Șiruri de numere reale: moduri de definire și monotonie

Un pacient ia zilnic o doză de medicament. Din cantitatea aflată în sânge, organismul elimină peste noapte o parte, iar dimineața se adaugă doza nouă. Concentrația de luni, de marți, de miercuri formează un lanț de numere: $c_1,c_2,c_3,\dots$ Medicul nu vrea toate valorile, ci răspunsul la două întrebări — crește sau scade concentrația de la o zi la alta? și rămâne ea sub pragul toxic? Prima întrebare este despre monotonie, a doua despre mărginire. Sunt exact cele două întrebări cu care se studiază orice șir.

Șirurile nu-ți sunt necunoscute: ai lucrat cu ele în clasa a IX-a, unde ai învățat ce este termenul general, ce este rangul și cum se definește un șir prin recurență, la lecțiile Șiruri: termen, rang, formula termenului general și Șiruri: moduri de definire prin recurență. Aici nu reluăm acea construcție, ci o folosim ca punct de plecare. Ce e nou în clasa a XI-a este întrebarea: nu „care e al zecelea termen", ci „încotro se îndreaptă șirul". Monotonia este primul răspuns parțial la această întrebare, iar lecția de față îți dă cele trei metode cu care se demonstrează.

Ce vei învăța

• Vei ști să privești un șir ca pe o funcție definită pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$ și să treci între cele trei moduri de descriere: formulă, recurență, tabel de valori.
• Vei ști să reprezinți grafic un șir prin puncte izolate $(n,a_n)$ și să citești monotonia de pe desen.
• Vei ști să enunți corect definițiile: șir crescător, strict crescător, descrescător, strict descrescător, monoton.
• Vei ști să studiezi monotonia prin semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$ — metoda universală.
• Vei ști să folosești metoda raportului $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, cu condiția ei obligatorie: termeni strict pozitivi.
• Vei ști să demonstrezi monotonia unui șir definit prin recurență, prin inducție matematică, și să recunoști șirurile nemonotone sau monotone doar de la un rang încolo.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este, riguros, un șir

Definiție. Se numește șir de numere reale o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$. Valoarea $f(n)$ se notează $a_n$ și se numește termenul de rang $n$, iar șirul însuși se notează $(a_n{)}_{n\ge 1}$.

Definiția aceasta pare o formalitate, dar are două urmări practice:

• domeniul este discret: între rangurile $3$ și $4$ nu există nimic. De aceea graficul unui șir nu e o curbă, ci un nor de puncte izolate;
• tot ce știi despre funcții se transferă: monotonia, mărginirea, imaginea. Diferența e că, în locul lui „pentru orice $x_1<x_2$", e de ajuns compararea a doi termeni consecutivi — pentru că între $n$ și $n+1$ nu se ascunde niciun rang.

Uneori numerotarea începe de la $0$; atunci scriem $(a_n{)}_{n\ge 0}$. Rangul de pornire nu schimbă nimic din teorie, dar trebuie citit cu atenție în enunț: la $a_n=\frac{1}{n}$, pornirea de la $0$ ar fi imposibilă.

O precizare de notație care se cere respectată. Scrierea cu paranteze, $(a_n{)}_{n\ge 1}$, numește șirul întreg, adică funcția; scrierea fără paranteze, $a_n$, numește un singur număr, termenul de rang $n$. Deci se spune „șirul $(a_n)$ este crescător", nu „numărul $a_n$ este crescător" — un număr nu poate fi crescător. Deosebirea pare mărunt de limbaj, dar la examen ea arată dacă elevul a înțeles că un șir este un obiect cu infinit de multe valori, nu o valoare oarecare cu un indice pe lângă ea. Vei întâlni și notația prescurtată „șirul $a_n$", frecventă în vorbirea de la clasă; în scris, la o lucrare, folosește forma cu paranteze.

2. Cele trei moduri de definire

(a) Prin formula termenului general. Cel mai comod: $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$. Poți calcula direct orice termen, fără să-i calculezi pe cei dinainte: $a_{100}=\frac{299}{102}$.

(b) Prin recurență. Se dau primul termen (sau primii câțiva) și o regulă care produce termenul următor din cei dinainte: $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$. Aici $a_{100}$ nu se obține decât după $99$ de pași — dar, în schimb, regula descrie direct procesul, așa cum se întâmplă în realitate (dobânda de anul acesta se calculează din soldul de anul trecut).

(c) Prin descriere. „Fie $a_n$ al $n$-lea număr prim": $2,3,5,7,11,\dots$ Șirul e perfect definit, deși nu are formulă.

⚠️ Capcana ghicirii. Un enunț de tipul „continuați șirul $2,4,6,8,\dots$" nu definește un șir: după $2,4,6,8$ poate urma $10$ (numere pare), dar și $12$ (dacă regula ar fi altă). Un șir e definit numai când ai o regulă, nu o listă de exemple. La rezolvări, primii termeni se folosesc pentru intuiție și verificare, niciodată ca demonstrație.

3. Reprezentarea grafică a unui șir

Pe axa orizontală punem rangurile $1,2,3,\dots$, iar pe verticală valorile. Rezultă puncte izolate $(n,a_n)$, care nu se unesc printr-o linie.

Pentru $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$ obținem tabelul:

Punctele urcă de la stânga la dreapta, iar creșterile se micșorează: de la $\frac{2}{3}$ la $\frac{5}{4}$ saltul e $\frac{7}{12}$, de la $\frac{5}{4}$ la $\frac{8}{5}$ e doar $\frac{7}{20}$. Desenul sugerează, deci, două lucruri deodată: șirul crește și pare să nu treacă de o anumită valoare. Prima observație se demonstrează azi; a doua, în lecția Mărginirea unui șir.

4. Monotonia — definițiile

Definiție. Șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ se numește:

• crescător dacă $a_n\le a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$;
• strict crescător dacă $a_n<a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$;
• descrescător dacă $a_n\ge a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$;
• strict descrescător dacă $a_n>a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$;
• monoton dacă este crescător sau descrescător.

Trei precizări care se cer la fiecare rezolvare:

1. „Pentru orice $n$" nu se poate verifica pe exemple. Faptul că $a_1<a_2<a_3<a_4$ nu garantează nimic: șirul $a_n=n^2-6n$ are $a_1>a_2>a_3$, apoi crește. Se demonstrează cu $n$ oarecare.
2. Un șir poate fi nemonoton: nici crescător, nici descrescător. Exemplul-etalon este $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$, cu termenii $-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ — care sar alternativ sub și peste $0$.
3. Un șir poate fi monoton de la un rang încolo: proprietatea începe de la un $n_0$ oarecare. Formularea corectă este „$(a_n)$ este strict descrescător pentru $n\ge 2$", nu „este descrescător". Distincția contează, pentru că multe teoreme ale capitolului cer monotonia doar de la un rang încolo.

5. Metoda 1 — semnul diferenței

Este metoda universală: funcționează pentru orice șir, indiferent de semnul termenilor.

Se calculează $d_n=a_{n+1}-a_n$, se aduce la o formă din care semnul se citește, apoi se conchide:

• $d_n>0$ pentru orice $n$ $\Rightarrow$ șir strict crescător;
• $d_n<0$ pentru orice $n$ $\Rightarrow$ șir strict descrescător;
• $d_n$ își schimbă semnul $\Rightarrow$ șir nemonoton.

Exemplu. Pentru $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$: $$a_{n+1}-a_n=\frac{3n+2}{n+3}-\frac{3n-1}{n+2}=\frac{(3n+2)(n+2)-(3n-1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{(3n^2+8n+4)-(3n^2+8n-3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{7}{(n+2)(n+3)}.$$ Numărătorul e $7>0$, numitorul e produs de numere pozitive, deci $d_n>0$ pentru orice $n\ge 1$: șirul este strict crescător. Verificare pe primii termeni: $\frac{5}{4}-\frac{2}{3}=\frac{7}{12}$ și $\frac{8}{5}-\frac{5}{4}=\frac{7}{20}$ — exact valorile date de formulă pentru $n=1$ și $n=2$. ✓

Scurtătura care merită reținută: rescrierea $\frac{3n-1}{n+2}=3-\frac{7}{n+2}$ face concluzia imediată — când $n$ crește, $\frac{7}{n+2}$ scade, deci ce se scade din $3$ e tot mai mic, deci $a_n$ crește.

6. Metoda 2 — raportul, cu condiția lui obligatorie

Când termenul general e un produs de puteri sau conține factoriale, diferența e greu de prelucrat, dar raportul se simplifică.

Regulă. Presupunem $a_n>0$ pentru orice $n$. Atunci:

• $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$ pentru orice $n$ $\Rightarrow$ șir strict crescător;
• $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ pentru orice $n$ $\Rightarrow$ șir strict descrescător.

⚠️ Condiția „$a_n>0$" nu e decorativă. Împărțirea la un număr negativ schimbă sensul inegalității, deci concluzia s-ar inversa. Pentru șirul $a_n=-n$, raportul este $\frac{-(n+1)}{-n}=\frac{n+1}{n}>1$, dar șirul este descrescător ($-1>-2>-3$). Așadar: verifică pozitivitatea înainte de a folosi metoda — e primul lucru cerut în barem.

Exemplu. Pentru $a_n=\frac{2^n}{n!}$ toți termenii sunt pozitivi, iar $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}.$$ Pentru $n=1$ raportul e $1$ (deci $a_1=a_2=2$), iar pentru $n\ge 2$ e strict subunitar. Concluzie: șirul este strict descrescător de la rangul $2$. Verificare: $a_1=2$, $a_2=2$, $a_3=\frac{4}{3}$, $a_4=\frac{2}{3}$. ✓

7. Metoda 3 — funcția atașată

Dacă $a_n=f(n)$, unde $f$ e o funcție definită cel puțin pe $[1,+\infty )$ și monotonă acolo, atunci șirul moștenește monotonia lui $f$. Motivul e imediat: din $n<n+1$ și din monotonia lui $f$ rezultă direct comparația dintre $f(n)$ și $f(n+1)$.

Exemplu. Pentru $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$ luăm $f(x)=3-\frac{7}{x+2}$ pe $[1,+\infty )$. Când $x$ crește, $x+2$ crește, deci $\frac{7}{x+2}$ scade, deci $f(x)$ crește: șirul e strict crescător — aceeași concluzie ca la metoda $1$, obținută fără calcule.

Atenție la sensul implicației: ea merge doar într-o direcție. Un șir poate fi monoton fără ca vreo funcție „naturală" atașată lui să fie monotonă — de pildă $a_n=n+\sin (2\pi n)=n$ e strict crescător, deși $x+\sin (2\pi x)$ nu e monotonă pe $\mathbb{R}$. Metoda $3$ e o scurtătură comodă, nu un criteriu necesar.

8. Monotonia progresiilor și a șirurilor definite prin recurență

Progresiile. Rezultatele le cunoști din clasa a IX-a, de la Progresia aritmetică și rația și Progresia geometrică și rația; le reformulăm în limbajul de acum, ca diferență și raport:

Șirurile recurente se studiază prin inducție matematică, metodă pe care ai învățat-o la Metoda inducției matematice. Rețeta are trei pași:

1. calculezi $a_1$ și $a_2$ și ghicești sensul monotoniei;
2. verifici cazul de pornire, de exemplu $a_1<a_2$;
3. presupui $a_n<a_{n+1}$ și, aplicând ambilor membri regula de recurență, obții $a_{n+1}<a_{n+2}$.

Exemplu. Fie $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$.

Pasul 1–2: $a_2=\sqrt{3}\approx 1,73>1=a_1$, deci bănuim că șirul crește, iar cazul de pornire e verificat.

Pasul 3: presupunem $a_n<a_{n+1}$. Atunci $a_n+2<a_{n+1}+2$, iar funcția radical păstrează ordinea pe numere nenegative, deci $$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}<\sqrt{a_{n+1}+2}=a_{n+2}.$$ Prin inducție, $a_n<a_{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$: șirul este strict crescător. Verificare numerică: $1$; $1,7320\dots$; $1,9318\dots$; $1,9828\dots$ — valorile urcă. ✓

Cu monotonia demonstrată, întrebarea firească este dacă șirul se oprește undeva. Răspunsul cere și mărginirea, apoi o teoremă care le leagă — drumul complet îl parcurgi la Șiruri definite prin recurență: studiul convergenței.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Monotonie prin diferență

Studiați monotonia șirului $a_n=\frac{2n+1}{n+3}$, $n\ge 1$.

Rezolvare. Calculăm diferența a doi termeni consecutivi: $$a_{n+1}-a_n=\frac{2n+3}{n+4}-\frac{2n+1}{n+3}=\frac{(2n+3)(n+3)-(2n+1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{(2n^2+9n+9)-(2n^2+9n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{5}{(n+3)(n+4)}.$$ Cum $n\ge 1$, numitorul e pozitiv, deci $a_{n+1}-a_n>0$: șirul este strict crescător.

Verificare: $a_1=\frac{3}{4}$, $a_2=1$, $a_3=\frac{7}{6}$, iar $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=\frac{5}{4\cdot 5}$ ✓.

Exemplul 2 — Monotonie prin raport

Studiați monotonia șirului $a_n=\frac{3^n}{n+1}$, $n\ge 1$.

Rezolvare. Toți termenii sunt strict pozitivi, deci metoda raportului se poate aplica: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}}{n+2}\cdot \frac{n+1}{3^n}=\frac{3(n+1)}{n+2}.$$ Comparăm cu $1$: $\frac{3(n+1)}{n+2}>1⟺3n+3>n+2⟺2n>-1$, adevărat pentru orice $n\ge 1$. Deci șirul este strict crescător.

Verificare: $a_1=\frac{3}{2}$, $a_2=3$, $a_3=\frac{27}{4}$, $a_4=\frac{81}{5}$ ✓.

Exemplul 3 — Un șir nemonoton

Arătați că șirul $a_n=n^2-6n$ nu este monoton.

Rezolvare. Calculăm diferența: $$a_{n+1}-a_n=[(n+1{)}^2-6(n+1)]-[n^2-6n]=2n+1-6=2n-5.$$ Semnul depinde de $n$: pentru $n=1$ și $n=2$ avem $2n-5<0$, iar pentru $n\ge 3$ avem $2n-5>0$. Șirul scade de la rangul $1$ la rangul $3$ și crește de la rangul $3$ încolo, deci nu e monoton.

Verificare: $-5,-8,-9,-8,-5,0,7$ — cel mai mic termen e $a_3=-9$.

Formularea corectă a concluziei: șirul nu este monoton; este strict descrescător pentru $n\le 3$ și strict crescător pentru $n\ge 3$.

Exemplul 4 — Monoton de la un rang încolo

Studiați monotonia șirului $a_n=\frac{n}{2^n}$, $n\ge 1$.

Rezolvare. Toți termenii sunt strict pozitivi, deci folosim raportul: $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n}=\frac{n+1}{2n}.$$ Comparăm cu $1$: $\frac{n+1}{2n}<1⟺n+1<2n⟺n>1$. Pentru $n=1$ raportul este exact $1$, deci $a_1=a_2$.

Concluzie: șirul nu este strict descrescător, fiindcă primii doi termeni sunt egali; este descrescător (în sens larg) și strict descrescător de la rangul $2$.

Verificare: $\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{1}{4},\frac{5}{32}$ ✓. Exemplul arată de ce merită scris „$\le$" sau „$<$" cu grijă: o singură egalitate schimbă răspunsul.

Exemplul 5 — Șir recurent, monotonie prin inducție

Se consideră $b_1=3$ și $b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(b_n+\frac{6}{b_n}\right)$. Arătați că $b_n>2$ pentru orice $n$ și că șirul este strict descrescător.

Rezolvare.

Etapa 1 — prin inducție, $b_n>0$ și $b_n^2>6$ pentru orice $n\ge 1$.

Cazul de pornire: $b_1=3>0$ și $b_1^2=9>6$. ✓

Pasul de inducție: presupunem $b_n>0$ și $b_n^2>6$. Atunci $b_{n+1}=\frac{1}{2}\left(b_n+\frac{6}{b_n}\right)>0$, ca sumă de numere pozitive. Pentru pătrat, calculăm identitatea: $$b_{n+1}^2-6=\frac{1}{4}{\left(b_n+\frac{6}{b_n}\right)}^2-6=\frac{b_n^4+12b_n^2+36-24b_n^2}{4b_n^2}=\frac{{\left(b_n^2-6\right)}^2}{4b_n^2}.$$ Din ipoteză $b_n^2-6>0$, deci ${\left(b_n^2-6\right)}^2>0$, iar numitorul $4b_n^2$ e strict pozitiv. Prin urmare $b_{n+1}^2-6>0$, adică $b_{n+1}^2>6$ — strict, ceea ce ne trebuie la etapa următoare.

Etapa 2 — toți termenii sunt mai mari decât $2$. Din $b_n>0$ și $b_n^2>6>4$ rezultă $b_n>2$ (pe numere pozitive, ridicarea la pătrat păstrează ordinea).

Etapa 3 — șirul scade. Pentru orice $n$, $$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{2}\left(b_n+\frac{6}{b_n}\right)-b_n=\frac{6-b_n^2}{2b_n}.$$ Din etapa $1$ avem $b_n^2>6$, deci numărătorul $6-b_n^2$ este strict negativ, iar numitorul $2b_n$ este strict pozitiv. Așadar $b_{n+1}-b_n<0$: șirul este strict descrescător.

Observă unde a fost nevoie de inegalitate strictă: dacă am fi obținut doar $b_n^2\ge 6$, diferența ar fi ieșit $\le 0$, ceea ce lasă loc unui șir constant. Strictul din pasul de inducție este cel care dă strictul din concluzie.

Verificare: $3$, $\frac{5}{2}$, $\frac{49}{20}$, $\frac{4801}{1960}$ — adică $3>2,5>2,45>2,449\dots$, toate mai mari decât $2$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ cu $a_n=\frac{n+1}{n+2}$. a) Calculați $a_1$, $a_2$ și $a_3$. b) Arătați că $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+2)(n+3)}$ pentru orice $n\ge 1$. c) Arătați că șirul este strict crescător și că $\frac{2}{3}\le a_n<1$ pentru orice $n\ge 1$.

Rezolvare.

a) $a_1=\frac{2}{3}$, $a_2=\frac{3}{4}$, $a_3=\frac{4}{5}$.

b) Calculăm direct: $$a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{n+3}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{(n+2{)}^2-(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{(n^2+4n+4)-(n^2+4n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{(n+2)(n+3)}.$$

c) Din b), diferența este strict pozitivă pentru orice $n\ge 1$ (numărător $1$, numitor produs de numere pozitive), deci șirul este strict crescător.

Pentru încadrare, rescriem $a_n=\frac{(n+2)-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$. Din $n\ge 1$ rezultă $n+2\ge 3$, deci $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$ și $$1-\frac{1}{3}\le 1-\frac{1}{n+2}<1,\text{adica˘}\frac{2}{3}\le a_n<1.$$ Verificare: $\frac{2}{3}\approx 0,667$, $\frac{3}{4}=0,75$, $\frac{4}{5}=0,8$ — cresc și rămân sub $1$. ✓ (Un șir crescător și mărginit superior are, se va vedea în lecția Teorema lui Weierstrass, o proprietate importantă — dar aceea este o discuție de mai târziu.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare studiu de monotonie, scrie mai întâi ce metodă alegi și de ce — la metoda raportului, verificarea pozitivității termenilor se punctează separat în baremul de la Bacalaureat M1.

1. Calculează primii cinci termeni ai șirului $a_n=\frac{n-4}{n+1}$ și spune, din tabel, cum pare monotonia.

2. Scrie primii patru termeni ai șirului definit prin $a_1=2$ și $a_{n+1}=3a_n-1$.

3. Studiază monotonia șirului $a_n=5-3n$, calculând diferența $a_{n+1}-a_n$.

4. Studiază monotonia șirului $a_n=\frac{n-4}{n+1}$ prin metoda diferenței.

5. Studiază monotonia șirului $a_n=\frac{4n+3}{n+1}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $a_1<a_2<a_3$, atunci șirul $(a_n)$ este strict crescător."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Metoda raportului se poate aplica oricărui șir."

8. Studiază monotonia șirului $a_n=\frac{5^n}{n}$ prin metoda raportului, verificând întâi pozitivitatea termenilor.

9. Arată că șirul $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$ nu este monoton, comparând primii trei termeni.

10. Arată că șirul $a_n=\frac{3^n}{n!}$ este strict descrescător de la rangul $3$ și precizează ce se întâmplă la rangurile $1$ și $2$.

11. Fie $a_n=n^2-8n+5$. Determină diferența $a_{n+1}-a_n$ și rangul de la care șirul devine strict crescător.

12. (Problemă aplicată.) Un pacient are în sânge $c_1=4$ mg de substanță; peste noapte se elimină jumătate, iar dimineața se adaugă $3$ mg, deci $c_{n+1}=\frac{c_n}{2}+3$. Calculează $c_2$, $c_3$, $c_4$ și arată, prin inducție, că șirul este strict crescător.

13. Arată că șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{3a_n}$ este strict crescător, prin inducție.

14. Arată că o progresie aritmetică cu rația $r=-2$ este strict descrescătoare, oricare ar fi primul termen.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_n=\frac{2n-1}{n+1}$, $n\ge 1$. a) Calculați $a_1$ și $a_2$. b) Arătați că $a_{n+1}-a_n=\frac{3}{(n+1)(n+2)}$. c) Deduceți că șirul este strict crescător.

16. Un șir este definit prin $a_n=\frac{n}{n^2+1}$. Studiază monotonia prin metoda diferenței și spune de la ce rang scade.

17. Arată că, dacă $(a_n)$ este strict crescător și $(b_n)$ este strict crescător, atunci $(a_n+b_n)$ este strict crescător. Rămâne valabilă concluzia pentru produsul $(a_n{b}_n)$? Dă un exemplu.

18. (Provocare.) Fie $(a_n)$ un șir cu $a_n>0$ pentru orice $n$. Arată că $(a_n)$ este strict crescător dacă și numai dacă șirul $\left(\frac{1}{a_n}\right)$ este strict descrescător.

Răspunsuri și explicații

1. $-\frac{3}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{4},0,\frac{1}{6}$. Valorile urcă, deci șirul pare strict crescător (demonstrația e la exercițiul $4$). Observă că termenii schimbă semnul — motiv pentru care metoda raportului nu se poate folosi aici.

2. $a_1=2$; $a_2=3\cdot 2-1=5$; $a_3=3\cdot 5-1=14$; $a_4=3\cdot 14-1=41$.

3. $a_{n+1}-a_n=[5-3(n+1)]-(5-3n)=-3<0$ pentru orice $n$: șir strict descrescător. Este o progresie aritmetică de rație $-3$.

4. $a_{n+1}-a_n=\frac{n-3}{n+2}-\frac{n-4}{n+1}=\frac{(n-3)(n+1)-(n-4)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{(n^2-2n-3)-(n^2-2n-8)}{(n+1)(n+2)}=\frac{5}{(n+1)(n+2)}>0$: strict crescător.

5. $\frac{4n+3}{n+1}=4-\frac{1}{n+1}$. Când $n$ crește, $\frac{1}{n+1}$ scade, deci ce se scade din $4$ e tot mai mic: șirul e strict crescător. Prin diferență: $a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ ✓.

6. Fals. Trei comparații nu spun nimic despre restul șirului. Contraexemplu: $a_n=-n^2+8n$ are $a_1=7<a_2=12<a_3=15$, dar $a_5=15>a_6=12$. Monotonia se demonstrează pentru $n$ oarecare.

7. Fals. Metoda raportului cere $a_n>0$ pentru orice $n$; la termeni negativi împărțirea inversează inegalitatea și concluzia iese pe dos, iar la termeni nuli raportul nici nu există. Pentru $a_n=-n$ raportul e $\frac{n+1}{n}>1$, deși șirul scade.

8. Toți termenii sunt strict pozitivi. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{5^n}=\frac{5n}{n+1}$. Condiția $\frac{5n}{n+1}>1$ înseamnă $5n>n+1$, adică $4n>1$ — adevărat pentru orice $n\ge 1$. Șirul este strict crescător.

9. $a_1=-1$, $a_2=\frac{1}{2}$, $a_3=-\frac{1}{3}$. Avem $a_1<a_2$ (deci nu e descrescător) și $a_2>a_3$ (deci nu e crescător): șirul nu este monoton.

10. Termenii sunt pozitivi, iar $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{3^n}=\frac{3}{n+1}$. Acesta e $>1$ pentru $n=1$ ($a_1=3<a_2=\frac{9}{2}$), egal cu $1$ pentru $n=2$ ($a_2=a_3=\frac{9}{2}$) și $<1$ pentru $n\ge 3$. Deci șirul crește o dată, staționează, apoi este strict descrescător de la rangul $3$; pe ansamblu, nu este monoton.

11. $a_{n+1}-a_n=[(n+1{)}^2-8(n+1)]-[n^2-8n]=2n+1-8=2n-7$. Diferența e negativă pentru $n\le 3$ și pozitivă pentru $n\ge 4$: șirul este strict crescător de la rangul $4$ (cel mai mic termen fiind $a_4=-11$).

12. $c_2=\frac{4}{2}+3=5$; $c_3=\frac{5}{2}+3=\frac{11}{2}$; $c_4=\frac{11}{4}+3=\frac{23}{4}$. Inducție: cazul de pornire $c_1=4<5=c_2$ ✓. Dacă $c_n<c_{n+1}$, atunci $\frac{c_n}{2}<\frac{c_{n+1}}{2}$ și, adunând $3$, obținem $c_{n+1}<c_{n+2}$. Deci șirul e strict crescător: concentrația urcă zi de zi, ceea ce face utilă întrebarea despre pragul maxim.

13. $a_1=1$, $a_2=\sqrt{3}>1=a_1$: cazul de pornire e verificat. Dacă $a_n<a_{n+1}$, atunci $3a_n<3a_{n+1}$ și, cum radicalul păstrează ordinea pe numere nenegative, $a_{n+1}=\sqrt{3a_n}<\sqrt{3a_{n+1}}=a_{n+2}$. Prin inducție, șirul e strict crescător.

14. Într-o progresie aritmetică, $a_{n+1}-a_n=r$ pentru orice $n$. Cu $r=-2<0$, diferența e mereu negativă, deci șirul e strict descrescător, indiferent de $a_1$.

15. a) $a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=1$. b) $a_{n+1}-a_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{(2n+1)(n+1)-(2n-1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{(2n^2+3n+1)-(2n^2+3n-2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}$. c) Numărătorul e $3>0$, numitorul e produs de numere pozitive, deci diferența e strict pozitivă pentru orice $n\ge 1$: șirul este strict crescător.

16. $a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n^2+2n+2}-\frac{n}{n^2+1}=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}$. Numitorul e pozitiv; numărătorul $-n^2-n+1$ e negativ pentru orice $n\ge 1$ (la $n=1$ face $-1$). Deci șirul este strict descrescător de la primul rang: $\frac{1}{2},\frac{2}{5},\frac{3}{10},\frac{4}{17}$.

17. Din $a_n<a_{n+1}$ și $b_n<b_{n+1}$, adunând inegalitățile de același sens, obținem $a_n+b_n<a_{n+1}+b_{n+1}$: suma e strict crescătoare. Pentru produs concluzia cade, dacă termenii nu sunt pozitivi: $a_n=b_n=-\frac{1}{n}$ sunt strict crescătoare, dar $a_n{b}_n=\frac{1}{n^2}$ este strict descrescător. (Dacă toți termenii ambelor șiruri sunt strict pozitivi, produsul rămâne strict crescător.)

18. „$\Rightarrow$": presupunem $a_n<a_{n+1}$, cu ambii termeni strict pozitivi. Împărțind inegalitatea la produsul pozitiv $a_n{a}_{n+1}$, obținem $\frac{1}{a_{n+1}}<\frac{1}{a_n}$, deci șirul inverselor scade strict. „$\Leftarrow$": același raționament aplicat șirului $\left(\frac{1}{a_n}\right)$, ai cărui termeni sunt tot strict pozitivi, dă înapoi $a_n<a_{n+1}$. Reține regula generală: trecerea la invers păstrează monotonia, dar îi schimbă sensul, cu condiția ca termenii să aibă semn constant.

De reținut

• Un șir este o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, notată $(a_n{)}_{n\ge 1}$; graficul lui e format din puncte izolate $(n,a_n)$, nu dintr-o curbă.
• Un șir se definește prin formulă, prin recurență sau prin descriere — niciodată printr-o listă de primi termeni.
• Monotonia se demonstrează pentru $n$ oarecare, nu pe exemple. Metoda universală: semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$.
• Metoda raportului ($\frac{a_{n+1}}{a_n}$ comparat cu $1$) e comodă la puteri și factoriale, dar cere obligatoriu $a_n>0$ pentru orice $n$.
• Un șir poate fi nemonoton sau monoton doar de la un rang încolo; formularea concluziei trebuie să spună exact de la ce rang. La șirurile recurente, monotonia se demonstrează prin inducție.

Greșeli frecvente

• Deduci monotonia din primii termeni. „$a_1<a_2<a_3$, deci crește" nu e demonstrație: șirul $a_n=-n^2+8n$ crește până la rangul $4$ și apoi scade. Se calculează $a_{n+1}-a_n$ cu $n$ oarecare.
• Aplici metoda raportului la termeni negativi. Pentru $a_n=-n$ raportul e supraunitar, dar șirul scade. Verifică întâi că toți termenii sunt strict pozitivi; altfel folosește diferența.
• Confunzi „crescător" cu „strict crescător". Șirul $a_n=\frac{n}{2^n}$ are $a_1=a_2$, deci nu e strict descrescător pe tot parcursul — e strict descrescător abia de la rangul $2$. Scrie în concluzie și rangul.
• Calculezi greșit $a_{n+1}$. Pentru $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$, termenul următor este $\frac{3(n+1)-1}{(n+1)+2}=\frac{3n+2}{n+3}$ — se înlocuiește $n$ cu $n+1$ peste tot, nu doar în numărător.
• Unești punctele graficului printr-o linie. Domeniul unui șir e discret: între rangurile $2$ și $3$ nu există termeni, deci linia continuă ar sugera valori inexistente.

Aplică acasă

1. Șirul din portofel. Notează, zilnic timp de o săptămână, câți bani ai la ora $20$. Calculează diferențele de la o zi la alta și spune dacă șirul obținut e monoton, nemonoton sau monoton de la un rang încolo. Compară concluzia cu forma norului de puncte, desenat pe hârtie milimetrică.

2. Recurență cu calculatorul de buzunar. Pornește de la $a_1=1$ și apasă repetat tastele care realizează $a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$. Notează primele opt valori cu trei zecimale. Verifică din desen că șirul crește și că termenii nu depășesc $2$ — este exact exemplul demonstrat în secțiunea $8$.

3. Vânătoare de contraexemple. Construiește un șir strict crescător cu toți termenii negativi, un șir monoton doar de la rangul $5$ și un șir nemonoton cu toți termenii pozitivi. Verifică fiecare afirmație prin calculul diferenței, apoi confruntă-le cu exercițiile $9$, $10$ și $11$.

Pentru părinți și profesori

Lecția face trecerea de la șirurile din clasa a IX-a, unde accentul cădea pe calculul termenilor și pe progresii, la șirurile privite ca obiecte de analiză. Elevul are deja noțiunile de termen general și de recurență; ce se adaugă este întrebarea despre comportament și, odată cu ea, tehnica de demonstrație.

Ce verifică lecția: (1) calculul corect al lui $a_{n+1}$ prin substituția lui $n$ cu $n+1$ peste tot — sursa numărul unu de erori; (2) alegerea metodei potrivite (diferență la rapoarte de polinoame, raport la puteri și factoriale) și verificarea condiției de pozitivitate; (3) formularea exactă a concluziei, cu precizarea rangului de la care începe monotonia; (4) demonstrația prin inducție la șirurile recurente. Întrebări bune de control: „De ce nu poți folosi raportul aici?", „De la ce rang scade șirul?", „Ce trebuie să presupui și ce trebuie să obții la pasul de inducție?".

La BAC M1, monotonia unui șir apare frecvent ca primul punct al unei probleme de analiză: se cere diferența $a_{n+1}-a_n$ adusă la o formă cu semn evident, apoi concluzia. Punctul următor cere de obicei mărginirea, iar al treilea combină cele două. Semne că elevul a înțeles: aduce diferența la forma de fracție cu numărător constant, în loc să compare numeric doi-trei termeni.

Întrebări frecvente

Ce este un șir de numere reale? Este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale nenule, cu valori reale: fiecărui rang $n$ îi corespunde un termen $a_n$. Se notează $(a_n{)}_{n\ge 1}$, iar graficul lui este format din puncte izolate, pentru că domeniul este discret.

Cum studiez monotonia unui șir? Compari doi termeni consecutivi. Metoda universală este semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$: dacă e pozitivă pentru orice $n$, șirul e strict crescător; dacă e negativă, strict descrescător; dacă își schimbă semnul, șirul nu e monoton.

Când pot folosi metoda raportului? Numai când toți termenii șirului sunt strict pozitivi. Atunci compari $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ cu $1$. Metoda e foarte comodă la termeni care conțin puteri sau factoriale, pentru că acolo raportul se simplifică; la termeni negativi, concluzia iese inversată și greșită.

Ce înseamnă că un șir e monoton „de la un rang încolo"? Înseamnă că proprietatea de monotonie începe abia de la un anumit rang $n_0$, nu de la primul termen. De pildă $a_n=n^2-6n$ scade până la rangul $3$ și crește după. Concluzia trebuie scrisă cu rangul precizat, pentru că teoremele capitolului cer adesea doar monotonia de la un rang încolo.

Cum demonstrez monotonia unui șir definit prin recurență? Prin inducție matematică: verifici cazul de pornire (de exemplu $a_1<a_2$), apoi presupui $a_n<a_{n+1}$ și aplici ambilor membri regula de recurență, folosind faptul că operația respectivă păstrează ordinea. Obții $a_{n+1}<a_{n+2}$, ceea ce încheie inducția.

Un șir care nu e crescător este obligatoriu descrescător? Nu. Există șiruri nemonotone, care nici nu cresc, nici nu scad — de exemplu $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$, ai cărui termeni sar alternativ de o parte și de alta a lui zero. „Nu e crescător" înseamnă doar că există un rang la care termenul scade.

De ce nu se unesc punctele de pe graficul unui șir? Pentru că domeniul unui șir este mulțimea rangurilor, deci discret: între $n=2$ și $n=3$ nu există niciun termen. O linie continuă ar sugera valori intermediare care nu există. Punctele se pot uni cu o linie punctată doar ca ajutor vizual, niciodată ca parte a graficului.

Monotonia se cere la examen? Da, frecvent. La Bacalaureat M1 apare de obicei ca primul punct al unei probleme cu șiruri: se cere calculul diferenței $a_{n+1}-a_n$ și concluzia despre monotonie, urmate de mărginire și, la final, de comportamentul la infinit.