posibil — se atinge pentru $t=\frac{3\pi }{2}$ (punctul $B^{\prime }$). b) Imposibil, fiindcă $1,2>1$. c) Posibil, deoarece $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707\in [-1,1]$. d) Imposibil, deoarece $-\sqrt{3}\approx -1,73<-1$.

Reflexul de examen: înainte de orice calcul, verifică dacă valoarea cerută încape în $[-1,1]$. $■$

Exemplul 4 — O condiție cu parametru

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care există un număr real $t$ cu $\cos t=2m-1$.

Rezolvare. Egalitatea are soluții exact atunci când membrul drept aparține mulțimii valorilor cosinusului, adică intervalului $[-1,1]$:

$$-1\le 2m-1\le 1⟺0\le 2m\le 2⟺0\le m\le 1.$$

Deci $m\in [0,1]$. Pentru $m=0$ avem $\cos t=-1$ (punctul $A^{\prime }$), pentru $m=1$ avem $\cos t=1$ (punctul $A$) — ambele posibile ✓. $■$

Exemplul 5 — Valori pentru numere mari

Calculați $\sin \frac{9\pi }{2}$, $\cos 7\pi$ și $\sin (-\pi )$.

Rezolvare. Reducem fiecare număr în $[0,2\pi )$, folosind periodicitatea:

$$\frac{9\pi }{2}-4\pi =\frac{9\pi -8\pi }{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \frac{9\pi }{2}=\sin \frac{\pi }{2}=1;$$

$$7\pi -6\pi =\pi \Rightarrow \cos 7\pi =\cos \pi =-1;$$

$$-\pi +2\pi =\pi \Rightarrow \sin (-\pi )=\sin \pi =0.$$

Se scad (sau se adună) numai multipli întregi de $2\pi$; scăderea unui multiplu de $\pi$ ar schimba punctul. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră expresia $E(t)=3+2\sin t$, unde $t$ este un număr real. a) Arătați că $1\le E(t)\le 5$, pentru orice număr real $t$. b) Determinați valoarea maximă a expresiei și un număr $t$ pentru care aceasta se atinge. c) Arătați că ecuația $E(t)=6$ nu are soluții reale.

Rezolvare. a) Pornim de la mărginirea sinusului și „construim" expresia pas cu pas:

$$-1\le \sin t\le 1|\cdot 2\Rightarrow -2\le 2\sin t\le 2|+3\Rightarrow 1\le 3+2\sin t\le 5.$$

(Am înmulțit cu un număr pozitiv, deci sensul inegalităților s-a păstrat.)

b) Valoarea maximă este $5$ și se atinge când $\sin t=1$, adică pentru $t=\frac{\pi }{2}$ (sau, mai general, $t=\frac{\pi }{2}+2k\pi$). Într-adevăr, $E\left(\frac{\pi }{2}\right)=3+2\cdot 1=5$ ✓.

c) Din punctul a), $E(t)\le 5<6$ pentru orice $t$ real, deci egalitatea $E(t)=6$ nu poate avea loc. Altfel spus, ar rezulta $\sin t=\frac{3}{2}>1$, imposibil. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Desenează cercul cu punctele $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ și citește valorile de pe el ori de câte ori ai dubii — e mai rapid și mai sigur decât memorarea.

1. Scrie coordonatele punctelor $A$, $B$, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ și deduce din ele valorile $\cos 0$, $\sin 0$, $\cos \frac{\pi }{2}$, $\sin \frac{\pi }{2}$, $\cos \pi$, $\sin \pi$, $\cos \frac{3\pi }{2}$, $\sin \frac{3\pi }{2}$.

2. Calculează $\sin \frac{\pi }{2}-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{3\pi }{2}$.

3. Calculează $2\cos 0+3\sin \pi -\cos 2\pi$.

4. Punctul $M$ de pe cercul trigonometric are coordonatele $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Verifică apartenența la cerc, precizează cadranul și scrie $\sin t$ și $\cos t$.

5. Care dintre numerele $-1$; $0,99$; $1,01$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\sqrt{3}$ pot fi valori ale sinusului unui număr real? Justifică.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un număr real $t$ astfel încât $\cos t=-1,5$."

7. Calculează $\sin \frac{5\pi }{2}$, $\cos 4\pi$ și $\sin (-2\pi )$.

8. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care există $t$ real cu $\sin t=3m+1$.

9. Determină valoarea maximă și valoarea minimă a expresiei $E(t)=4\cos t$.

10. Determină mulțimea valorilor expresiei $F(t)=2+3\sin t$.

11. (Problemă aplicată.) Centrul unei roți mari se află la $30$ m înălțime, iar raza roții este de $25$ m. Înălțimea unei cabine se scrie $h(t)=30+25\sin t$. Între ce valori variază înălțimea cabinei? Pentru ce valoare a lui $t$ din $[0,2\pi )$ este ea maximă?

12. Punctul $M(t)$ are abscisa egală cu $0$. Ce valori poate lua $t$ în intervalul $[0,2\pi )$? Cât sunt atunci $\cos t$ și $\sin t$?

13. Arată că punctul de coordonate $(0,6;0,8)$ se află pe cercul trigonometric și precizează cadranul.

14. Poate un punct de pe cercul trigonometric să aibă abscisa $0,8$ și ordonata $0,7$? Justifică prin calcul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră expresia $E(t)=5-3\cos t$, $t\in \mathbb{R}$. a) Arătați că $2\le E(t)\le 8$ pentru orice $t$ real. b) Determinați valoarea minimă a expresiei și un număr $t$ pentru care se atinge. c) Arătați că ecuația $E(t)=1$ nu are soluții reale.

16. Folosind ecuația cercului trigonometric, arată că ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ pentru orice număr real $t$.

17. Un punct $M(t)$ de pe cercul trigonometric are abscisa egală cu ordonata. Determină coordonatele tuturor punctelor cu această proprietate.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice număr real $t$, are loc inegalitatea $|\sin t|+|\cos t|\ge 1$. (Indicație: ridică membrul stâng la pătrat și folosește formula fundamentală.)

Răspunsuri și explicații

1. $A(1,0)$, $B(0,1)$, $A^{\prime }(-1,0)$, $B^{\prime }(0,-1)$. De aici: $\cos 0=1$, $\sin 0=0$; $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$; $\cos \pi =-1$, $\sin \pi =0$; $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$. (Abscisa e cosinusul, ordonata e sinusul.)

2. $1-0+(-1)=0$.

3. $2\cdot 1+3\cdot 0-1=1$ (am folosit $\cos 2\pi =\cos 0=1$).

4. ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ ✓. Abscisă negativă, ordonată pozitivă, deci cadranul II; $\cos t=-\frac{1}{2}$ și $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Pot fi valori ale sinusului doar numerele din $[-1,1]$: da pentru $-1$, $0,99$ și $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$; nu pentru $1,01>1$ și pentru $\sqrt{3}\approx 1,73>1$.

6. Fals. Cosinusul este abscisa unui punct de pe cercul de rază $1$, deci aparține intervalului $[-1,1]$; valoarea $-1,5$ este în afara lui, ceea ce ar însemna un punct situat în afara cercului.

7. $\frac{5\pi }{2}-2\pi =\frac{\pi }{2}$, deci $\sin \frac{5\pi }{2}=1$; $4\pi =0+2\cdot 2\pi$, deci $\cos 4\pi =\cos 0=1$; $-2\pi$ dă tot punctul $A$, deci $\sin (-2\pi )=0$.

8. Condiția este $-1\le 3m+1\le 1$, adică $-2\le 3m\le 0$, deci $m\in \left[-\frac{2}{3},0\right]$.

9. Din $-1\le \cos t\le 1$ prin înmulțire cu $4$: $-4\le 4\cos t\le 4$. Valoarea maximă este $4$ (pentru $t=0$), minima este $-4$ (pentru $t=\pi$).

10. $-1\le \sin t\le 1\Rightarrow -3\le 3\sin t\le 3\Rightarrow -1\le 2+3\sin t\le 5$. Cum sinusul ia toate valorile din $[-1,1]$, mulțimea valorilor lui $F$ este exact $[-1,5]$.

11. Din $-1\le \sin t\le 1$ rezultă $-25\le 25\sin t\le 25$, deci $5\le h(t)\le 55$: cabina urcă de la $5$ m la $55$ m. Înălțimea e maximă când $\sin t=1$, adică pentru $t=\frac{\pi }{2}$ — cabina se află atunci în punctul cel mai de sus al roții.

12. Abscisa nulă înseamnă punct pe axa $Oy$, deci $M(t)\in \{B,B^{\prime }\}$: $t=\frac{\pi }{2}$ sau $t=\frac{3\pi }{2}$. În ambele cazuri $\cos t=0$, iar $\sin t=1$, respectiv $\sin t=-1$.

13. $0,6^2+0,8^2=0,36+0,64=1$ ✓, deci punctul e pe cerc; ambele coordonate fiind pozitive, se află în cadranul I. (Este „triunghiul $3$–$4$–$5$" ascuns: $\frac{3}{5}=0,6$ și $\frac{4}{5}=0,8$.)

14. Nu: $0,8^2+0,7^2=0,64+0,49=1,13\ne 1$. Punctul s-ar afla în exteriorul cercului, la distanța $\sqrt{1,13}\approx 1,06$ de origine.

15. a) $-1\le \cos t\le 1$; înmulțim cu $-3$ (număr negativ, deci inegalitățile își schimbă sensul): $-3\le -3\cos t\le 3$; adunăm $5$: $2\le 5-3\cos t\le 8$ ✓. b) Minimul este $2$, atins când $\cos t=1$, adică pentru $t=0$. c) Cum $E(t)\ge 2>1$ pentru orice $t$, ecuația $E(t)=1$ nu are soluții; echivalent, ar rezulta $\cos t=\frac{4}{3}>1$, imposibil.

16. Punctul $M(t)$ are coordonatele $(\cos t,\sin t)$ și se află pe cercul de ecuație $x^2+y^2=1$. Înlocuind $x=\cos t$ și $y=\sin t$, obținem ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$. $■$

17. Condiția $x=y$ împreună cu $x^2+y^2=1$ dă $2x^2=1$, deci $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Punctele sunt $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ și $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ — situate pe bisectoarele cadranelor I și III, adică pe dreapta $y=x$.

18. Ambii membri fiind nenegativi, inegalitatea e echivalentă cu cea obținută prin ridicare la pătrat:

$$(|\sin t|+|\cos t|{)}^2={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t+2|\sin t|\cdot |\cos t|=1+2|\sin t\cos t|\ge 1.$$

Deci $(|\sin t|+|\cos t|{)}^2\ge 1$, de unde $|\sin t|+|\cos t|\ge 1$. Egalitatea are loc doar când $|\sin t\cos t|=0$, adică atunci când punctul $M(t)$ se află pe una dintre axe.

De reținut

• Definiție: $M(t)=(\cos t,\sin t)$ — cosinusul este abscisa, sinusul este ordonata punctului asociat numărului real $t$ pe cercul trigonometric.
• Definiția prelungește pe cea din triunghiul dreptunghic: pentru $t$ ascuțit, catetele triunghiului $OPM$ cu ipotenuza $1$ sunt chiar $\cos t$ și $\sin t$.
• Domeniul ambelor funcții este $\mathbb{R}$; mulțimea valorilor este $[-1,1]$, deci $\sin$ și $\cos$ sunt mărginite.
• Valorile pe axe: $\cos 0=1$, $\sin 0=0$; $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\sin \frac{\pi }{2}=1$; $\cos \pi =-1$, $\sin \pi =0$; $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$.
• Din ecuația cercului rezultă formula fundamentală ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$, valabilă pentru orice număr real $t$; iar din periodicitatea punctelor, $\sin (t+2k\pi )=\sin t$ și $\cos (t+2k\pi )=\cos t$.

Greșeli frecvente

• Se inversează sinusul cu cosinusul. Coordonatele se scriu $(x,y)$, deci întâi cosinusul (abscisa), apoi sinusul (ordonata). Mnemotehnic: „cosinusul e culcat pe orizontală, sinusul stă în sus".
• Se acceptă valori în afara intervalului $[-1,1]$. Un rezultat de tipul $\sin t=\frac{5}{4}$ semnalează întotdeauna o greșeală de calcul, nu un caz special.
• Se crede că definiția funcționează doar pentru unghiuri ascuțite. Pe cerc, $\sin$ și $\cos$ sunt definite pentru orice număr real, inclusiv negativ sau mai mare decât $2\pi$.
• Se scad multipli de $\pi$ în loc de $2\pi$. Perioada este $2\pi$: din $\frac{9\pi }{2}$ se scade $4\pi$, nu $\frac{7\pi }{2}$. Scăderea unui multiplu impar de $\pi$ duce în punctul diametral opus și schimbă semnele.
• Se confundă ${\sin }^{2}t$ cu $\sin t^2$. Prima notație înseamnă $(\sin t{)}^2$, a doua ar însemna sinusul lui $t^2$ — expresii complet diferite.

Aplică acasă

1. Măsurarea umbrelor. Desenează pe carton un cerc de rază $10$ cm, decupează un ac indicator din hârtie și prinde-l în centru cu o pioneză. Rotește acul din $30$ în $30$ de grade și, pentru fiecare poziție, măsoară cu rigla distanța de la vârful acului la axa verticală (aceasta este $10\cos t$) și la axa orizontală ($10\sin t$). Împarte apoi la $10$ și compară valorile obținute cu cele afișate de calculator în modul RAD.

2. Roata mare din date reale. Caută online înălțimea și diametrul unei roți mari celebre (de exemplu London Eye). Scrie formula înălțimii unei cabine, $h(t)=c+R\sin t$, unde $c$ este înălțimea centrului, și calculează înălțimea maximă, minimă și pe cea de la $t=\frac{\pi }{2}$ și $t=\pi$. Verifică dacă rezultatele se potrivesc cu datele publicate.

3. Ce nu poate fi. Caută în culegerea ta cinci exerciții de trigonometrie și, fără să le rezolvi, notează pentru fiecare care ar fi un rezultat imposibil (de exemplu, un sinus mai mare decât $1$). Apoi rezolvă-le și verifică dacă răspunsurile respectă mărginirea — este exact controlul pe care ți-l face un profesor când corectează.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la trigonometria triunghiului dreptunghic, învățată în gimnaziu, la trigonometria cercului, singura care permite definirea funcțiilor $\sin$ și $\cos$ pe toată mulțimea numerelor reale. Programa cere explicit ca valorile funcțiilor trigonometrice să se deducă „pornind de la coordonatele punctelor situate pe cercul trigonometric", iar lecția urmează întocmai acest drum. Verificarea minimă: elevul spune fără ezitare că abscisa este cosinusul și ordonata sinusul, citește valorile pe axe de pe desen și respinge automat orice valoare din afara intervalului $[-1,1]$.

Întrebări bune de control: „Care coordonată este sinusul?" (ordonata); „De ce definiția nouă e compatibilă cu cea din gimnaziu?" (în triunghiul $OPM$ ipotenuza este $1$, deci rapoartele devin chiar catetele); „Poate $\cos t$ să fie $2$?" (nu, punctul ar ieși din cerc); „De unde vine relația ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$?" (din ecuația cercului $x^2+y^2=1$, adică din teorema lui Pitagora). Semne că a înțeles: desenează cercul înainte de a răspunde și își verifică rezultatele prin mărginire.

La teze și la Bacalaureat, mărginirea sinusului și a cosinusului este una dintre cele mai rentabile idei din trigonometrie: apare la exerciții de tipul „arătați că expresia ia valori în intervalul…", „determinați valoarea maximă a expresiei…" sau „arătați că ecuația nu are soluții". Toate se rezolvă în trei rânduri pornind de la $-1\le \sin t\le 1$, cu grijă la sensul inegalităților atunci când se înmulțește cu un număr negativ. Merită exersat până devine automatism.

Întrebări frecvente

Cum se definesc sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric? Pentru un număr real $t$, se ia punctul $M(t)$ asociat lui pe cercul trigonometric. Cosinusul lui $t$ este abscisa acestui punct, iar sinusul lui $t$ este ordonata lui: $M(t)=(\cos t,\sin t)$.

Care este diferența față de definiția din gimnaziu? Definiția din gimnaziu, cu rapoarte de laturi în triunghiul dreptunghic, funcționează doar pentru unghiuri ascuțite. Definiția pe cerc funcționează pentru orice număr real și coincide cu cea veche pe unghiurile ascuțite, pentru că raza cercului este $1$.

Ce valori poate lua sinusul unui număr real? Orice valoare din intervalul $[-1,1]$, și numai acestea. Motivul: sinusul este ordonata unui punct de pe cercul de rază $1$, iar acesta nu poate depăși $1$ în valoare absolută. Același lucru e valabil pentru cosinus.

Care este domeniul funcțiilor sinus și cosinus? Toată mulțimea numerelor reale, $\mathbb{R}$. Orice număr real are un punct asociat pe cerc, deci are sinus și cosinus.

Cât este $\sin \pi$? Dar $\cos \pi$? Punctul asociat lui $\pi$ este $A^{\prime }(-1,0)$, deci $\sin \pi =0$ (ordonata) și $\cos \pi =-1$ (abscisa). O jumătate de tură te aduce fix în stânga, pe axa $Ox$.

De ce ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$? Pentru că punctul $(\cos t,\sin t)$ se află pe cercul de ecuație $x^2+y^2=1$. Este teorema lui Pitagora scrisă în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza egală cu raza $1$.

Cum calculez sinusul unui număr mai mare decât $2\pi$? Scazi multipli întregi de $2\pi$ până ajungi în intervalul $[0,2\pi )$; valoarea nu se schimbă, pentru că punctul asociat e același. De exemplu, $\sin \frac{9\pi }{2}=\sin \frac{\pi }{2}=1$.

La ce folosesc sinusul și cosinusul în viața reală? La descrierea a tot ce se repetă: mișcarea circulară, oscilațiile unui resort sau ale unui pendul, mareele, curentul alternativ din priză, undele sonore și luminoase, variația zilnică a temperaturii sau a orei răsăritului.