Negarea propozițiilor cu cuantificatori

Un producător de becuri scrie pe cutie: „Toate becurile noastre rezistă 10.000 de ore". Un client nemulțumit vrea să conteste afirmația. Ce trebuie să arate? Că toate becurile se ard mai devreme? Nu — ar fi mult prea mult. Îi ajunge un singur bec care s-a ars după 300 de ore. Un exemplar, un bon fiscal, o fotografie: afirmația producătorului cade.

Iar dacă reclama ar fi spus altceva — „există un bec care ține 10.000 de ore" — atunci contestarea ar fi devenit dintr-odată o muncă uriașă: ar trebui verificate toate becurile, până la ultimul, ca să arăți că niciunul nu ține atât. Vezi ce s-a întâmplat? Negarea a schimbat complet natura sarcinii: „toate" s-a transformat în „măcar unul", iar „măcar unul" s-a transformat în „niciunul". Exact aceasta este regula pe care o studiem astăzi și care, în matematică, decide cum arată o demonstrație, un contraexemplu sau prima linie a unei rezolvări prin reducere la absurd.

Ce vei învăța

• Vei ști să negi corect o propoziție care începe cu cuantificatorul universal $\forall$ („oricare", „toți", „orice").
• Vei ști să negi corect o propoziție care începe cu cuantificatorul existențial $\exists$ („există", „măcar unul", „unii").
• Vei ști să folosești contraexemplul ca unealtă care demonstrează falsitatea unui enunț de tipul „pentru orice…".
• Vei ști să negi predicatele cu inegalități ($>$, $\ge$, $=$), înlocuind relația cu relația contrară corectă.
• Vei ști să negi enunțuri cu doi cuantificatori și enunțuri de forma „oricare $x$, dacă…, atunci…".
• Vei ști să treci corect de la limbaj matematic la limbaj obișnuit și invers, fără să cazi în capcana „toți sunt" versus „niciunul nu e".

Hai să descoperim împreună

1. De la ce am învățat deja pornim

Ai văzut în lecția Predicate și variabile că un predicat este un enunț cu variabilă, care nu are valoare de adevăr până nu fixăm variabila: „$x>3$" nu este nici adevărat, nici fals — devine propoziție abia când spunem cine este $x$.

Ai văzut apoi, în Cuantificatorii «oricare» (∀) și «există» (∃), că există un al doilea mod de a transforma un predicat în propoziție: cuantificarea. Scriem

$$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0\text{sau}\exists x\in \mathbb{R},x^2=2,$$

iar acum avem propoziții adevărate: pătratul oricărui număr real este pozitiv sau nul; există numere reale al căror pătrat este $2$ (anume $\pm \sqrt{2}$).

Întrebarea de astăzi este simplă de pus și esențială în practică: cum arată negația unei astfel de propoziții? Adică: ce trebuie să demonstrezi, exact, dacă vrei să arăți că o propoziție cu cuantificator este falsă?

2. Negația lui „oricare": ajunge un singur contraexemplu

Să luăm propoziția $p$: „$\forall n\in \mathbb{N},n^2>n$", adică „pătratul oricărui număr natural este strict mai mare decât numărul".

Când este $p$ falsă? Când proprietatea „$n^2>n$" nu se ține pentru toate valorile lui $n$ — deci când măcar o valoare o încalcă. Și, într-adevăr, pentru $n=0$ avem $0^2=0$, iar $0>0$ este fals; la fel pentru $n=1$: $1^2=1$, iar $1>1$ este fals. Deci $p$ este falsă, iar dovada s-a redus la o singură valoare exhibată.

Regula generală, valabilă pentru orice predicat $P(x)$ și orice mulțime $M$:

$$\overline{\left(\forall x\in M,P(x)\right)}\equiv \exists x\in M,\overline{P(x)}.$$

În cuvinte: negația lui „oricare $x$ are proprietatea $P$" este „există un $x$ care nu are proprietatea $P$". Cuantificatorul se schimbă din universal în existențial, iar predicatul se neagă.

Valoarea $x$ care încalcă proprietatea se numește contraexemplu. El este cel mai economic instrument de respingere din toată matematica: pentru a doborî o afirmație „pentru orice", nu ai nevoie de teorie, ai nevoie de un singur caz bine ales.

3. Negația lui „există": trebuie eliminate toate cazurile

Acum propoziția $q$: „$\exists x\in \mathbb{R},x^2+1=0$".

Când este $q$ falsă? Când niciun număr real nu verifică ecuația. Nu ajunge să încerci câteva valori; trebuie un argument care acoperă toate numerele reale — aici e imediat: pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+1\ge 1>0$, prin urmare $x^2+1$ nu poate fi $0$ niciodată. Deci $q$ este falsă.

Regula generală:

$$\overline{\left(\exists x\in M,P(x)\right)}\equiv \forall x\in M,\overline{P(x)}.$$

În cuvinte: negația lui „există un $x$ cu proprietatea $P$" este „oricare ar fi $x$, el nu are proprietatea $P$" — adică „niciun $x$ nu are proprietatea $P$".

Reține simetria, e ușor de ținut minte: la negație, cuantificatorul se schimbă în celălalt, iar predicatul se neagă. $\forall$ devine $\exists$, $\exists$ devine $\forall$; ce era în interior trece la contrar.

$$\overline{\forall }=\exists ,\overline{\exists }=\forall .$$

Această schimbare este exact aceeași mișcare pe care ai văzut-o la Reguli de negare: legile lui De Morgan: acolo, negând un „și" obțineai un „sau", și invers. Nu e o coincidență. Pe o mulțime finită $M=\{a,b,c\}$, propoziția „$\forall x\in M,P(x)$" înseamnă $P(a)\wedge P(b)\wedge P(c)$, iar De Morgan îi dă negația $\overline{P(a)}\vee \overline{P(b)}\vee \overline{P(c)}$, adică exact „$\exists x\in M,\overline{P(x)}$". Cuantificatorii sunt, într-un anumit sens, „și"-ul și „sau"-ul întinse peste o mulțime oricât de mare.

4. Cum se neagă predicatul din interior

Schimbarea cuantificatorului este doar jumătate din treabă. Cealaltă jumătate este negarea corectă a predicatului. Iată tabelul relațiilor contrare, cel mai des folosit:

Atenție la prima linie: negația lui „$x>3$" nu este „$x<3$", ci „$x\le 3$" — cazul $x=3$ trebuie inclus, altfel pierzi exact valoarea de graniță. Este cea mai frecventă greșeală din tot capitolul.

Punând cap la cap cele două mișcări, negăm propoziția „$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge x$" astfel: cuantificatorul devine $\exists$, iar $\ge$ devine $<$:

$$\exists x\in \mathbb{R},x^2<x.$$

Care dintre cele două este adevărată? Negația: pentru $x=\frac{1}{2}$ avem $x^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$. Deci propoziția inițială era falsă, iar $\frac{1}{2}$ este contraexemplul.

5. Negarea în limbaj obișnuit: capcana „niciunul"

Aici greșesc cei mai mulți elevi, iar greșeala nu e de calcul, ci de limbă. Fie propoziția: „Toți elevii clasei au luat nota 10".

Negația corectă: „Există un elev al clasei care nu a luat nota 10" — echivalent, „cel puțin un elev nu a luat 10".

Negația greșită: „Niciun elev nu a luat nota 10". Aceasta este o afirmație mult mai tare, care spune altceva. Dacă în clasă 24 de elevi au luat 10 și unul a luat 9, prima negație este adevărată (există unul care nu a luat 10), iar a doua este falsă. Două enunțuri cu valori de adevăr diferite nu pot fi negații ale aceleiași propoziții.

Reține perechea corectă:

• „toți sunt…" $\leftrightarrow$ „cel puțin unul nu este…"
• „există unul care este…" $\leftrightarrow$ „niciunul nu este…"

Deci „niciunul" apare la negarea lui „există", nu la negarea lui „toți". Iar în matematică, „niciun $x$ nu are proprietatea $P$" se scrie tocmai $\forall x,\overline{P(x)}$.

6. Enunțuri de forma „oricare $x$, dacă…, atunci…"

Multe teoreme au forma „$\forall x$, dacă $P(x)$, atunci $Q(x)$". De exemplu: „Orice număr divizibil cu $6$ este divizibil cu $3$".

Cum o negăm? Cuantificatorul $\forall$ devine $\exists$, iar în interior trebuie negată implicația. Din lecția Implicația «dacă…, atunci…» știi că implicația $P\Rightarrow Q$ este falsă într-un singur caz: când $P$ este adevărată și $Q$ este falsă. Prin urmare:

$$\overline{(\forall x,P(x)\Rightarrow Q(x))}\equiv \exists x\text{ astfel ıˆncaˆt }P(x)\text{ este adeva˘rat și }Q(x)\text{ este fals}.$$

Aplicat la exemplul nostru, negația este: „există un număr divizibil cu $6$ care nu este divizibil cu $3$". Ca să respingi teorema, ar trebui să găsești un astfel de număr — și nu vei găsi, pentru că afirmația este adevărată.

Iată însă o afirmație care pică: „Orice număr divizibil cu $3$ este divizibil cu $6$". Negația ei este „există un număr divizibil cu $3$ care nu este divizibil cu $6$", iar contraexemplul sare imediat în ochi: $9$ se împarte exact la $3$, dar nu la $6$. Observă cât de scurtă a fost respingerea: un singur număr.

7. Enunțuri cu doi cuantificatori

În matematică apar des enunțuri cu doi cuantificatori, iar ordinea lor contează enorm. Compară:

• $A$: „$\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R}$ astfel încât $x+y=0$" — pentru fiecare $x$ îmi aleg opusul $y=-x$; propoziție adevărată.
• $B$: „$\exists y\in \mathbb{R}$ astfel încât $\forall x\in \mathbb{R},x+y=0$" — ar exista un singur $y$ bun pentru toate valorile lui $x$ deodată; propoziție falsă (dacă $x+y=0$ pentru orice $x$, atunci și pentru $x=0$, deci $y=0$, dar atunci pentru $x=1$ ar trebui $1+0=0$, fals).

Aceleași simboluri, ordine schimbată, valori de adevăr diferite. Când negăm, schimbăm fiecare cuantificator, în ordinea în care apare, și negăm la final predicatul:

$$\overline{(\forall x,\exists y,P(x,y))}\equiv \exists x,\forall y,\overline{P(x,y)}.$$

Negația lui $A$ este deci: „există un $x$ real astfel încât, pentru orice $y$ real, $x+y\ne 0$" — evident falsă, ceea ce confirmă că $A$ era adevărată.

8. La ce folosește, practic, negarea

Trei utilizări pe care le vei întâlni tot anul, în tot liceul:

1. Respingerea unei conjecturi. Ai o idee („orice număr prim este impar"), o testezi, găsești contraexemplul ($2$ este prim și par) și afirmația cade. Negarea îți spune exact ce fel de obiect trebuie căutat.
2. Pornirea unei demonstrații prin reducere la absurd. În Metoda reducerii la absurd prima linie a rezolvării este chiar negarea concluziei; dacă negi greșit, întreaga demonstrație se duce pe un drum fals. De aceea regula de astăzi e o condiție de intrare pentru capitolul următor.
3. Verificarea unui pas de rezolvare. Când vrei să arăți că o mulțime de soluții este vidă, spui de fapt „nu există $x$ cu proprietatea…", adică „pentru orice $x$, proprietatea nu are loc" — și atunci știi că îți trebuie un argument general, nu câteva încercări.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Negarea unui enunț universal simplu

Negați propoziția $p$: „$\forall n\in \mathbb{N},n+1>1$" și stabiliți valoarea de adevăr a fiecăreia.

Rezolvare. Schimbăm $\forall$ în $\exists$ și negăm predicatul; negația lui $n+1>1$ este $n+1\le 1$:

$$\overline{p}:\exists n\in \mathbb{N},n+1\le 1.$$

Valoarea de adevăr: pentru $n=0$ avem $0+1=1\le 1$, adevărat. Deci $\overline{p}$ este adevărată, prin urmare $p$ este falsă. Contraexemplul care doboară $p$ este $n=0$.

Exemplul 2 — Negarea unui enunț existențial

Negați propoziția $q$: „$\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2+4=0$" și stabiliți valoarea de adevăr.

Rezolvare. Schimbăm $\exists$ în $\forall$ și negăm egalitatea:

$$\overline{q}:\forall x\in \mathbb{R},x^2+4\ne 0.$$

Justificare: pentru orice $x$ real, $x^2\ge 0$, deci $x^2+4\ge 4>0$; suma nu poate fi nulă. Așadar $\overline{q}$ este adevărată și $q$ este falsă. Observă că, de data aceasta, dovada a cerut un raționament valabil pentru toate numerele, nu un singur exemplu — asta e diferența de efort dintre negarea lui „oricare" și negarea lui „există".

Exemplul 3 — Din limbaj obișnuit în limbaj matematic și înapoi

Scrieți negația propoziției: „Toți elevii din clasa a IX-a A au telefon". Apoi scrieți negația propoziției: „Există un elev din clasă care vorbește japoneză".

Rezolvare. Notăm cu $E$ mulțimea elevilor clasei, cu $T(x)$ predicatul „$x$ are telefon" și cu $J(x)$ predicatul „$x$ vorbește japoneză".

Prima propoziție este „$\forall x\in E,T(x)$", deci negația este „$\exists x\in E,\overline{T(x)}$": „Există un elev din clasa a IX-a A care nu are telefon." (Greșit ar fi: „Niciun elev nu are telefon".)

A doua propoziție este „$\exists x\in E,J(x)$", deci negația este „$\forall x\in E,\overline{J(x)}$": „Niciun elev din clasă nu vorbește japoneză", adică „toți elevii clasei nu vorbesc japoneză".

Exemplul 4 — Contraexemplul care respinge o afirmație

Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge x$". Dacă este falsă, scrieți negația și dați un contraexemplu.

Rezolvare. Încercăm câteva valori: $x=2$ dă $4\ge 2$ ✓; $x=-3$ dă $9\ge -3$ ✓; $x=0$ dă $0\ge 0$ ✓. Până aici pare adevărată. Dar între $0$ și $1$ pătratul micșorează numărul: pentru $x=\frac{1}{2}$ avem $x^2=\frac{1}{4}$, iar $\frac{1}{4}\ge \frac{1}{2}$ este fals.

Deci propoziția este falsă. Negația ei este „$\exists x\in \mathbb{R},x^2<x$", iar $x=\frac{1}{2}$ este un contraexemplu care o confirmă. Reține modelul de redactare cerut la examen: enunți negația, apoi exhibezi valoarea și faci calculul complet care arată că proprietatea inițială cade.

Exemplul 5 — Negarea unui enunț cu implicație

Negați propoziția: „Orice patrulater cu diagonalele congruente este dreptunghi." Este propoziția adevărată sau falsă?

Rezolvare. Enunțul are forma „$\forall x,P(x)\Rightarrow Q(x)$", cu $P(x)$: „patrulaterul $x$ are diagonalele congruente" și $Q(x)$: „$x$ este dreptunghi". Negația este:

„Există un patrulater cu diagonalele congruente care nu este dreptunghi."

Această negație este adevărată: un trapez isoscel oarecare (neparalelogram) are diagonalele congruente și nu este dreptunghi. Prin urmare propoziția inițială este falsă. Observă cum negația ne-a spus, cuvânt cu cuvânt, ce obiect trebuie căutat: un patrulater care satisface ipoteza, dar nu concluzia.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră propoziția $p$: „$\forall x\in \mathbb{R},x^2-4x+5>0$". a) Scrieți negația propoziției $p$. b) Stabiliți, cu justificare, valoarea de adevăr a propoziției $p$.

Rezolvare. a) Negația se obține schimbând $\forall$ în $\exists$ și înlocuind $>$ cu $\le$:

$$\overline{p}:\exists x\in \mathbb{R}\text{ astfel ıˆncaˆt }{x}^2-4x+5\le 0.$$

b) Formăm pătratul perfect:

$$x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2{)}^2+1.$$

Pentru orice $x$ real, $(x-2{)}^2\ge 0$, deci $(x-2{)}^2+1\ge 1>0$. Așadar inegalitatea din $p$ are loc pentru orice $x$ real, deci $p$ este adevărată (și, în consecință, $\overline{p}$ este falsă).

Notă de redactare: la subiectele de examen, aceeași cerință apare uneori cu discriminantul: $\Delta =16-20=-4<0$ și coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, deci trinomul este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$. Ambele justificări sunt complete și primesc punctajul integral.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare negație scrisă, verifică două lucruri: că ai schimbat cuantificatorul și că ai negat corect relația din interior (atenție la $>$ care devine $\le$).

1. Scrie negația propoziției: „$\forall n\in \mathbb{N},n\ge 0$".

2. Scrie negația propoziției: „$\exists x\in \mathbb{R},x^2=9$".

3. Scrie negația fiecărei propoziții din limbaj obișnuit: a) „Toate ferestrele sălii sunt deschise"; b) „Există un coleg care a venit cu bicicleta"; c) „Niciun elev nu a lipsit".

4. Completează corect: negația lui „$x>5$" este …; negația lui „$x\le -2$" este …; negația lui „$x=7$" este …; negația lui „$n$ este par" este … .

5. Scrie negația propoziției: „$\forall x\in \mathbb{R},x^2+1>0$" și stabilește valoarea de adevăr a ambelor.

6. Scrie negația propoziției: „$\exists n\in \mathbb{N},n^2=20$" și stabilește valoarea de adevăr a ambelor.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Negația propoziției «toți elevii au luat nota 10» este «niciun elev nu a luat nota 10»."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru a demonstra că propoziția «$\forall x\in \mathbb{R},P(x)$» este falsă, este suficient un singur contraexemplu."

9. Stabilește valoarea de adevăr a propoziției „$\forall n\in \mathbb{N},n^2\ge n$" și, dacă este falsă, dă un contraexemplu; apoi fă același lucru pentru „$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge x$".

10. Scrie negația propoziției: „Orice număr prim este impar". Este propoziția adevărată sau falsă? Justifică.

11. Scrie negația propoziției: „Orice număr divizibil cu $4$ este divizibil cu $2$". Este adevărată sau falsă? Justifică.

12. Scrie negația propoziției: „$\forall x\in \mathbb{R}$, dacă $x>2$, atunci $x^2>4$". Este propoziția adevărată? Justifică.

13. (Problemă aplicată.) Pe eticheta unui pachet de baterii scrie: „Toate bateriile din pachet au tensiunea de $1,5$ V". Un client măsoară patru baterii și obține $1,5$; $1,5$; $1,2$; $1,5$ volți. a) Scrie negația afirmației de pe etichetă. b) Explică de ce măsurătorile clientului sunt suficiente pentru a respinge afirmația. c) Ce ar fi trebuit să măsoare clientul dacă eticheta ar fi spus „există în pachet o baterie de $1,5$ V"?

14. Negați propoziția: „$\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R}$ astfel încât $y>x$". Care dintre cele două este adevărată?

15. Negați propoziția: „$\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $\forall y\in \mathbb{R},xy=0$". Care dintre cele două este adevărată? Justifică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră propoziția $p$: „$\forall x\in \mathbb{R},x^2-6x+10>0$". a) Scrieți negația propoziției $p$. b) Stabiliți, cu justificare, valoarea de adevăr a propoziției $p$.

17. Fie $A=\{1,2,3,4\}$. Scrie negația propoziției „$\forall x\in A,x+1\in A$" și decide, verificând pe rând elementele, care dintre cele două propoziții este adevărată.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o funcție. Definiția „funcția $f$ este mărginită superior" se scrie: „$\exists M\in \mathbb{R}$ astfel încât $\forall x\in \mathbb{R},f(x)\le M$". Scrie, folosind cuantificatori, ce înseamnă că funcția $f$ nu este mărginită superior, apoi explică în cuvinte simple ce spune negația obținută și verifică pe funcția $f(x)=x$.

Răspunsuri și explicații

1. $\exists n\in \mathbb{N},n<0$. (Cuantificatorul devine $\exists$, iar negația lui $\ge$ este $<$.) Propoziția inițială este adevărată, negația este falsă: în $\mathbb{N}$ nu există numere negative.

2. $\forall x\in \mathbb{R},x^2\ne 9$. (Cuantificatorul devine $\forall$, egalitatea devine inegalitate.) Propoziția inițială este adevărată ($x=3$ sau $x=-3$), deci negația este falsă.

3. a) „Există o fereastră a sălii care nu este deschisă"; b) „Niciun coleg nu a venit cu bicicleta" (adică „oricare coleg nu a venit cu bicicleta"); c) enunțul este deja o negație de tip $\forall$: „niciun elev nu a lipsit" înseamnă „$\forall x$, $x$ nu a lipsit", deci negația lui este „există un elev care a lipsit".

4. $x\le 5$; $x>-2$; $x\ne 7$; „$n$ este impar". (Cea mai frecventă greșeală: să scrii $x<5$ în loc de $x\le 5$, pierzând valoarea $x=5$.)

5. Negația: $\exists x\in \mathbb{R},x^2+1\le 0$. Propoziția inițială este adevărată ($x^2\ge 0\Rightarrow x^2+1\ge 1>0$), deci negația este falsă.

6. Negația: $\forall n\in \mathbb{N},n^2\ne 20$. Propoziția inițială este falsă: $4^2=16<20<25=5^2$, deci niciun număr natural nu are pătratul $20$. Prin urmare negația este adevărată.

7. Fals. Negația corectă este „există un elev care nu a luat nota 10". „Niciun elev nu a luat 10" este o afirmație mai tare: dacă în clasă 24 de elevi au luat 10 și unul a luat 9, negația corectă este adevărată, iar cea propusă e falsă — deci nu pot fi aceeași propoziție.

8. Adevărat. Negația lui „$\forall x,P(x)$" este „$\exists x,\overline{P(x)}$", iar un contraexemplu este exact un astfel de $x$. Exhibarea lui demonstrează negația, deci falsitatea propoziției inițiale.

9. „$\forall n\in \mathbb{N},n^2\ge n$" este adevărată: pentru $n=0$ și $n=1$ avem egalitate, iar pentru $n\ge 2$, $n^2=n\cdot n\ge 2n>n$. „$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge x$" este falsă, cu contraexemplul $x=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$. Diferența vine din faptul că între $0$ și $1$ pătratul micșorează numărul, iar aceste valori nu sunt naturale.

10. Negația: „există un număr prim care nu este impar" (adică un număr prim par). Propoziția inițială este falsă, contraexemplul fiind $2$: este prim și este par. (Este singurul contraexemplu, dar unul singur ajunge.)

11. Negația: „există un număr divizibil cu $4$ care nu este divizibil cu $2$". Propoziția inițială este adevărată: dacă $n=4k$, atunci $n=2\cdot (2k)$, deci $n$ se divide cu $2$. Negația este falsă — nu putem găsi un astfel de număr.

12. Negația: „$\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x>2$ și $x^2\le 4$". Propoziția inițială este adevărată: dacă $x>2>0$, atunci înmulțind inegalitatea $x>2$ cu numărul pozitiv $x$ obținem $x^2>2x>4$. Deci negația este falsă.

13. a) „Există în pachet o baterie a cărei tensiune nu este de $1,5$ V." b) Pentru că negația cere un singur exemplar necorespunzător, iar clientul l-a găsit: bateria de $1,2$ V. Restul măsurătorilor nu mai contează. c) Ar fi trebuit să măsoare toate bateriile din pachet și să constate că niciuna nu are $1,5$ V — negația unui „există" este un „pentru toate", deci efortul de respingere ar fi fost mult mai mare.

14. Negația: „$\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $\forall y\in \mathbb{R},y\le x$". Adevărată este propoziția inițială: oricare ar fi $x$, numărul $y=x+1$ este mai mare decât el. Negația ar cere existența unui cel mai mare număr real, ceea ce este fals (pentru orice $x$, $x+1>x$).

15. Negația: „$\forall x\in \mathbb{R},\exists y\in \mathbb{R}$ astfel încât $xy\ne 0$". Adevărată este propoziția inițială: pentru $x=0$ avem $0\cdot y=0$ pentru orice $y$. Deci negația este falsă (pentru $x=0$ nu găsim niciun $y$ cu $xy\ne 0$).

16. a) $\overline{p}$: „$\exists x\in \mathbb{R}$ astfel încât $x^2-6x+10\le 0$". b) $x^2-6x+10=(x^2-6x+9)+1=(x-3{)}^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real, deci $p$ este adevărată. (Alternativ: $\Delta =36-40=-4<0$ și coeficientul dominant $1>0$, deci trinomul este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$.)

17. Negația: „$\exists x\in A,x+1\notin A$". Verificăm: $1+1=2\in A$ ✓, $2+1=3\in A$ ✓, $3+1=4\in A$ ✓, $4+1=5\notin A$. Deci negația este adevărată (contraexemplul $x=4$), iar propoziția inițială este falsă.

18. Negăm în ordine: $\exists$ devine $\forall$, $\forall$ devine $\exists$, iar $\le$ devine $>$:

$$\forall M\in \mathbb{R},\exists x\in \mathbb{R}\text{ astfel ıˆncaˆt }f(x)>M.$$

În cuvinte: oricât de sus ai pune un prag $M$, funcția îl depășește undeva. Pentru $f(x)=x$: dat un $M$ oarecare, alegem $x=M+1$ și obținem $f(x)=M+1>M$; deci funcția $f(x)=x$ nu este mărginită superior. Observă că negația a transformat „un prag bun pentru toate valorile" în „pentru orice prag, o valoare care îl depășește" — exact tipul de formulare pe care îl vei folosi la analiză, în clasa a XI-a.

De reținut

• Negația lui „oricare" este „există": $\overline{(\forall x\in M,P(x))}\equiv \exists x\in M,\overline{P(x)}$. Ca să respingi un „pentru orice", ai nevoie de un singur contraexemplu.
• Negația lui „există" este „oricare": $\overline{(\exists x\in M,P(x))}\equiv \forall x\in M,\overline{P(x)}$. Ca să respingi un „există", ai nevoie de un argument valabil pentru toate cazurile.
• La negație se schimbă și cuantificatorul, și predicatul: $>$ devine $\le$, $\ge$ devine $<$, $=$ devine $\ne$, „par" devine „impar".
• În limbaj obișnuit: negația lui „toți sunt" este „cel puțin unul nu este", nu „niciunul nu este". „Niciunul" apare la negarea lui „există".
• La enunțuri cu mai mulți cuantificatori, negația schimbă fiecare cuantificator în ordinea în care apare și neagă la final predicatul: $\overline{(\forall x,\exists y,P(x,y))}\equiv \exists x,\forall y,\overline{P(x,y)}$.

Greșeli frecvente

• „Negația lui toți este niciunul." Greșeala numărul unu. Corect: negația lui „toți au proprietatea" este „măcar unul nu o are". „Niciunul" este negația lui „există măcar unul".
• Uitarea cazului de egalitate. Negația lui $x>3$ este $x\le 3$, nu $x<3$; negația lui $x\ge 3$ este $x<3$, nu $x\le 3$. Valoarea de graniță aparține exact uneia dintre cele două propoziții.
• Negarea doar a cuantificatorului sau doar a predicatului. Ambele se schimbă. „$\exists x,x>0$" nu se neagă în „$\forall x,x>0$" și nici în „$\exists x,x\le 0$", ci în „$\forall x,x\le 0$".
• Schimbarea ordinii cuantificatorilor. „$\forall x\exists y$" și „$\exists y\forall x$" spun lucruri diferite; la negație păstrezi ordinea și doar schimbi fiecare simbol în celălalt.
• Contraexemplul „arătat", dar neverificat. Nu e suficient să scrii „contraexemplu: $x=\frac{1}{2}$"; trebuie să faci calculul care arată că proprietatea cade acolo. La barem, punctele sunt pe verificare.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de reclame. Timp de o zi, notează trei afirmații publicitare care conțin „toate", „orice", „niciun" sau „există" (de pe ambalaje, din reclame TV, de pe site-uri). Scrie negația fiecăreia și decide de câte verificări ai avea nevoie ca să o respingi: una singură sau toate cazurile?

2. Testul familiei. Formulează despre familia ta cinci propoziții cu cuantificatori („toți ai mei beau cafea", „există cineva la noi care știe să înoate" etc.), scrie negațiile și verifică-le cu cei de acasă. Câte dintre afirmațiile inițiale au picat la un singur contraexemplu?

3. Regulamentul școlii. Ia trei reguli din regulamentul clasei sau al școlii și rescrie-le cu cuantificatori („orice elev trebuie să…"). Scrie apoi negația fiecăreia: ea îți arată exact ce înseamnă „a încălca regula" — adesea, un singur caz.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică o competență fină, dar cu efect în toată matematica de liceu: trecerea corectă de la un enunț cuantificat la negația lui. Programa o cere explicit la competența IX.CS.6.1 („negarea unei propoziții obținute prin folosirea unui cuantificator într-un predicat"), iar practic este condiția de intrare pentru capitolul metodelor de demonstrație: o demonstrație prin reducere la absurd începe cu negarea concluziei, deci o negație greșită duce întreaga rezolvare pe un drum fals.

Întrebări bune de control: „Care este negația propoziției «toți colegii tăi au adus caietul»?" (răspuns corect: „există un coleg care nu a adus caietul", nu „niciunul nu a adus"); „Ce trebuie să găsești ca să arăți că afirmația «orice număr prim este impar» e falsă?" (un singur contraexemplu: $2$); „De ce e mai greu de respins un «există» decât un «oricare»?" (pentru că negația unui „există" este un enunț despre toate cazurile). Un semn sigur că elevul a înțeles: neagă corect $x>3$ în $x\le 3$ și nu în $x<3$.

La Bacalaureat, cerințele apar de regulă în prima parte a subiectului, sub forma „scrieți negația propoziției… și stabiliți valoarea ei de adevăr", adesea combinate cu un trinom de gradul al doilea (pătrat perfect sau semnul discriminantului). Sunt puncte care se iau integral dacă redactarea are cele două componente cerute: negația scrisă corect și justificarea valorii de adevăr.

Întrebări frecvente

Care este negația propoziției care începe cu «oricare»? Negația lui „oricare $x$ are proprietatea $P$" este „există un $x$ care nu are proprietatea $P$". Cuantificatorul universal $\forall$ devine existențial $\exists$, iar predicatul din interior se neagă. Practic, îți ajunge un singur contraexemplu ca să respingi afirmația.

Care este negația propoziției care începe cu «există»? Negația lui „există un $x$ cu proprietatea $P$" este „oricare ar fi $x$, el nu are proprietatea $P$", adică „niciun $x$ nu are proprietatea $P$". Aici nu ajung exemplele: ai nevoie de un argument care acoperă toate cazurile.

Este corect să spun că negația lui «toți» este «niciunul»? Nu. Negația lui „toți sunt" este „cel puțin unul nu este". „Niciunul nu este" spune mult mai mult și este negația lui „există cel puțin unul care este". Dacă într-o clasă 24 de elevi au luat 10 și unul a luat 9, atunci „nu toți au luat 10" e adevărat, dar „niciunul nu a luat 10" e fals.

Ce este un contraexemplu și de ce e suficient unul singur? Un contraexemplu este o valoare concretă care încalcă proprietatea afirmată. Pentru că negația unui enunț „pentru orice" este un enunț „există", exhibarea unei singure valori demonstrează negația și, prin urmare, falsitatea afirmației inițiale.

Cum se neagă o inegalitate? Se trece la relația contrară, cu grijă la egalitate: negația lui $x>3$ este $x\le 3$; negația lui $x\ge 3$ este $x<3$; negația lui $x=3$ este $x\ne 3$. Valoarea de graniță nu se pierde niciodată — ea aparține exact uneia dintre cele două propoziții.

Cum se neagă un enunț de forma «orice x, dacă P, atunci Q»? Negația este „există un $x$ pentru care $P$ este adevărată și $Q$ este falsă". Motivul: o implicație este falsă doar când ipoteza e adevărată și concluzia falsă. De exemplu, negația lui „orice număr divizibil cu 3 e divizibil cu 6" este „există un număr divizibil cu 3 care nu e divizibil cu 6" — și chiar există: numărul 9.

Cum neg un enunț cu doi cuantificatori? Schimbi fiecare cuantificator în celălalt, păstrând ordinea, și negi predicatul la final: negația lui „$\forall x,\exists y,P(x,y)$" este „$\exists x,\forall y,\overline{P(x,y)}$". Ordinea cuantificatorilor nu se schimbă niciodată — dacă o schimbi, obții alt enunț.

Unde folosesc negarea cuantificatorilor mai departe? În demonstrațiile prin reducere la absurd (unde prima linie este negarea concluziei), în respingerea conjecturilor prin contraexemplu și, în clasele mari, în definițiile de analiză matematică — mărginire, limită, continuitate — care sunt toate enunțuri cu doi sau trei cuantificatori.